科學完整地理解質點

曾湘詠

（株洲市教育科學研究院，湖南 株洲 412000）

1 問題的提出

圖1 平動的木板

案例1.一塊長度為l的木板放在水平面上，其右端位于地面上的A點.用力推動木板，使其從圖1所示位置水平向右移動.下列哪種情況可以將木板視為質點？

（1）測量木板通過A點的時間；

（2）測量木板移動等于自身長度的距離所用的時間.

由于木板的長度不能忽略，故（1）中不能將木板視為質點；由于木板上每一點的運動情況相同，故（2）中可以將木板視為質點.

事實上，（1）、（2）是完全等價的兩種描述，且木板空間位置的變動沒有任何差異，測量的時間也是一樣的.然而，一個可視為質點，另一個卻不能視為質點，真是匪夷所思.

案例2.在案例1中，設木板質量為m，水平推力為F，水平面光滑.求

（1）木板通過A點的時間；

（2）木板移動等于自身長度的距離所用的時間.

（1）、（2）都是利用質點的牛頓動力學和質點的運動學規律算出相同的時間.如果問題（1）中不能將木板視為質點，那為什么還能用有關質點的運動規律計算時間？

2 為什么要引入質點

物理學從力學開端，物理學的一些基本概念與方法最初也是從力學提出的.著名物理教育家和科學史家霍爾頓說：“無論從邏輯上講還是歷史上講，力學都是物理學的基礎，也是物理學及其他科學研究的典范.”力學研究的對象是機械運動，即物體位置隨時間的變動.運動學研究如何確定物體的空間位置，如何描述物體的運動狀態以及運動的內在規律.

實際物體的形狀和大小是千差萬別的，物體各部分的運動情況一般并不一樣，要準確地描述物體的運動不是一件容易的事.物理學在研究客觀存在的問題時，經常舍棄次要因素，抓住主要因素，透過問題的表象澄清事物的本質，構建理想化模型來解決和處理實際問題.質點就是在研究機械運動時采用的第一個理想化模型.質點模型忽略物體的具體形狀和大小，突出了“物體具有質量”和“物體占有位置”兩個特征.以質點模型代替實際物體，并非脫離實際，反而使人更深刻地抓住問題的本質.“正像畫家幾筆簡練的素描往往更加傳神一樣，運用物理模型物理學家才能找到更為本質而普遍的規律.”［1］

此外，在研究一些比較復雜的物體（如剛體、流體）運動時，雖然不能把整個物體看成質點，但在處理方法上可把復雜物體看成由許多質點組成，在解決質點運動問題的基礎上來研究這些復雜物體的運動.

可見，研究質點的意義有兩方面：在物體形狀、大小不起主要作用時，把物體看成一個質點；在物體形狀、大小起主要作用時，把物體看成由許多質點所組成.研究質點的運動，是研究實際物體運動的近似和基礎.因此，質點是集物理思想（建模思想）和方法（從簡單問題著手，簡化物體的運動）于一體的典范.

3 質點概念的界定

在處理實際問題時，可以設想將任一物體無限細分，把它看成由無窮多個微小單元組成.每一微元的廣延小到可以不計，因而每一微元是一個有質量的物質點.這樣的點稱為理想質點.由此可見，物體總是由大量的理想質點組成的.因此，物體又叫質點組或質點系.

在實際的科學試驗中，通常只能觀測物體的運動，物體比理想質點復雜，但物體運動在某一方面的表現又可以用一個假想的質點表示，它是一種理想模型.這種用來代替物體的質點叫假想質點.［2］

理想質點和假想質點的關系見表1.

表1

在高中階段，主要研究那些能夠簡化為質點的物體的運動，因而“用來代替物體的有質量的點叫做質點”［3］便成為中學物理定義質點的主流概念.然而，仔細分析后不難發現，上述“替代說”與“物體即質點組”是不自洽的.“在中學物理中是如何定義質點的？試舉例說明這一定義適合于哪些情況，或者對哪些情況不適用.”［4］這說明部分高等教材已注意到質點的“替代說”定義并不具有普遍意義.

