小學階段分數知識的建構特點與教學建議

殷嫻

【摘要】教師在實際教學中，掌握分數的理論基礎、厘清分數的知識脈絡、把握分數的建構特點，讓學生在體驗中感悟，在行動中思考，突出共同點、關注生長點，有助于精準建立分數概念.

【關鍵詞】小學教育;分數教學;理論基礎;建構特點;教學策略

分數知識歷來是我國小學階段重要的數學教學內容.分數無論在意義、讀寫方法，還是在計數單位與計算法則上，均與整數有很大的差別，加之學生在生活中接觸分數較少，經驗儲備不足，所以分數概念的理解及應用是小學生數學學習的一大難點.教師在教學實踐中，精準把握分數知識的理論基礎與建構特點，是教學設計及有效實施教學的基本保障.

一、分數知識的理論基礎

分數的使用歷史相當久遠.據現藏于大英博物館的草紙手卷《林德數學手卷》和藏于莫斯科藝術博物館的羊皮手卷《莫斯科數學手卷》記載，公元前1890年左右，古埃及人已經有了初步的分數觀念，但僅局限于“單分數”，即分子為1的分數.關于分數較為完整、較有系統的知識記載，則首見于世界公認的我國古算名著《九章算術》，在其第一章“方田”中，分數加減乘除的籌算方法敘述得相當清楚.因此，從現有的數學發展史料可知，分數的基本理論是在我國首先建立的.

1.分數的產生

測量時，當度量單位B不能若干次恰好量盡量A時，如何表示度量的結果？ 均分中，把一整塊東西等分為若干份后，如何用數字表達其中的1份？但歷史證明，僅由生活中的實際需求來推動，知識的形成十分緩慢;若按邏輯系統來學習數學，情況就大不一樣了.因此，從數學理論上說，分數的產生是為了解決整數運算中的“不足”，即任意兩個整數的乘積仍存在于整數范圍內，但是任意兩個整數相除，并且無余數的商數，在整數范圍內就未必存在了.而解決“不足”的方法就是擴張數的范圍，產生新數.于是，人類對數的認知由整數擴展至分數.

分數符號的書寫格式經歷了漫長的演變過程，包含著中國元素.7世紀以后，承襲中國的籌算法，印度數學將分數表示為“寫分母于分子之下”.之后，阿拉伯人表示分數時，在分子和分母之間添上一條橫線.直至15世紀，隨著阿拉伯算術的流行，世界各地算術里分數的表示及運算法則才日趨統一.

2.分數的理論

根據小學數學中分數的意義、分數的性質、分數的四則運算等相關內容，分數理論可以由下面6個定義和6個定理構成.

這樣，我們就建立了與小學數學的“分數知識”相對應的“分數理論”，嚴格來說是建立了非負分數的理論，使除法從原來在非負整數集合內不能封閉，變為在非負分數集合內封閉.運算的封閉就是指運算結果唯一存在.分數除法定義中，規定“0”不能當除數.依據除法是乘法的逆運算可以證明，當除數為0，而被除數不為0時，商的存在性被破壞;當除數為0，而被除數也為0時，商的唯一性被破壞.

3.分數的定義與含義

數學具有抽象性，分數理論是一個抽象的框架.按照分數的定義與補充定義，我們把形如mn （m和n都是自然數，且n≠0）的數叫作分數.此定義形式化的表述不涉及分數的具體意義，顯然不符合小學生的認知水平.我們需要挖掘分數概念及有關知識在形成過程中的實際背景，讓學生經歷內部建構的過程.這并非去重復前人的探索過程，關注分數在形成過程中包含的認知規律，將會為小學生學習分數知識提供適切的“腳手架”.

在測量中，不滿一個單位量的量A，如何用數值表示？我們可以把度量單位B分成n等份，用其中的一份作為新的度量單位去度量A，如果量了m次恰好量盡，那么A就含有把B分成n等份后的m份，度量結果用分數mn表示.因此，分數mn在度量中的實際含義是“把單位‘1平均分成n份，表示這樣m份的數”.在均分的實際背景中，分數mn可以表示兩個整數相除的結果：m÷n=mn，所以分數mn還有另一種含義，即把m個單位平均分成n份，表示這樣的一份的數.《幾何原本》第5章定義5.3指出，兩個同類量彼此之間一種大小關系叫作比，于是，分數mn的又一實際含義為分數比率意義，可以表示兩數的比值，即m∶n=mn.教師在小學數學教學實踐中，必須充分發揮這些分數的實際含義在分數學習中的引領作用.

