深度學習視域下圓錐曲線單元教學研究

馬愛祥

引言：隨著課程改革的深入落實，素質教育理念深入人心，為了提高課堂教學效果，需要從深度學習角度出發，運用有效教學方法，革新教學模式。單元教學具有系統性、整體性等特點，可以讓學生從單元整體角度學習數學思想和方法，培養其深度思維。圓錐曲線在高中數學教學當中十分重要，因此下文重點針對此部分教學內容的單元教學實踐路徑深度分析。在深度學習理念的指導下，通過單元教學設計，用整體化方式幫助學生找到知識規律，形成創造思維，揭示數學本質，逐漸將單元教學實踐過程加以完善。圓錐曲線這一章節，主要是利用坐標法找到數形關系，聯系代數、幾何問題，利用平面幾何思想解決問題，關系著學生核心素養的形成。因此，如何對本單元內容進行綜合設計，輔助學生深度學習為教師考慮的要點。

一、明確單元內容

應用深度學習理念，展開圓錐曲線的單元教學，教學內容的明確為首要環節，也是單元教學起始工作，又是教學效果評價的落腳點。結合圓錐曲線部分內容重點知識，梳理單元教學內容，包括圓錐曲線來源、第一定義、第二定義、方程推導、相關性質，還包括圓錐曲線、直線二者之間位置關系，最后還要求學生掌握圓錐曲線在生活當中的應用。

講授圓錐曲線、方程相關內容時，在數學概念、模型的講解方面可以利用信息技術，將數學知識可視化。比如：當學生通過推導過程，判斷兩點距離和是定值以后，點的軌跡就能利用幾何畫板繪制出來，讓學生形象記憶。同樣，在講授圓錐曲線的統一定義過程當中，還可以創建情境，同樣利用信息技術，展示被切割的圓錐，之后對切割面曲線進行觀察，使數學知識能夠可視化。除此之外，教師還可運用信息技術講解本單元重點，幫助學生直觀展示模棱兩可的數學概念。

二、梳理單元要素

圓錐曲線這一單元的教學要素可以根據數學課標中對核心素養方面的要求進行設定，具體內容如下：第一，數學要素，因為圓錐曲線屬于二次曲線數學模型，此部分知識重要性可以通過物理學科行星運動軌跡的判斷或者光學儀器的制造等方面而判斷出來。與此同時，圓錐曲線也屬于解析幾何領域重要分支，無論是其數形結合的運用，還是利用代數法求解具體問題都十分關鍵。

第二，課程標準要素分析，課標要求學生掌握圓錐曲線在實際問題解決中的運用，通過建立方程（包括直線、橢圓、圓、拋物線、雙曲線）的方式而呈現。在2017版高中數學課標當中要求，學生需要掌握圓錐曲線背景知識，體會其對現實世界刻畫與解決問題環節作用。學習橢圓知識以后，可以從實際情境當中理解橢圓定義，掌握標準方程，記憶簡單性質。學習雙曲線以后，同樣應該掌握其定義標準方程以及幾何圖像、性質等。學習拋物線以后，需要了解其定義、標準方程以及幾何圖像，可以應用拋物線和橢圓知識解決實際問題，感受數形結合思想，能夠在坐標系當中建立方程，融合向量法和綜合法之間的關聯，將立體幾何相關問題解決。

第三，教材要素，因為教材是學生學習知識的重要載體。在教材當中，存在“閱讀與思考”模塊。教師通過梳理教材內容，可利用配方法，將二次函數變形，之后移項就可以獲得拋物線方程模型，學生能夠清晰地看到二次函數屬于一種拋物線，對于數學知識建立整體認知。

三、設計教學目標

在單元整體教學過程當中，應該統籌考慮單元教學目標，并將教學目標劃分層次，細化到每一節課，引領教學過程。首先，從課程目標的設定角度分析，應該保證目標的設定能夠推動學生思考，使其達到既定的預期目標。課標當中對于圓錐曲線這部分內容的目標要求為“可以了解和圓錐曲線相關的知識，并且聯系生活，感受其應用價值;能夠從實際情境當中，將圓錐曲線的概念抽象出來，知曉其定義、性質和標準方程;可以利用代數法，借助平面坐標系將幾何問題解決，通過代數方法求解幾何問題，了解數形結合思想和方法，掌握圓錐曲線定義的統一性”。

