淺談導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問(wèn)題中對(duì)參數(shù)的幾種分類討論

張躍龍

摘 要：縱觀歷年高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，都會(huì)以“一大一小”的格局出現(xiàn)，“一小”即以選擇題或以填空題的形式考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)問(wèn)題中的直接應(yīng)用。“一大”即以壓軸題的形式考查導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等方面的綜合應(yīng)用，難度較大。作為高考必考熱點(diǎn)內(nèi)容，有一定程度的綜合性，方法能力要求較高，承載著高考對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)能力、思維邏輯以及解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心板塊、學(xué)習(xí)線索、其它知識(shí)的載體——函數(shù)的集中，全面考查，份量很高，是每年高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)難點(diǎn)。特別是在解決問(wèn)題的過(guò)程中往往要涉及到對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論這一難點(diǎn)，綜合師生在實(shí)際解決試題過(guò)程中缺乏對(duì)參量進(jìn)行分類討論的思維意識(shí)，筆者就這一難點(diǎn)問(wèn)題以高考試題為素材對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論的理由，分類的依據(jù)，進(jìn)行探討，進(jìn)而得出對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論的幾種模式。

關(guān)鍵詞：含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性; ?基礎(chǔ)前提 ; 根的數(shù)量分類; ?根的大小分類 ; 極點(diǎn)和定義域區(qū)間相對(duì)位置的分類

查閱各省市歷年高考數(shù)學(xué)在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用板塊的主觀試題，題型通常是對(duì)含參量函數(shù)的極值、單調(diào)性、零點(diǎn)、恒成立及方程等基本屬性的考查，解題過(guò)程往往都要對(duì)其參量進(jìn)行分類討論，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)其難點(diǎn)是如何對(duì)參量分、怎么分、分幾類、分的依據(jù)分別是什么、是學(xué)生掌握的難點(diǎn)，理解的難點(diǎn)，但對(duì)參量的精準(zhǔn)，不重不漏的分類同時(shí)也是分析解決函數(shù)基本屬性的關(guān)鍵前提。

筆者認(rèn)為要讓學(xué)生突破這個(gè)難點(diǎn)，首先要理解接受這樣一個(gè)思路方法，那就是函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)其它問(wèn)題（極值、零點(diǎn)、恒成立、方程與不等式，已知單調(diào)性求參量范圍）的基礎(chǔ)前提。對(duì)于函數(shù)極值最值的求解顯然要知道其單調(diào)性，然后依據(jù)單調(diào)性達(dá)到求解，而對(duì)于函數(shù)的恒成立型問(wèn)題，不等式以及已知其單調(diào)性求其參量范圍問(wèn)題，首先借助分離參數(shù)法或者最值轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，其次依靠函數(shù)的單調(diào)性加以分析，達(dá)到解決。另外對(duì)于函數(shù)與方程，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題都要依靠函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)極值最值以及圖象輪廓再應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想達(dá)到分析解決，故綜上述可以看到對(duì)含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性的討論分析是解決其它問(wèn)題的基礎(chǔ)前提，同時(shí)也是高考考查的熱點(diǎn)。

鑒于上述考量，筆者著重就利用導(dǎo)數(shù)解決含參量函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題中對(duì)參量的如何分，怎么分的問(wèn)題以高考試題為素材進(jìn)行探討。

一、對(duì)導(dǎo)函數(shù)在其定義域內(nèi)根的數(shù)量進(jìn)行分類討論。

借助導(dǎo)數(shù)討論含有參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，首先求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）≥0，以及f′（x）≤0的不等式解集。對(duì)于導(dǎo)函數(shù)不等式解集的討論，往往先討論、分析導(dǎo)函數(shù)在其定義域內(nèi)有無(wú)根，若有根有幾個(gè)跟的問(wèn)題，其次若有根則進(jìn)一步讓根劃分其定義域，最后討論每一個(gè)劃分區(qū)間下其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況。若導(dǎo)函數(shù)是含參量的一元二次函數(shù)，在開(kāi)口方向已定的情況下，就對(duì)其判別式進(jìn)行分類討論，往往分Δ≤0和Δ>0兩種情形（雖然Δ=0時(shí)導(dǎo)函數(shù)有一個(gè)根，但不影響f′（x）≥0或f′（x）≤0的趨勢(shì)，從而有f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，故將Δ=0和Δ<0歸結(jié)為一類）。若導(dǎo)函數(shù)為非二次函數(shù)，往往借助相關(guān)函數(shù)的特征如恒大于0等對(duì)根的數(shù)量情況加以分類討論。

