利用速度的定義求解繩斜拉物體模型中的速度

劉勝功 趙汝花

（山東省陽谷縣第一中學(xué)，山東 陽谷 252300）

拜讀了貴刊2010年第3期刊登的《也談交點(diǎn)速度問題的解法》一文，和文中提到的前面幾期上刊登的相關(guān)類型問題的分析，受益匪淺.聯(lián)系自己平時(shí)講授這類問題的情況，覺得從速度的定義出發(fā)解決繩子斜拉物體或物體斜拉繩問題，是易于接受，又便于理解的快捷方法.現(xiàn)對(duì)這種方法作簡(jiǎn)單闡述，以與同行進(jìn)行商榷.

繩子斜拉物體或物體斜拉繩的模型在高中物理中比較常見.筆者曾經(jīng)講授這類問題時(shí)，按照速度分解要根據(jù)實(shí)際效果進(jìn)行分解的思想，通過分析得出：繩子斜拉物體或物體斜拉繩時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)的速度是合速度，沿繩長(zhǎng)伸長(zhǎng)或縮短方向的速度是一個(gè)分速度，垂直于繩即繩端轉(zhuǎn)動(dòng)的方向的速度為另一個(gè)分速度.但是學(xué)生接受起來好像知其然不知其所以然.在后來的講授中，筆者從理解瞬時(shí)速度的定義出發(fā)，通過一兩個(gè)例題，引導(dǎo)學(xué)生共同分析，學(xué)生反映接受的效果較好.下面是講授這類問題的基本思路.

按照現(xiàn)行人民版《物理》必修1中速度的定義：物理學(xué)中用位移與發(fā)生這個(gè)位移所用時(shí)間的比值表示物體運(yùn)動(dòng)的快慢，這就是速度.一般來說，物體在某一時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)快慢不一定是一樣的，所以只能理解為這是物體的平均速度.為了使描述精確些，可以把Δt取得小一些.物體在從t到t＋Δt這樣一個(gè)較小的時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)快慢的差異也就小一些.Δt越小，運(yùn)動(dòng)的描述就越精確，如果Δt非常小，就可以認(rèn)為表示的是物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度.

我們可以根據(jù)以上思路來分析繩子斜拉物體或物體斜拉繩問題.由于拉動(dòng)繩子，一方面船和滑輪間的繩子變短，另一方面繩子連接物體的一端轉(zhuǎn)過一個(gè)小的角度.設(shè)想物體在很短的時(shí)間Δt內(nèi)發(fā)生了很短的位移，進(jìn)而利用幾何關(guān)系求出一個(gè)物體在Δt時(shí)間內(nèi)沿實(shí)際效果方向分位移間與實(shí)際位移的關(guān)系，根據(jù)速度的定義，求出且當(dāng)Δt很小時(shí)，就可認(rèn)為是這兩個(gè)方向的分速度.為了進(jìn)一步說明此方法，下面舉幾個(gè)例子.

例1.如圖1，人在岸上以恒定的速度v0通過滑輪用不可伸長(zhǎng)的繩拉水中的小船，當(dāng)繩與水平方向成θ角時(shí)，小船沿水面向岸靠近的速度v多大？

解析：在拉動(dòng)小船的過程中，小船與滑輪間的繩子長(zhǎng)度減小，另一方面，繩子繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng).

圖1

設(shè)在很短的時(shí)間Δt內(nèi)，小船向前運(yùn)動(dòng)了Δx，則繩子也轉(zhuǎn)過一個(gè)小角度，使得繩子與水平方向的夾角增加 了 Δθ.連 接AB 使A、B與滑輪間距離相等，船與滑輪間繩子的長(zhǎng)度縮短了長(zhǎng)度BC，如圖2所示.

圖2

例2.如圖3所示，使動(dòng)滑輪以速度v向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)不可伸長(zhǎng)的繩與墻成α角的瞬時(shí)，求物體速度大小.

解析：在拉動(dòng)滑輪的過程中，繩子固定端與滑輪間的繩子長(zhǎng)度增大，另一方面，繩子在繞固定端轉(zhuǎn)動(dòng).

圖3

設(shè)想在很短的時(shí)間Δt內(nèi)，動(dòng)滑輪由A位置升高到B位置，升高量為y，如圖4，則滑輪到墻上固定點(diǎn)的距離增加量等于的長(zhǎng)度.由數(shù)學(xué)知識(shí)＝y(tǒng)cosθ.由于滑輪升高量故物體共升高了y＋ycosθ.

圖4

例3.如圖5所示，臨界角為45°液面上有一點(diǎn)光源S，用遮光紙遮住，只留下一束豎直向下垂直入射到水平放置于液體中且距離液面為d的平面鏡M 上.當(dāng)平面鏡M繞垂直過中心O的軸以角速度ω逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，觀察者發(fā)現(xiàn)水面上有一光斑掠過.設(shè)t＝0時(shí)平面鏡處于水平位置且鏡面向上，試確定觀察者所觀察到的光斑在水面上移動(dòng)速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

圖5

解析：反射光束一方面繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)在水中的長(zhǎng)度要伸長(zhǎng).如圖6所示，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t，平面鏡轉(zhuǎn)過角度θ＝ωt，則反射光線和入射光線的夾角為2θ，反射光線轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為2ω，此時(shí)光線反射到水面上的P點(diǎn).設(shè)經(jīng)過一個(gè)很小的時(shí)間間隔Δt，平面鏡又轉(zhuǎn)過Δθ＝ωΔt，反射光線與入射光線的夾角增加了2Δθ＝2ωΔt，反射光束轉(zhuǎn)到OQ，水面上的光斑由P點(diǎn)移到Q點(diǎn).作OR＝OP，則QR就是在Δt內(nèi)反射光束在水中增加的長(zhǎng)度.PR為P點(diǎn)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過的小短弧.由于Δt很小，PR接近直線，且∠PRO近似等于90°，三角形QRP可以看作直角三角形，且∠QPR＝2θ，PR＝而在三角形OSP中所以

圖6

例4.如圖7所示，物體M套在光滑的豎直桿上，和m通過細(xì)繩和定滑輪相連，定滑輪與桿間的距離為d，當(dāng)M下落h時(shí)，速度達(dá)到vM，求此時(shí)m的速度vm.

解析：當(dāng)M下落時(shí)，M與滑輪間繩子變長(zhǎng)，同時(shí)繩子繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng).如圖8所示，設(shè)物體下落h時(shí)，繩子與桿的夾角為θ，再經(jīng)過一段很短的時(shí)間Δt，M下落y，M與滑輪間繩子長(zhǎng)度增加了x，即物體m上升的位移為x.

圖7

圖8

由于Δt很小，角θ變化也很微小，可認(rèn)為vMsinθ＝vm，所以有

以上幾個(gè)例題都屬于繩斜拉物體模型的問題.通過例題可以看出，在根據(jù)實(shí)際問題設(shè)出一個(gè)微小時(shí)間Δt后，輔之簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，根據(jù)速度的定義求解繩斜拉物體模型的分速度，比較易于掌握.由于是從速度的定義出發(fā)去分析求解，故可適用于一切求速度分解的問題，但在有的題目中過于強(qiáng)調(diào)這種方法則有繁瑣之感.求解速度的分解問題，應(yīng)視具體問題而定.讓學(xué)生掌握這種方法，既可鞏固學(xué)生對(duì)速度概念的掌握，又能提高學(xué)生發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的基本技能.