拉格朗日中值定理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探索

陸華勇

【摘要】從微積分來看，拉格朗日中值定理是一塊非常重要的內(nèi)容，它在導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間架起了橋梁，并且該定理已被應(yīng)用于各個領(lǐng)域.本文采取舉例的方式對該定理如何被應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)進(jìn)行了展示.

【關(guān)鍵詞】拉格朗日中值定理;應(yīng)用;證明

引 言

從微分學(xué)來看，微分中值定理是基本定理之一，學(xué)生要想把微分學(xué)這塊內(nèi)容學(xué)好，最重要的是對該定理的成立條件及其證明過程形成深刻的認(rèn)識.在高等數(shù)學(xué)這門課中，微分學(xué)是其中的重要知識之一，該門課研究的是以實數(shù)集為定義域的函數(shù)具有哪些性質(zhì)，在對函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行探究的過程中，微分中值定理就是其中的一個不可或缺的重要工具.作為有效工具之一的微分中值定理，探討的是如何根據(jù)導(dǎo)數(shù)具有的性質(zhì)推斷函數(shù)具有哪些性質(zhì)，將導(dǎo)數(shù)知識用到了函數(shù)性質(zhì)的探究中，在兩者之間起到了橋梁作用.微分學(xué)中最為基礎(chǔ)的是拉格朗日中值定理，對其進(jìn)行推廣得到了柯西中值定理，而取其特殊情況又得到了羅爾定理，所以說拉格朗日中值定理充當(dāng)著核心角色.對函數(shù)具有的包括最值、單調(diào)性以及極值等性質(zhì)進(jìn)行的探究，以及對曲線表現(xiàn)出的凹凸性進(jìn)行的探討都是以拉格朗日中值定理為基礎(chǔ)的.本文圍繞著拉格朗日中值定理展開，對證明這一定理時構(gòu)造輔助函數(shù)的若干種方法進(jìn)行了介紹，并采取舉例的方式對該定理怎樣在例題中得到應(yīng)用展開了分析.

一、拉格朗日中值定理的概念

基本內(nèi)容：存在一個函數(shù)f（x），在閉區(qū)間[a，b]上為連續(xù)函數(shù)，在開區(qū)間（a，b）上為可導(dǎo)函數(shù)，那么在該開區(qū)間內(nèi)至少有一點ξ，滿足a<ξ

解釋如下：（1）該定理也可以叫作有限增量定理，在導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間搭建起了橋梁，通過導(dǎo)數(shù)具有的性質(zhì)就可以對函數(shù)具有的性質(zhì)展開探究.

（2）該定理是基礎(chǔ)，進(jìn)行推廣得到了柯西中值定理，特殊化處理則得到了羅爾定理，拉格朗日公式相當(dāng)于0階泰勒公式.

（3）該定理既能夠在不等式以及等式的證明中得到應(yīng)用，也能夠用于對函數(shù)具有的連續(xù)性、單調(diào)性以及凹凸性等多項性質(zhì)展開探究.

（4）在對很多定理進(jìn)行證明時，是否存在ξ是其中的一種理論工具.該定理指出存在至少1個的中值ξ，但是有些時候可能沒有辦法求解得到.例如，假設(shè)將f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a看作一個方程，那么存不存在ξ就等同于方程存不存在根這個問題.該定理的本質(zhì)是對ξ是（a，b）中的一個無法確定位置的點形成深入認(rèn)識，但是考慮到ξ是有范圍的，也就是a<ξ

（5）使用該定理解題時，其中的難點之一在于輔助函數(shù)的構(gòu)造或者是選取.針對于此，可將等式f（b）-f（a）b-a視為分式，并以之為著手點構(gòu)造函數(shù)f（x），同時將取值區(qū)間（a，b）確定下來，最后求解得到導(dǎo)數(shù)f′（x）.為得出f（b）-f（a）b-a，作出部分變形處理是很有必要的，如lnxx-1=ln x-ln（x-1），x-1<ξ

二、拉格朗日中值定理的證明

從拉格朗日中值定理來看，在對其進(jìn)行證明時，應(yīng)用的技巧是以構(gòu)造輔助函數(shù)為主的，而輔助函數(shù)是有非常多種構(gòu)造方法的，最為常見的有行列式法、K值法等，在這些方法中，最易掌握的是倒推法，應(yīng)用得也相當(dāng)廣泛，下文對倒推法用于輔助函數(shù)的構(gòu)造的具體步驟進(jìn)行了展示.