例：已知，討論f （x）的單調(diào)性。

解析：根等價(jià)于的根，故對(duì)二次函數(shù)的判別式分Δ≤0和Δ>0兩類情況對(duì)參量進(jìn)行分類討論。

解：f （x）的定義域是（0，+∞），

設(shè)的判斷式Δ=，

①當(dāng)Δ≤0時(shí)，即時(shí)，

上單調(diào)遞增函數(shù)。

②當(dāng)Δ> 0時(shí)，即時(shí)，

在上單調(diào)遞增。

例：（2015年江蘇卷理）已知函數(shù)，（Ι）討論f （x）的單調(diào)性。

解析：本題其判別式故分Δ=0和兩類情況對(duì)參量進(jìn)行分類討論，另外注意對(duì)情形下f '（x）=0的兩根大小需進(jìn)一步分類討論。

解：當(dāng)Δ=0時(shí)，即時(shí)，

上單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，即時(shí)， 的兩根x1=0，x2。

評(píng)論：2013年浙江理數(shù)，2016年天津理數(shù)，2016年山東理數(shù)都考查了對(duì)判別式分類討論的理念。

例：（2015年天津卷理數(shù)）已知函數(shù)

（Ι）討論f （x）的單調(diào)性。

解析：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，根即的解有兩個(gè)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，的根有一個(gè)x=1，故對(duì)n為奇數(shù)和偶數(shù)分兩類進(jìn)行討論。

解：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令得x1=0，x2=-1

單調(diào)遞減，

當(dāng)單調(diào)遞增。

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令，得x=1，所以當(dāng)時(shí)， ，f （x）遞增。當(dāng)時(shí)， ，f （x）遞減

例：已知：，討論f （x）的單調(diào)性。

解析：，考慮到指數(shù)函數(shù)故當(dāng)時(shí)，f '（x）=0無(wú)根。

當(dāng)時(shí)，f '（x）=0的根為，

解：函數(shù)定義域?yàn)镽，

當(dāng)無(wú)根，有，f （x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí)，f '（x）=0的根為

單調(diào)遞減。

當(dāng)單調(diào)遞增。

評(píng)注：分析討論導(dǎo)函數(shù)有無(wú)根時(shí)，往往要考慮到某些函數(shù)的性質(zhì)，如指數(shù)函數(shù)恒大于零，三角函數(shù)的值域小于等于1等。2017年理數(shù)全國(guó)Ι，2017年文數(shù)全國(guó)Ⅲ都對(duì)此有所考查。

二、對(duì)導(dǎo)函數(shù)在其定義域內(nèi)根的大小進(jìn)行分類討論。

若導(dǎo)函數(shù)f '（x）=0在其定義域內(nèi)有根，那根的大小關(guān)系直接決定所劃分定義域的區(qū)間結(jié)果，從而決定單調(diào)性，故應(yīng)以根的大小關(guān)系為依據(jù)對(duì)參量進(jìn)行分類討論。

例：（2011年北京卷理數(shù)）已知函數(shù)，求f （x）的單調(diào)區(qū)間。

解析：f '（x）=0有兩根x1=k，x2=-k，由于x1和x2大小未有定論，故應(yīng)對(duì)x1和x2大小關(guān)系進(jìn)行分兩類。

解：

當(dāng)x1>x2時(shí)，即k>0時(shí)，x∈（-∞，-k）Y（k，+∞）時(shí)，，f （x）單調(diào)增函數(shù)

x∈（-k，k）時(shí)，，f （x）單調(diào)減函數(shù)

當(dāng)x1

x∈（k，-k）時(shí)，，f （x）單調(diào)減函數(shù)

例：（2017年山東理數(shù)）已知函數(shù)

（Ⅱ）令討論h（x）的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值.

