U－I圖像中交點意義的解釋

杭慶祥

（江寧高級中學，江蘇 南京 211100）

在研究恒定電流電路時，U－I圖像既是電流與電壓變化關系一種形象直觀的表達方式，更可以成為我們研究、解決問題的方法和手段，特別對一些非線性變化的問題（如本文的問題2），利用圖像及其交點的意義是解決問題的唯一方法，但對交點意義的詮釋仿佛有著只能意會，難以言傳的困難，是教學一大難點.本文努力對U－I圖像中交點意義做出解釋.

1 “舍近求遠”的做法及其原因

例1.如圖1所示的U－I圖像中，直線I為某電源的路端電壓與電流的關系，直線Ⅱ為某一電阻R的伏安特性曲線，用該電源直接與電阻R連接成閉合電路，電源的輸出功率為多少？

解法1：絕大多數學生會這樣求解.

由曲線Ⅰ得電源電動勢、內阻分別為E＝3.0V，r＝1.5Ω.由曲線Ⅱ得R＝1.5Ω.當電阻R接在電源兩端時，由歐姆定律，可求得U＝1.5V，I＝1.0A.則電源的輸出功率為P＝UI＝1.5W.

解法2：少數學生會直接從圖上讀出R兩端的電壓和通過的電流U＝1.5V，I＝1.0A.電源的輸出功率為P＝UI＝1.5W.

當我們直接用第2種解法時，學生都會問：當電阻R接在電源兩端時，為什么它兩端的電壓和通過的電流剛好是圖中交點坐標值？是一種巧合，還是一種必然？有時，老師也很茫然.

實際上，交點的意義我們可以這樣解釋：

曲線Ⅰ表示電源的路端電壓U隨電流I變化的關系，即 U＝E－Ir. （1）

曲線Ⅱ表示電阻R兩端電壓U′隨電流I′變化的關系，即 U′＝I′R. （2）

當把R接在電源兩端時，U和U′，I和I′是同一的，那么，什么樣的電壓和電流既符合函數關系（1），又符合函數關系（2）？

在數學上就是聯解方程組：

學生也知道這個方程組的解就是圖像中兩條曲線的交點.

所以，第1種解法實際上是求方程組解的過程細分，而絕非“舍近求遠”.它物理圖景明晰，邏輯思維清楚，是一種本源的做法，在我們進行基礎年級的教學時，首先應幫助學生建立這樣一種明晰的物理圖景和思考順序，萬萬不可因學生解法不是最簡潔而求全責備，而第2種解法必定要經過第1種解法完全相同的思考，是在第1種方法基礎上的抽象.

圖1

2 循序漸進 能力提升

在學生有了上面問題解決的基礎之后，我們再進行下面的練習，鞏固并深化學生對U－I圖像交點意義的認識.

例2.如圖2所示，圖甲為某學生測繪額定電壓為2.5V小燈泡的I－U圖線實驗電路圖，圖乙為小燈泡的I－U圖線，把小燈泡連接在電動勢為3V，內阻為10Ω電源兩端，小燈泡消耗的功率為多少？

圖2

首先，由圖像乙可知，小燈泡的電阻是隨電流或電壓的變化而變化的，且電流和電壓的函數表達式不知，因此不能夠用上文中的第1種方法列方程求解，那么，如何求得小燈泡的電流和電壓？

其次，要幫助學生認識到函數的圖像也是一種表示變化規律的方式，也即圖乙給出了小燈泡電流隨電壓變化的關系.

第三，給定電源的路端電壓隨電流的變化關系為U＝E－Ir，要求學生在圖丙中畫出此函數的圖像.

第四，小燈泡接在電源兩端時，小燈泡兩端電壓和電源路端電壓、通過小燈泡的電流和通過電源電流是相同的，是U－I圖像上的一個坐標點.

第五，問小燈泡接在電源兩端時，滿足兩個變化關系的電壓和電流的點在哪？

問題迎刃而解.特別要指出的是，有些教師在沒有進行本文例1的討論時，就進行例2的教學，不光是教學上的囫圇吞棗，更是對U－I圖像交點數學、物理意義的不理解.同時，在解釋U－I圖像交點物理意義時，借助學生對數學函數方程的認識及對應圖像交點意義是問題的關鍵，局限在原地思考是此問題百思不得其解的原因.