根據(jù)拉格朗日中值定理得到的結(jié)論不難發(fā)現(xiàn)：

ξ∈（a，b），s.t.f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

考慮到區(qū)間（a，b）內(nèi)該函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，因而導(dǎo)數(shù)在ξ點的取值就是F′（ξ），可以表示成f′（ξ）=f′（x）|x=ξ，但是函數(shù)f（b）-f（a）b-ax的導(dǎo)數(shù)是常數(shù)f（b）-f（a）b-a，所以待證結(jié)論能夠改寫為：

f（b）-f（a）b-ax-f（x）′|x=ξ=0，

此時便可構(gòu)造下述輔助函數(shù)：

F（x）=f（b）-f（a）b-ax-f（x）.

考慮到f（b）-f（a）b-ax-f（x）′|x=ξ=0，所以有F（ξ）=0.考慮到區(qū)間[a，b]上F（x）為連續(xù)函數(shù)，（a，b）上則是可導(dǎo)函數(shù)，而且有F（a）=af（b）-bf（a）b-a=F（b），故而根據(jù)羅爾定理可知，肯定會有一個ξ∈（a，b），使得F（ξ）=0，也就是 F′（ξ）=f（b）-f（a）b-a-f′（ξ）=0，等同于f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a.

三、拉格朗日中值定理的應(yīng)用

1.證明恒等式.

考慮到該定理得到的結(jié)論實質(zhì)上為一個等式，所以該定理可在部分等式的證明中得到應(yīng)用.

（1）證明單介值等式命題.

從這種命題來看，其題型往往是：肯定會有不少于1個的點ξ∈（a，b），F(xiàn)（x）=xf（x）以令G（ξ，f（ξ），f（n）（ξ））=0成立.在對這種命題進(jìn)行證明的時候，其中的關(guān)鍵在于輔助函數(shù)的選取，輔助函數(shù)選取得精確，可將問題化繁為簡.通常而言，倒推法用于輔助函數(shù)的構(gòu)造是較為可取的，具體步驟如下：第一步，用x來代替待證等式內(nèi)的ξ;第二步，進(jìn)行恒等變換，將等式化簡成導(dǎo)數(shù)符號易于消除的形式;第三步，仔細(xì)觀察，得到f（x）.

例1 假定存在一個函數(shù)f（x），在[a，b]上為連續(xù)函數(shù)，在（a，b）上為可導(dǎo)函數(shù)，試證：（a，b）內(nèi)會存在不少于1個的點ξ，使bf（b）=（b-a）（f（ξ）+ξf′（ξ））+af（a）成立.

思路：針對bf（b）=（b-a）（f（ξ）+ξf′（ξ）+af（a）），用x來代替其中的ξ，這時會有bf（b）=（b-a）（f（x）+xf′（x））+af（a）.

對其變形，得到bf（b）-af（a）b-a=f（x）+xf′（x），

觀察發(fā)現(xiàn)，輔助函數(shù)選取為F（x）=xf（x）.

證明：構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），那么該函數(shù)在[a，b]上為連續(xù)函數(shù)，在（a，b）上為可導(dǎo)函數(shù)，由拉格朗日中值定理不難發(fā)現(xiàn)，勢必會有不少于1個的點ξ∈（a，b），使得F（b）-F（a）b-a=F′（ξ）成立，所以bf（b）-af（a）b-a=f（ξ）+ξf′（ξ），也就是bf（b）=（b-a）（f（ξ）+ξf′（ξ））+af（a）.

（2）證明雙介值等式命題.

從這種命題來看，其題型往往是：中值共有2個，用ξ，ηξ≠η來表示，且它們存在某種關(guān)系.這種命題的證明和單介值命題類似，輔助函數(shù)也是要構(gòu)造的，區(qū)別在于這種命題通常需要構(gòu)造兩個函數(shù)，題干中已知的僅僅是其中之一，有一個是未知的，這時就需要與結(jié)論得到的關(guān)于η的關(guān)系式相結(jié)合進(jìn)行變換，具體步驟如下：第一步，對待證等式進(jìn)行變形，得到兩個表達(dá)式，一個是與ξ相關(guān)的，另一個是與η相關(guān)的;第二步，仔細(xì)觀察，得到F（x）.

