恒成立問題的另類解法

景來峰 楊長智

摘 要：新課標(biāo)下的恒成立是高中數(shù)學(xué)的常見問題，它主要考察函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，方程與不等式，函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應(yīng)用。同時(shí)滲透換元，轉(zhuǎn)化與化歸，函數(shù)與方程的思想方法，尤其導(dǎo)數(shù)中體現(xiàn)更為明顯，是歷年高考的熱點(diǎn)問題。客觀題中的恒成立問題，通過分離參數(shù)或轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值基本能夠解決，但主觀題的恒成立問題，經(jīng)常是以壓軸題的形式出現(xiàn)，同學(xué)們做起來，經(jīng)常感到思路不暢，解答不完整，通法難以套用等。下面我就導(dǎo)數(shù)大題的恒成立問題，并結(jié)合高考題談一下思路和方法。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù);恒成立;放縮;分類討論;兩個(gè)小不等式等

一、觀察端點(diǎn)函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性

例1：設(shè)函數(shù)若對(duì)恒成立，求m的取值范圍。

分析：觀察端點(diǎn)函數(shù)值f （x）=0，原題即為x>1恒有f （x）>f （1），所以只需討論m，說明f （x）在單增即可，但是不能按f （x）是單增函數(shù)求m范圍，因?yàn)閒 （x）在（1，+∞）單增是 f （x）>0（1，+∞）恒成立的充分不必要條件。

解：

令g （x）=x2+x-m，g （x）在（1，+∞）單增且g （1）=2-m

（1）當(dāng)即時(shí)

在（1，+∞）是增函數(shù)

所以 ?f （x）在（1，+∞）為增函數(shù)

對(duì)，有，適合題意

（2）當(dāng)即時(shí)

令得

當(dāng)時(shí)，即

在上是減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，不適合題意

所以m取值范圍是

方法總結(jié)：若題目為：時(shí)恒成立，求f （x）中參數(shù)的取值范圍。先觀察端點(diǎn)函數(shù)值，若，即轉(zhuǎn)化為討論參數(shù)，說明f （x）在單增（單減）即可，上題中在的單調(diào)性是明確的，如果不明確，需要二次求導(dǎo)。有的題目需要變形后才能轉(zhuǎn)化成上面的類型。

例2：（14年全國高考） 已知函數(shù)

（1）討論f （x）的單調(diào)性

（2）設(shè)，當(dāng)求b的最大值。

（1）略

（2）

分析：觀察即 所以只需討論b，說明即可。

簡解：

因?yàn)?/p>

①當(dāng)即時(shí)

在R上單增適合題意

②當(dāng)即時(shí)

令得

當(dāng)是減函數(shù)不合題意

所以b取值范圍是，b最大值為2.

方法總結(jié)：本題端點(diǎn)函數(shù)值為零，然后通過整體思想或者換元，轉(zhuǎn)化為討論二次函數(shù)的單調(diào)性問題。

例3（2020全國理科） ? 已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí) 討論f （x）的單調(diào)性

（2）當(dāng)時(shí) ，求的取值范圍.

（1）略

分析（2）若令

觀察到：即。所以可以轉(zhuǎn)化為討論，說明即可，但是幾次求導(dǎo)后不能轉(zhuǎn)化為上面的題型，討論單調(diào)性。因此需先把原題變形一下：即。

分析：令，觀察端點(diǎn)函數(shù)值 ，即，所以只需討論，說明g （x）在（0，+∞）單減即可

簡解：

令

①當(dāng)即時(shí)

g （x）為增函數(shù)時(shí)不合題意

②當(dāng)即時(shí)

單減

單減極大值

由要使只需

由解得

③當(dāng)即時(shí) ? ?因?yàn)?/p>

可以說明當(dāng) ? 恒成立

也可以直接說明

時(shí)

綜上的取值范圍是

方法總結(jié)：本題雖說符合這種解法，但是沒法直接討論其單調(diào)性，需要變形后再討論。適當(dāng)?shù)淖冃问顷P(guān)鍵。

二、對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，在每一類下說明不等式是否恒成立。

這種題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是參數(shù)的范圍如何劃分，二是怎么說明不等式是否成立，說明不成立，找到特值或區(qū)間，說明成立需要進(jìn)行征明，可能用到兩個(gè)小不等式的放縮。

如4（15年四川高考）已知函數(shù)

討論f （x）的單調(diào)性

試確定a的值，使得在區(qū)間（1，+∞）恒成立

過程略①單增

②時(shí)是增函數(shù)， 是減函數(shù)

（2）分析：若令雖說

即：時(shí)，恒成立但無法討論，說明g （x）的單調(diào)性

簡解：1°當(dāng)時(shí)

而即

不成立

2°由（1）的結(jié)論可知：①當(dāng)即時(shí)

由①知f （x）在單減

所以而原式不成立

②當(dāng)即時(shí)（說明g （x）單增即可）

在（1，+∞）是增函數(shù)

所以：當(dāng)適合題意

取值范圍是

方法總結(jié)：由根據(jù)單調(diào)區(qū)間對(duì) 進(jìn)行了分類然后在每一類下，進(jìn)行說明或證明，其中證明時(shí)用到放縮①

如5.（2020全國高考）已知函數(shù)

（1）時(shí)求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積。

（2）若求的取值范圍

簡解：（1）略

（2）

在是增函數(shù)

①當(dāng)時(shí) 不成立

②當(dāng)時(shí)是增函數(shù)，且f '（1）=0

，f （x）單減，f （x） ?單增

所以 所以恒成立

③當(dāng)時(shí)

使即

f （x）單減

f （x）單增

時(shí) 恒成立

綜上的取值范圍是

方法總結(jié)：本題根據(jù)的正負(fù)對(duì)進(jìn)行分類，而說明成立，相當(dāng)于隱零點(diǎn)求最值，當(dāng)然本題也有其它簡單的解法。

以上就是我對(duì)恒成立問題的兩種解法的總結(jié)，當(dāng)然恒成立問題，靈活多變，綜合性強(qiáng)。在掌握基本方法的前提下，觀察式子特點(diǎn)，通過化歸思想，轉(zhuǎn)化為熟知的類型。

參考文獻(xiàn)

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