物理競賽中的橢圓

2012-07-19 08:01:48鄭金

物理教師 2012年4期

鄭金

（凌源市職教中心，遼寧朝陽 122500）

在數(shù)學(xué)中，到兩個定點的距離之和等于常數(shù)的點的集合為橢圓.當(dāng)以長軸為x軸時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

橢圓是一種圓錐曲線，在平面上到定點F的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的集合是橢圓.偏心率為小于1的正數(shù)；近焦點到準(zhǔn)線的距離即焦準(zhǔn)距為在以橢圓的遠(yuǎn)焦點為極點，以長軸所在直線為極軸的極坐標(biāo)系中，橢圓的極坐標(biāo)方程為r＝若設(shè)半通徑即半正焦弦為ρ0，則由定義可知ρ0因此

橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過另一個焦點.由反射定律知，橢圓上任一點的法線平分該點對兩個焦點的張角.即橢圓上任一點的法線平分焦點三角形的頂角.

1 力學(xué)中的橢圓

某些行星和衛(wèi)星等天體在萬有引力作用下的運動軌跡多為橢圓.

圖1

解析：把質(zhì)點的橢圓運動視為兩個沿坐標(biāo)軸方向的同一頻率的簡諧運動的疊加，設(shè)t＝0時x＝a，則y＝0，因此質(zhì)點的運動方程為

分速度為vx＝－aωsinωt，vy＝bωcosωt，所以

對分速度求導(dǎo)數(shù)得分運動的加速度為

對應(yīng)的回復(fù)力分別為Fx＝－mω2x，F(xiàn)y＝－mω2y，設(shè)曲率半徑與Fy方向夾角為θ，則合速度與vx方向夾角為θ.可知法向力為

還可利用極坐標(biāo)方程求解，在圖1中，在以左焦點為極點，以x軸為極軸的極坐標(biāo)系中，由于左焦點為遠(yuǎn)焦點，則橢圓的極坐標(biāo)方程為對于右頂點，r＝a＋c，θ＝0，所以

另解：在萬有引力作用下，物體的機(jī)械能和角動量都守恒.由于在遠(yuǎn)地點和近地點的速度都與矢徑垂直，則角動量為L＝mv·r，機(jī)械能總量為

遠(yuǎn)、近地點的矢徑長度為方程的兩個根，由韋達(dá)定理可知

2 熱學(xué)中的橢圓

例2.（第15屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽題）1mol理想氣體緩慢地經(jīng)歷了一個循環(huán)過程，在p－V圖中這一過程是一個橢圓，如圖2所示.已知此氣體若處在與橢圓中心O′點所對應(yīng)的狀態(tài)時，其溫度為T0＝300k.求在整個循環(huán)過程中氣體的最高溫度T1和最低溫度T2各是多少？

圖2

與橢圓相切的等溫線，所對應(yīng)的溫度為循環(huán)過程的最高或最低溫度.

假如畫圖時取橫縱坐標(biāo)軸的刻度相等，則橢圓變?yōu)檎龍A，那么圓心過第一象限的角分線，而等溫線與圓周的切點在角分線上，可知離原點最遠(yuǎn)的切點坐標(biāo)為

易知另一個切點即離坐標(biāo)原點最近的切點的坐標(biāo)為

拓展：若循環(huán)過程沿順時針方向，則氣體做功情況如何？

解析：因循環(huán)過程沿順時針方向，則氣體對外做功，數(shù)值上等于橢圓的面積，由公式S＝πab得

3 電學(xué)中的橢圓

例3.真空中有一固定點電荷，帶正電為Q，另一點電荷帶負(fù)電為q，質(zhì)量為m，繞Q做橢圓運動，Q位于橢圓的一個焦點上，q與Q的最大距離為a，最小距離為b，如圖3所示，求：（1）q繞Q運動的周期；（2）負(fù)電荷在距正電荷最近點和最遠(yuǎn)處的速率；（3）若負(fù)電荷在距正電荷最遠(yuǎn)處獲得能量而繞其做圓周運動，它獲得的能量是多大？

解析：（1）由于在橢圓運動過程中q只受Q的庫侖引力，跟行星繞恒星做橢圓運動時所受的萬有引力相似，則帶電粒子的橢圓運動也遵循開普勒第三定律，即電荷q做橢圓運動周期的平方與其長半軸的3次方成正比.由題意知橢圓的半長軸為因此橢圓運動周期等于q繞Q做半徑為的勻速圓周運動的周期.由得