4 物體視為質點的條件

無論是高中物理教材，還是大學物理教材，在討論是否可以將物體看做質點時，眾說紛紜.即使是人教版高中物理教材，大綱版與新課程版也有不同.概括起來，主要有以下三種說法：

4.1 運動性質說

若不涉及物體的轉動和形變，只研究它的平動部分，就可以忽略它的形狀和大小，把它簡化為一個具有質量的點來處理.［5］當物體平動時，無論它多大，其各個部分的運動情況完全相同，它的任何一點的運動，都可代表整個物體的運動.在這種情況下，可以把整個物體當做質點來看待.［6］

4.2 運動范圍說

如果物體的大小遠遠小于物體的運動范圍（或所研究的問題中的有關距離），問題又不涉及物體的轉動，就可以用質點來代替實際物體.［7］

4.3 問題性質說

人教版高中物理教材新課程版最具代表性.以地球的公轉、航天器的運行軌道和火車的整體運動為典型實例，論證并得出了“一個物體能否看成質點是由問題的性質決定的”.［8］

1、2兩種說法都認為物體的平動是運用質點模型的必要條件，但后者要求更加嚴格.“物體的大小遠遠小于物體的運動范圍”這個條件是從諸如描述一列火車在兩個車站間行駛過程中位置變化及速度變化時可以將火車視為質點、研究地球公轉時地球的半徑遠遠小于日地間距離從而可以將地球視為質點等具體事例中提煉出來的.仔細分析這個苛刻的條件發現，即便滿足“物體的大小遠遠小于物體的運動范圍”，如果將物體視為質點，就無法回答“澳大利亞飛鏢為什么能飛回原處（見圖2）”等問題，這也是編著者要補充“問題又不涉及物體的轉動”的原因，可見它不是一個充分條件；如若不滿足這個條件，譬如物體的運動范圍與物體的大小差不多甚至小于物體的大小，物體未必不能視為質點，如案例1中的情況（2），可見它也不是一個必要條件.人教版的問題性質說雖然簡潔，但由于對“問題性質”沒有明確的說法，顯得籠統而不具體.仔細研讀論證過程不難發現，“問題性質”原來就是指研究（或描述）物體的機械運動時暫不考慮物體的轉動和形變.

因此，概括地說，對機械運動的研究（觀測或描述）只要不涉及物體的轉動和形變，一切物體都可以看成質點.

圖2 神奇的澳大利亞飛鏢

5 質點概念的延伸——質心

圖3 兩人相互拋擲一把斧頭質心軌跡為拋物線

前面已經說明，任何物體總是由大量的質點組成的，物體又叫做質點組或質點系.按照動量定理，一個質點組的動量可以用質點組的質量與質點組的平均速度（按質量加權平均）之乘積來表示.換言之，一個質點組的運動狀態，可以用一個設想的質點來表示，這個點的質量等于質點組的質量，這個點的速度等于質點組的平均速度.因此，可以用一個假想的質點來表示質點組（物體）.這個假想的質點叫做質點組的質量中心，簡稱質心.質心的實際位置決定于質點組的質量分布，與坐標系的選擇或原點無關.引入質心的概念，其重要性之一是使人們對牛頓運動定律的認識得到了發展.牛頓運動定律不僅適用于單個質點也適用于質點組，只是質點組的運動狀態由質心來表征.當人們只需關注物體的整體運動情況時，不管它是不發生形變的剛體（圖3），還是可以形變的柔體（圖4），無論是爆炸（圖5）［9］還是旋轉（圖2），都可以用質心這個假想質點來描述.

圖4 跳水運動員質心軌跡為拋物線

圖5 炮彈在空中爆炸質心軌跡為拋物線

6 澄清一些模糊認識

6.1 在計算或測量火車過路標、橋梁、隧道的時間問題中，火車能不能視為質點？

筆者通過調查發現，無論是教師還是學生，都給出了否定的答案，追問理由，也驚人的相似：火車的長度不能忽略.在筆者提出案例1、2中的問題后，又都不能自圓其說.

由于不涉及車輪的轉動，火車過路標、橋梁、隧道的時間問題都可歸結為案例1、2中“長木板”平動類型.在這類問題中，木板的長度雖然不能忽略，但其長度并不影響我們標記木板的空間位置（譬如用質心表征）以及對位置變化的觀測，在任何參考系中我們都可以對其運動進行準確描述.“木板通過A點”其實質是木板位置的變化，只是位置變化的效果（即位移）等于木板的長度而已.事實上，對木板平移的長度沒有任何限制，當然包括平移自身長度.因此，由于不涉及車輪的轉動，在計算或測量火車過路標、橋梁、隧道的時間問題中，火車當然可以視為質點.