解析：本題是對(duì)根的數(shù)量和根的大小為依據(jù)對(duì)參量分類討論的典范。，當(dāng)a≤0時(shí)，f '（x）=0的根為x1=0，當(dāng)a>0時(shí)，f '（x）=0的根為x1=0，x2=ln，故首先應(yīng)對(duì)根的數(shù)量分a≤0和a>0兩大類，其次應(yīng)看到當(dāng)a>0的情形下，需進(jìn)一步對(duì)x1=0，x2=ln的大小關(guān)系分三類。本題解題過(guò)程看似龐大、繁雜，但只要分類思路清晰，分類層次明確便迎刃而解，這體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)貴在思想”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及學(xué)習(xí)方法。

解：，利用導(dǎo)數(shù)得知當(dāng)x>0時(shí)，x-sinx>0

當(dāng)x<0時(shí) ，x-sinx<0.

（1）當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)x=0時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=0時(shí)，h（x）取極小值h（0）=2a-1

（2）當(dāng)a>0時(shí)，h '（x）=0有兩根，x1=0，x2=ln

①當(dāng)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，h （x）單調(diào)遞增。

所以，當(dāng)x=ln時(shí)，h （x）取極大值，當(dāng)x=0時(shí)，h （x）取極小值。

②當(dāng)ln=0時(shí)即a=1時(shí)，有時(shí)，h （x）單調(diào)遞增。

③當(dāng)單調(diào)遞增，時(shí)，h （x）單調(diào)減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，h （x）單調(diào)遞增，所以h （x）在x=0取極大值。在x=ln取極小值。

評(píng)注：2016年全國(guó)理數(shù)1卷，2016年理數(shù)山東卷，2013年江蘇卷，以兩根的數(shù)量及兩根的大小為依據(jù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行綜合分類都有考查。考查考生的分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理思想以及運(yùn)算觀察能力，是高考考查的熱點(diǎn)高頻點(diǎn)，師生應(yīng)高度關(guān)注。

三、函數(shù)極值點(diǎn)和定義域區(qū)間相對(duì)位置（定義域區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)的數(shù)量）的分類。

函數(shù)在極值點(diǎn)附近左右兩側(cè)的單調(diào)性相反，因此函數(shù)極值點(diǎn)落在函數(shù)定義域內(nèi)或定義域外（左側(cè)或右側(cè)）意味著函數(shù)在其定義域上有不同的單調(diào)性，因而最值的結(jié)果不一樣，故函數(shù)的極值點(diǎn)中含有參數(shù)時(shí)要討論函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性，極值及其它問(wèn)題，首先應(yīng)對(duì)極值點(diǎn)和已知定義域的相對(duì)位置分三種情況（極值點(diǎn)在定義域內(nèi)、極值點(diǎn)在定義域左側(cè)、極值點(diǎn)在定義域右側(cè)）討論。事實(shí)上關(guān)于一元二次函數(shù)的“軸動(dòng)區(qū)間定”型問(wèn)題，其本質(zhì)就是對(duì)極值點(diǎn)和定義哉區(qū)間相對(duì)位置分類討論的特殊情形。2011年理數(shù)江蘇卷和2016年理數(shù)天津卷，2016年理數(shù)全國(guó)卷Ⅲ，對(duì)此理念都有所考查和體現(xiàn)。

例：（2011年江蘇卷理數(shù)）已知，若，求h （x）在（-∞，-1）上的最大值。

解析：h （x）在處分別為極大值和極小值點(diǎn)，要求h （x）在已知定義域區(qū)間（-∞，-1）上的最大值，應(yīng)依極值點(diǎn)和區(qū)間的相對(duì)位置分三類進(jìn)行討論。

解：令 h （x）=0，得時(shí)，h （x）的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為

①當(dāng)上單調(diào)遞增，h （x）在（-∞，-1）上的最大值

②當(dāng)上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，h （x）在（-∞，-1）上的最大值

③當(dāng)上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)樗詇 （x）的最大值。

以上三種分類討論是導(dǎo)數(shù)在應(yīng)用在主觀試題中考查的熱點(diǎn)，同是也是難點(diǎn)，師生應(yīng)在平時(shí)教學(xué)和學(xué)習(xí)中應(yīng)給予關(guān)注。

參考文獻(xiàn)

1.杜志建.2015年-2017年3年真題匯編、數(shù)學(xué)（理）;

2.天利全國(guó)高考命題研究中心.2011-2015年5年高考真題匯編、數(shù)學(xué)（理）。