例2 假定存在一個函數(shù)f（x），在[a，b]上為連續(xù)函數(shù)，在（a，b）上為可導(dǎo)函數(shù)，而且有f（a）=f（b）=1，試證：（a，b）內(nèi)會存在不少于1個的點ξ和η，使eη-ξ[f（η）+f′（η）]=1成立.

思路：針對待證等式eη-ξ[f（η）+f′（η）]=1，把ξ和η分開，也就是eη[f（η）+f′（η）]=eξ，等同于[exf（x）]x=η=（ex）x=ξ，此時可構(gòu)造下述兩個輔助函數(shù)，一個是F（x）=exf（x），另一個是G（x）=ex.

證明：假定F（x）=exf（x），那么F（x）在[a，b]上為連續(xù)函數(shù)，在（a，b）內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)拉格朗日中值定理不難發(fā)現(xiàn)，（a，b）內(nèi)會有不少于1個的點η，使F（b）-F（a）b-a=F′（η）成立，也就是ebf（b）-eaf（a）b-a=eη[f（η）+f′（η）]，故而有eb-eab-a=eη[f（η）+f′（η）].（1）

假定G（x）=ex，那么G（x）在[a，b]上為連續(xù)函數(shù)，在（a，b）上為可導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)拉格朗日中值定理不難發(fā)現(xiàn)，（a，b）內(nèi)會有不少于1個的點ξ，使G（b）-G（a）b-a=G′（ξ）成立，也就是eb-eab-a=eξ.（2）

綜合（1）和（2）可知eη[f（η）+f′（η）]=eξ，等同為：eη-ξ[f（η）+f′（η）]=1.

2.證明不等式.

在對不等式進(jìn)行證明的過程中，拉格朗日中值定理的應(yīng)用是按照下述步驟展開的：第一步，對輔助函數(shù)f（x）進(jìn)行構(gòu)造;第二步，選取合理的應(yīng)用區(qū)間（a，b）;第三步，確定中值ξ的取值空間.其中的重點在于第一、二這兩個步驟.從實際應(yīng)用來看，輔助函數(shù)f（x）通常是以待證不等式為依據(jù)來確定的，并據(jù)此選取合理的應(yīng)用區(qū)間（a，b）.下文采取舉例的方式對如何構(gòu)造輔助函數(shù)進(jìn)行了闡述.

（1）證明函數(shù)不等式命題.

在對這種命題進(jìn)行證明時，如果用到的是拉格朗日中值定理，那么待證命題牽涉的往往只是同一函數(shù)在不同點的取值的差異，也就是待證不等式的某端通過變形之后形如f（b）-f（a）.解題思路如下：這種命題往往需要結(jié)合待證不等式對輔助函數(shù)f（x）進(jìn)行構(gòu)造，對該函數(shù)可以應(yīng)用拉格朗日中值定理進(jìn)行驗證，即為f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a），而后按需放大或者是縮小，最后把其內(nèi)的帶有ξ的項去掉，此時待證不等式就可得證.

例3 試證：在x>0的情況下x1+x

思路：對x1+x

x1+x

，因為f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a，所以11+x

x1+x

f′（x）=11+xf′（ξ）=11+ξ（0<ξ

可以看到，輔助函數(shù)以及選定的應(yīng)用區(qū)間均合理，下文對證明過程進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.

證明：

假定f（x）=ln（1+x），那么從區(qū)間（0，x）來看，f（x）=ln（1+x）可以應(yīng)用拉格朗日中值定理，所以（0，x）內(nèi)肯定會有1個以上的點ξ，可讓f′（ξ）=f（x）-f（0）x-0

成立，即f′（ξ）=ln（1+x）-ln（1+0）x-0.

理由是f′（x）=11+x，因而f′（ξ）=11+ξ

，0<ξ

，11+x0的情況下，x1+x

從上述例題不難發(fā)現(xiàn)，若不等式成立的條件是x>a，那么應(yīng)用區(qū)間選取（a，x）會較為合理.

（2）證明中值不等式命題.

