一類條件極值問題的求解與研究

鮑 勇

(北京科技大學 天津學院，天津 301830)

0 引言

對于條件極值而言，一般的求解思路是化有條件極值為無條件極值。常見的解決方法有兩種[1]：一是代入法，二是拉格朗日乘數法。第一種方法存在很大缺陷，若約束條件是隱式的，則代入法很難進行，而第二種方法則是通用的。本研究分析了求解條件極值的若干方法[2-3]，以此對高等數學教材中的一類條件極值問題進行求解[4]，并對此類問題展開進一步研究。

1 問題及其解法

條件極值問題模型：求函數z=f(x,y)在條件φ(x,y)=0下的極值。

問題1：求拋物線y2=4x上距離直線x-y+4=0最近的點，并求其最短距離。

下面將利用三種方法求解問題1：

方法1：代入法。

從約束條件φ(x,y)=0中解出y=ψ(x)或x=φ(y)，并將結果代入目標函數z=f(x,y)，從而將二元函數的條件極值問題化為一元函數的無條件極值問題。

方法2：拉格朗日乘數法。

引入待定乘子λ，構造一個新的函數，將有條件極值問題化為無條件極值問題。

構造拉格朗日函數

方法3：幾何法。

為研究平面直角坐標系中曲線上的點到直線的最短距離問題[5]，可先將其具體到平面直角坐標系中拋物線上的點到直線的最短距離問題，得到了以下兩個結論：

定理1：設拋物線C∶y2=2px(p>0)到直線l∶y=kx+b(k>0)的距離為d，則：①若拋物線C與直線l相交，則最短距離dmin=0；②若拋物線C與直線l不相交，則最短距離dmin>0。

證明：將拋物線C與直線l的方程聯立，有k2x2+2(kb-p)x+b2=0，①當4(kb-p)2-4k2b2≥0，即p≥2kb時，拋物線C與直線l相交，此時最短距離為交點到自身的距離，即dmin=0。②當4(kb-p)2-4k2b2<0，即p<2kb時，拋物線C與直線l不相交．此時

(1)

定理2：若拋物線C∶y2=2px(p>0)與直線l∶y=kx+b(k>0)不相交，點P為拋物線C上到直線l最短距離的點，則拋物線C上在點P處的切線必與直線l平行。

在定理1及定理2中，僅研究了拋物線C∶y2=2px與直線l∶y=kx+b方程中的參數p>0，k>0的情形。由(1)式可知，以下兩種情形也是成立的：①若p>0，當p<2kb，即k,b同號時，dmin>0。②若p<0，當p>2kb，即k,b異號時，dmin>0。

2 問題的推廣

在問題1中利用了幾何法求解平面直角坐標系中曲線上的點到直線的最短距離問題，下面將作進一步的推廣研究，即利用幾何法來探討空間直角坐標系中曲面上的點到平面的最短距離問題。

問題2：求曲面4z=3x2+3y2-2xy上的點到平面x-y-z=1的最短距離。

定理3：若曲面∑:z=f(x,y)與平面∏:Ax+By+Cz+D=0不相交，點P為曲面∑上到平面∏最短距離的點，則曲面∑上在點P處的切平面必與平面∏平行。

構造拉格朗日函數L=(Ax+By+Cz+D)2+λ(f(x,y)-z)，解方程組

可得

(2)

由問題的實際意義可知，點P(x0,y0,z0)必滿足(2)式。曲面∑上在點P處的法向量為n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1)，則由(2)式可知n//(A,B,C)，證畢。

下面將利用幾何法和拉格朗日乘數法來求解問題2。

方法1：幾何法。

方法2：拉格朗日乘數法

構造拉格朗日函數

L=(x-y-z-1)2+λ(3x2+3y2-2xy-4z)，解方程組

3 結語

條件極值問題有很多不同的解法，但除了拉格朗日乘數法外，其余條件極值問題的解法往往具有局限性。通過問題1和問題2的求解方法可以看出，幾何法在處理此類條件極值問題時，從理解角度、計算層面來說都是簡單易懂的。在遇到平面直角坐標系或空間直角坐標系中的最短距離問題時，幾何法是一種可選擇的計算方法，但應具體問題具體分析，把握正確的解題方向。