也可以從另外的角度來理解上述問題.其一，若火車不能視為質點，則表明問題“并不簡單”，用質點代替火車時不能解決問題，或處理問題時不夠精確.事實恰好相反，該問題是“相當的簡單”，小學數學課程和初中物理課程中都有類似的問題，而這些問題中所給的“火車速度”實質是火車質心的速度，只是學生在無意識中利用了質心這個假想質點的運動規律求出了火車運動的時間罷了.其二，下面提供的案例是2011年全國高考理綜新課程卷的一道物理實驗題，其中涉及了利用“光電門”對直線運動的研究.

圖6 測滑塊的加速度

案例3.利用圖6所示的裝置可測量滑塊在斜面上運動的加速度.一斜面上安裝有兩個光電門，其中光電門乙固定在斜面上靠近底端處，光電門甲的位置可移動.當一帶有遮光片的滑塊自斜面上滑下時，與兩個光電門都相連的計時器可以顯示出遮光片從光電門甲至乙所用的時間t.改變光電門甲的位置進行多次測量，每次都使滑塊從同一點由靜止開始下滑，并用米尺測量甲、乙之間的距離s，記下相應的t值，所得數據如表2所示.完成下列填空和作圖：

表2

（1）若滑塊所受摩擦力為一常量，滑塊加速度的大小a、滑塊經過光電門乙時的瞬時速度vt、測量值s和t四個物理量之間所滿足的關系式是________.

顯然，案例中滑塊的位置是用遮光片來標記的，它代表了整個滑塊的運動，滑塊的長度對其運動的觀測（運動時間、位置變化）沒有任何影響.另外，在現行的所有高中物理教材中，通過讓小車牽引紙帶，利用打點計時器在紙帶上打下一系列的點來研究物體的運動，無一例外地都將物體（小車）視為質點.

6.2 可以離開對物體運動的研究或觀測來談論質點嗎？

案例4.瓢蟲身上的星數（斑點）顯示的是它的種類，而不是它的年齡.在研究瓢蟲的星數、爬行軌跡、飛行路徑、翅膀扇動等問題時，什么情況下可以將瓢蟲視為質點？［3］

編者進行學科滲透的意圖是值得贊賞的，但研究瓢蟲的星數與研究瓢蟲的運動相去甚遠，生物學家在研究瓢蟲時未必有“質點”的概念，但并不妨礙他們對瓢蟲進行研究.這種離開對物體的運動去進行研究或觀測來談論質點的問題，只觸及質點的表象（不計形狀和大?。?、卻沒有觸及質點的“內核”——物理思想和方法的統一，是沒有“物理味”的非物理問題.類似的，“對學生騎車姿勢進行生理學分析”、“觀看芭蕾舞演員表演”、“裁判給跳水運動員打分”等是否可以將學生、演員和運動員看成質點的問題，雖然涉及到了物體的運動，但分析、觀察、評判問題的角度仍是“非物理的”，是沒有物理意義的問題.這些出自高中教輔資料的“非物理”問題，反映了部分物理教師對質點理解上的缺失.

7 結論

質點分理想質點和假想質點，質心是質點概念的延伸，既體現了物理學思想又體現了處理問題的方法；在研究和觀測運動時，只要不涉及轉動和形變，物體就可以視為質點，離開對物體運動的研究或觀測去談論質點是沒有物理意義的.

1 趙凱華，張維善.新概念高中物理讀本.第1冊.北京：人民教育出版社，2006.

2 王楚等.基礎物理教程力學.北京：北京大學出版社，1999.

3 保宗悌.物理（必修1）.廣州：廣東教育出版社，2010.

4 王楚等.基礎物理教程力學.北京：北京大學出版社，1999.

5 楊維纮.力學（第2版）.合肥：中國科學技術大學出版社，2004.

6 李復.力學教程（上）.北京：清華大學出版社，2011.

7 梁昆淼.力學（第4版，上冊）.北京：高等教育出版社，2011.

8 張大昌.高中物理必修1.北京：人民教育出版社，2010.

9 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程.力學（第2版）.北京：高等教育出版社，2004.