這里所說的中值不等式命題指的是不等式關(guān)系內(nèi)存在的中值命題.拉格朗日中值定理用于這種命題的證明時同樣要用倒推法，據(jù)此得出輔助函數(shù)，方法還是以結(jié)論為主要著眼點，相較于等式的證明而言，區(qū)別在于：一端進(jìn)行變號處理，轉(zhuǎn)移至另一端，而后觀察，得出解題需要用到的輔助函數(shù).

例4 存在一個函數(shù)f（x），在區(qū)間[0，1]上為連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（0，1）內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù)，而且有f（u）=u，試證：假定[0，1]上f（x）有非零值，那么在（0，1）內(nèi)一定存在點ξ，可使f（ξ）f′（ξ）>u成立.

思路：此處需證f（ξ）f′（ξ）>u.由于f（ξ）f′（ξ）=f2（x）2′x=ξ，故而需要構(gòu)造下述輔助函數(shù)：

F（x）=f2（x）2.

證明：

假定F（x）=f2（x）2，那么F（x）在區(qū)間[0，1]上為連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（0，1）內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù)，f（u）=u，因而存在a∈（u，1），可以使得F（a）=f2（a）2成立，這時有F（x）在區(qū)間[0，a]上為連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間（0，a）內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù)，即能夠應(yīng)用拉格朗日中值定理，故而存在ξ∈（0，1），會有F′（ξ）=F（1）-F（0）=F（1）>u，等同于：

F′（ξ）=f（ξ）f′（ξ）>u.

3.證明根的存在性.

例5 區(qū)間[0，1]上f（x）為可導(dǎo)函數(shù)，而且有0

證明：先通過構(gòu)造法對存在根進(jìn)行證明，而后通過拉格朗日中值定理對有且僅有一個根進(jìn)行證明.

（1）根的存在性.

假定g（x）=f（x）+x-1，此時有g(shù)（0）=f（0）-1，g（1）=f（1）.考慮到x∈[0，1]時有 00，故而有g(shù)（0）·g（1）<0

，由根的存在性定理不難發(fā)現(xiàn)，區(qū)間（0，1）內(nèi)g（x）必定會有實根.

（2）根的唯一性.

為證區(qū)間（0，1）內(nèi)f（x）+x-1=0有且僅有一個根，通常會提出區(qū)間（0，1）內(nèi)f（x）+x-1=0共有2個實根的假設(shè)，而后得到和已知不符的結(jié)論，這樣唯一性就可得證.下文對拉格朗日中值定理用于唯一性證明的詳細(xì)過程進(jìn)行了說明：

先假定區(qū)間（0，1）內(nèi)f（x）+x-1=0共有2個實根，用α和β來表示，并且假定α<β，這樣就能夠得到f（α）=1-α，f（β）=1-β，將拉格朗日中值定理用到[α，β]區(qū)間上的f（x）中，可知f（α）-f（β）=f′（ω）（α-β），整理可得f（α）-f（β）α-β=f′（ω），也就是：

（1-α）-（1-β）α-β=-1，與已知條件f′（ω）≠-1不符.

所以唯一性得證.

4.求解函數(shù)最值.

在對函數(shù)最值問題進(jìn)行求解時，只有符合一定形式才能夠應(yīng)用拉格朗日中值定理，例如，能夠化簡為t≥f（x1）-f（x2）x1-x2或者t≤f（x1）-f（x2）x1-x2這種形式，只有這樣才能夠用拉格朗日中值定理來求解.

例6 存在一個函數(shù)f（x），假定k為一個實數(shù)，x1和x2是其定義域中任取的兩個點，有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|成立，那么函數(shù)f（x）（x∈D）就可以稱之為符合利普希茨條件，如果函數(shù)f（x）=x（x≥1）符合利普希茨條件，求k的最小值.

解：由題意可知，k≥f（x1）-f（x2）x1-x2，

由拉格朗日中值定理有f′（ω）=f（x1）-f（x2）x1-x2，

所以有k≥f′（ω），這樣就能夠求出f′（ω）的最大值.

因為f（x）=x，所以f′（x）=12x≤12，

故而f′（x）的最大值是12，即k的最小值是12.

5.求解函數(shù)極限.

