恒成立問題的另類解法

景來峰 楊長智

摘 要：新課標下的恒成立是高中數學的常見問題，它主要考察函數與導數，方程與不等式，函數性質與圖象的綜合應用。同時滲透換元，轉化與化歸，函數與方程的思想方法，尤其導數中體現更為明顯，是歷年高考的熱點問題?？陀^題中的恒成立問題，通過分離參數或轉化為求函數的最值基本能夠解決，但主觀題的恒成立問題，經常是以壓軸題的形式出現，同學們做起來，經常感到思路不暢，解答不完整，通法難以套用等。下面我就導數大題的恒成立問題，并結合高考題談一下思路和方法。

關鍵詞：導數;恒成立;放縮;分類討論;兩個小不等式等

一、觀察端點函數值，轉化為討論函數的單調性

例1：設函數若對恒成立，求m的取值范圍。

分析：觀察端點函數值f （x）=0，原題即為x>1恒有f （x）>f （1），所以只需討論m，說明f （x）在單增即可，但是不能按f （x）是單增函數求m范圍，因為f （x）在（1，+∞）單增是 f （x）>0（1，+∞）恒成立的充分不必要條件。

解：

令g （x）=x2+x-m，g （x）在（1，+∞）單增且g （1）=2-m

（1）當即時

在（1，+∞）是增函數

所以 ?f （x）在（1，+∞）為增函數

對，有，適合題意

（2）當即時

令得

當時，即

在上是減函數

當時，不適合題意

所以m取值范圍是

方法總結：若題目為：時恒成立，求f （x）中參數的取值范圍。先觀察端點函數值，若，即轉化為討論參數，說明f （x）在單增（單減）即可，上題中在的單調性是明確的，如果不明確，需要二次求導。有的題目需要變形后才能轉化成上面的類型。

例2：（14年全國高考） 已知函數

（1）討論f （x）的單調性

（2）設，當求b的最大值。

（1）略

（2）

分析：觀察即 所以只需討論b，說明即可。

簡解：

因為

①當即時

在R上單增適合題意

②當即時

令得

當是減函數不合題意

所以b取值范圍是，b最大值為2.

方法總結：本題端點函數值為零，然后通過整體思想或者換元，轉化為討論二次函數的單調性問題。

例3（2020全國理科） ? 已知函數

（1）當時 討論f （x）的單調性

（2）當時 ，求的取值范圍.

（1）略

分析（2）若令

觀察到：即。所以可以轉化為討論，說明即可，但是幾次求導后不能轉化為上面的題型，討論單調性。因此需先把原題變形一下：即。

分析：令，觀察端點函數值 ，即，所以只需討論，說明g （x）在（0，+∞）單減即可

簡解：

令

①當即時

g （x）為增函數時不合題意

②當即時

單減

單減極大值

由要使只需

由解得

③當即時 ? ?因為

可以說明當 ? 恒成立

也可以直接說明

時

綜上的取值范圍是

方法總結：本題雖說符合這種解法，但是沒法直接討論其單調性，需要變形后再討論。適當的變形是關鍵。

二、對參數進行分類，在每一類下說明不等式是否恒成立。

這種題有兩個關鍵點，一是參數的范圍如何劃分，二是怎么說明不等式是否成立，說明不成立，找到特值或區(qū)間，說明成立需要進行征明，可能用到兩個小不等式的放縮。

如4（15年四川高考）已知函數

討論f （x）的單調性

試確定a的值，使得在區(qū)間（1，+∞）恒成立

過程略①單增

②時是增函數， 是減函數

（2）分析：若令雖說

即：時，恒成立但無法討論，說明g （x）的單調性

簡解：1°當時

而即

不成立

2°由（1）的結論可知：①當即時

由①知f （x）在單減

所以而原式不成立

②當即時（說明g （x）單增即可）

在（1，+∞）是增函數

所以：當適合題意

取值范圍是

方法總結：由根據單調區(qū)間對 進行了分類然后在每一類下，進行說明或證明，其中證明時用到放縮①

如5.（2020全國高考）已知函數

（1）時求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積。

（2）若求的取值范圍

簡解：（1）略

（2）

在是增函數

①當時 不成立

②當時是增函數，且f '（1）=0

，f （x）單減，f （x） ?單增

所以 所以恒成立

③當時

使即

f （x）單減

f （x）單增

時 恒成立

綜上的取值范圍是

方法總結：本題根據的正負對進行分類，而說明成立，相當于隱零點求最值，當然本題也有其它簡單的解法。

以上就是我對恒成立問題的兩種解法的總結，當然恒成立問題，靈活多變，綜合性強。在掌握基本方法的前提下，觀察式子特點，通過化歸思想，轉化為熟知的類型。

參考文獻

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