二、分數知識的建構特點

分數教學內容的選取和安排既要符合小學生的認知規律，又要遵循數學本身的邏輯順序.為此，分數知識的教學不能與分數理論揭示的邏輯相矛盾.

1.厘清分數的知識脈絡

小學階段分數教學內容的核心知識點可分為三大模塊.首先是“分數概念”的建立.基于分數在測量與均分中實際含義的引領，在理解“平均分”“單位1”“分數單位”的基礎上逐步認識分數;通過結合具體情境比較分子是1、分母相同的簡單分數的大小，進一步理解分數中分子與分母的含義;掌握分數的分類，認識真分數、假分數和帶分數;學習百分數，理解分數的比率意義，拓展對分數概念的認識.其次是以“分數的基本性質”為核心，展開分數的大小比較和四則運算.教師在以“分數意義”為主，以“分數與除法的關系”為輔，明暗兩條線索交匯揭示出分數基本性質的基礎上，引入通分、約分、最簡分數、倒數等概念，進行分數的大小比較、加減乘除運算法則、混合運算、運算律的教學.最后是分數的實際應用，主要體現在如下幾類問題中：求一個數的幾分之幾是多少;求一個數是另一個數的幾分之幾;求一個數比另一個數多（少）幾分之幾;已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數.

2.剖析分數的認知特點

按數系擴張理論，先要有整數，才能引進分數概念，所以分數的教學一定是放在整數的教學之后.綜觀多國數學課程標準中分數教學內容的認定與編排順序，我們可以發現：（1）分數概念的建構過程是一個認識不斷深化的過程，需要分段教學.（2）分數孕育于計量之中，從直觀理解12和14等簡單分數入手，突出對分數實際意義的認識.（3）分數教學無法一味地提前，學生要到一定的年齡才能理解分數的實際意義，較完整地認識分數均在小學中高年級.（4）把單位“1”作為生長點，分階段建立分數概念是我國分數教學的特色.

三、分數知識的教學建議

1.凸顯共同點，重視分數單位的教學

依據數系擴張理論，我們可以把整數看成特殊的分數.因此，分數同樣既能表示實際事物量的絕對大小，也能表示實際事物量的相對大小，即具有“量”與“分率”的雙重性.自然數的計數單位是“1”，任何自然數都是由若干個1組成的.分數把計數單位向小于1的方向擴展，且不再恒定.但同樣，任何分數都是由若干個分數單位組成的.分數的大小比較與四則運算法則基于整數的計數基本原理，相同計算單位量的疊加與比較.所以，很多民族在認識分數時都是先認識“分數單位”（史料上稱作“單分數”）.由此可知，分數單位在分數概念教學中具有重要地位.

2.聚焦生長點，夯實對單位“1”的理解

“單位1”是一個重要而又神秘的概念，有時具體，有時抽象，學生是否能靈活地使用它，就反映出了他們對分數的理解程度.我們在比較分數（抽象的）大小及進行分數運算時，都是在一致的單位“1”之下進行的，但從不去追究這個抽象的單位“1”到底有多大.因此，對單位“1”的理解是一個早期蘊伏、長期滲透、逐步建構的過程.

3.用好聯結點，發揮各知識間的關聯轉換作用

認識分數是小學生對數系擴張的首次體驗.探索數學各知識間的聯系，串聯成線，形成體系，是學習數學的本質.分數源于人類計量活動經驗，既是運算的過程，又是運算的結果，是直觀經驗與理論構建的橋梁.抓住分數、除法、比之間的內在關聯，搞清“單位1”、對應分率、對應量間的關系，重視分數與小數、整數間的轉換，是掌握分數、學好數學的有效舉措.

堅持和發揚我國在分數教學中的經驗和優良傳統，有助于提高教學質量.

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