在對函數(shù)極限問題進(jìn)行求解時，拉格朗日中值定理同樣可以得到應(yīng)用.如果待求函數(shù)的極限是同種函數(shù)的差值，自變量之間的差值只是一個常數(shù)，那么拉格朗日中值定理就能夠?qū)ζ溥M(jìn)行簡化，而后再進(jìn)行求解.

例7 試求極限limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x.

思路：可以看到，該題是一種0·∞型未定式.從區(qū)間[x，x+1]來看，f（x）=arctan x可以應(yīng)用拉格朗日中值定理，有：

arctan（x+1）-arctan x=11+ξ2，且ξ∈x，x+1.可以看到，x→+∞時ξ→+∞，而且有l(wèi)imξ→+∞11+ξ2=0.考慮到limξ→+∞x2=∞，這時極限limx→+∞x21+ξ2存在與否取決于ξ的一些細(xì)節(jié)，意味著對中值點進(jìn)行的粗糙估計無法得出原極限，通過其他工具的應(yīng)用進(jìn)行支持還是很有必要的.

第一種解法（對中值點進(jìn)行精細(xì)估計），考慮到arctan（x+1）-arctan x=11+（x+θ）2

，且有θ∈（u，1）.

這時limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x=limξ→+∞x21+（x+θ）2=1.

第二種解法（采取夾逼準(zhǔn)則），考慮到

arctan（x+1）-arctan x=11+（x+θ）2，

且有ξ∈（x，x+1），所以有

limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x=limξ→+∞x21+ξ2，

可以看到x<ξ

而且有l(wèi)imξ→+∞x21+（1+x）2=limξ→+∞x21+x2=1，

故而limξ→+∞x2arctan（x+1）-arctan x=limξ→+∞x21+ξ2=1.

如果極限是包括f（b）-f（a）這種未定式的，作為重要工具之一的拉格朗日中值定理可以達(dá)到讓計算得到簡化的目的.通過事實發(fā)現(xiàn)：相較于對中值點進(jìn)行粗糙估計來說，第二種解法顯然得到了更為廣泛的使用.通常來說，粗糙估計只可以在limx→x0f′（ξ）存在而且不等于0的這種情況下適用，但第二種解法并不會受到這種情況的限制.第二種解法不單單能夠在limx→x0f′（ξ）存在而且不等于0的情況下適用，在limx→x0f′（ξ）=0與limx→x0f′（ξ）=∞這兩種情況下也能夠適用，且應(yīng)用更為廣泛.

但是只是從公式復(fù)雜程度來看的話，在形式上第一種解法顯然更為簡潔.所以，在對包括f（b）-f（a）在內(nèi)的這種未定式極限的求解過程中，先采取第一種解法來分析是可行的，假使無法得到結(jié)果，常常會用到下述策略：

（1）對中值點進(jìn)行修改，使之變成精細(xì)估計形式，而后再展開更為深入的分析;

（2）針對粗糙估計得到的中值點作放縮處理，而后通過夾逼準(zhǔn)則的應(yīng)用完成計算.

結(jié)束語

微分學(xué)的發(fā)展就是基于微分中值定理的，而且從實際應(yīng)用來看，該定理的應(yīng)用也是極為廣泛的，恰恰是因為這個定理這么重要，所以也被叫作微分基本定理.從三大基本定理可以看出，應(yīng)用最為廣泛的當(dāng)屬拉格朗日中值定理，原因在于它對于函數(shù)并沒有提出很嚴(yán)格的要求.在對問題進(jìn)行求解時，關(guān)鍵點在于基于命題分解得到待求問題需要用到的函數(shù)，使得函數(shù)不單單可以應(yīng)用拉格朗日中值定理，又能夠讓求解得到簡化.本文對該定理在包括等式、極限求解等在內(nèi)的多個方面的應(yīng)用進(jìn)行了介紹.從該定理的整個應(yīng)用過程來看，最為重要的問題有兩個，一個是輔助函數(shù)的構(gòu)造，另一個是區(qū)間的確定.從整個過程可以看出，應(yīng)用該定理求解問題的思路相對比較簡單.但是為了讓該定理能夠得到靈活應(yīng)用，對本文總結(jié)得出的思想方法需進(jìn)行靈活運用.

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