其次，從單元教學目標角度分析，可以先將教學主題確認，之后將單元具體教學內容進行明確，教學目標為教學過程涉及的決定性因素。同時，教學以后還需要根據教學目標評價教學成果。對于本單元內容，數形結合這一思想的滲透極為重要，但是也應該關注核心素養的滲透。教學過程，要求學生能夠感受知識背景，通過作圖的方式，抽象出圓錐曲線定義，推導出其方程和幾何性質和具體應用。從數學知識目標的設定分析，要求學生了解圓錐曲線背景知識，可以從情境當中將其概念抽象出來，并且了解圓錐曲線定義、方程、簡單性質，明確圓錐曲線之間的統一性。從數學思想角度分析，學生應該通過直線、圓位置關系，類比并且解決直線、圓錐曲線之間位置關系;方程建立以后，應該感受函數思想運用方式，學習數形結合思想，利用幾何直觀方式求解代數問題。從核心素養角度分析，學生應該掌握邏輯推理、建模、抽象、運算等能力。

最后，從課時教學的目標設定分析，教師需要逐層分解，將具體目標落實到每節課當中，通過課堂延伸與拓展，升華主題，保證教學目標設定的彈性。

四、完善教學流程

（一）情境設計

教學過程的情境化，主要指的是將教學情境貫穿于整個教學過程，并將單元所有重點知識融合于情境當中，將教學情境作為切入點，逐漸引出圓錐曲線相關知識。可以從幾何體切割呈現出的圓錐曲線方面出發，來完成課堂情境的創設，讓學生感受到圓錐曲線問題具有統一的來源，進而引發其思考，產生探究欲望。教師在情境中提問“圓錐曲線擁有統一來源，那么其方程、定義等方面是否統一？”通過這一問題讓學生思考，在教學情境當中描述問題本質，引導學生根據已掌握的知識基礎，完成概念建構，形成發散思維。

比如：課堂當中，教師可以創設如下情境“怎樣使用同一個平面來截兩個大小相同、頂角相對組合圓錐結合體？”要求學生在問題指引之下，利用動手操作或者用手切割橡皮泥的方式，組合幾何體。學生在隨意截取之后，對于截面圖形進行觀察，之后小組合作解決問題，相互交流學習成果。部分學生截這個圓錐體之后，可能得到橢圓，也有可能得到圓、拋物線或者雙曲線。如果幾何體截取角度不同，那么就可切割成不同圖形。如果截面與圓錐底面相互平行，那么截面就是圓;如果截面、圓錐底面或者之間存在夾角，同時和圓錐相交時，截面即為橢圓;如果截面和兩個圓錐都相交，就有可能得到雙曲線、拋物線。教師可以通過信息技術，利用幾何畫板將具體的截取過程進行演示，通過拖動將平面、圓錐二者相交情況改變，使學生對圓錐曲線相關知識的統一性有真實的體會。展示以后教師還可以將數學文化滲透于課堂，利用數學家的故事激勵學生，使其了解圓錐曲線知識的起源，達到深層次學習目的。

（二）問題設計

在單元教學設計當中，問題可謂是教學過程的要點所在，教師在情境當中提問，讓問題能夠貫穿教學始末。需要注意，問題的設計并非單純指代某一句話，需要保證問題具備拓展性，這樣才可輔助學生解決問題。通過情境觀察，學生可能看到圓錐曲線這類問題可能存在統一性特點，因為圖形的來源相同。對此，教師可以提問“同學們還知道圓錐曲線知識具有哪些統一性呢？”部分學生猜測“性質統一”，還有的認為“方程統一”或者“數形結合”思想統一，教師可以根據學生實際回答情況，給出評價，之后引導學生從性質方面對于統一性進行研究。之后拋出問題“同學們知道拋物線是怎樣定義的嗎？”學生根據原有學習經驗，回答“動點到定點F（不在定直線L上）與到定直線L距離相等點軌跡即為拋物線”此時教師及時引導“到定點與到直線距離比等于1屬于特殊情況，還有大量不等于1的情況存在，如果使用比例關系的形式表示，若動點到定點至定直線距離（e）不是1，那么點P運動軌跡應該是怎樣的？”之后要求學生分組討論，教師利用幾何畫板建立模型，當動點到定點與到定直線距離的比值小于1的時候，學生可以看到圖形就是橢圓;如果比值和1相等，即為拋物線。上述知識學生已經接觸過，基于此，教師可以繼續提問“同學們想一想，是否能夠通過點到點與到直線距離不屬于相同范圍這一現象，將圓錐曲線的定義推導出來？”指引學生通過解析式的方法進行推導，保證問題設計和學生認知規律相符，引導其解決核心問題。課堂問題的設計循序漸進，在情境之下給出猜想，利用幾何畫板完成特殊曲線的繪制，學生通過直觀觀察，判斷點移動過程，根據意e值情況進行判斷，當e>1時為拋雙曲線;當e=1時為拋物線，當0