以問促教，以問促思

曹小珍

摘要：巧妙設問，以問促教，以問促思，能夠盤活僵化的數學課堂，促進有效教學的生成，激發學生思維的積極性。本文就2015年安徽省中考數學試題中一道壓軸題入手，不斷啟發追問，開闊學生思路，發展學生思維，使學生在不斷思考和實踐解題過程中逐漸認識數學問題本質。

關鍵詞：初中數學?壓軸題?以問促教?以問促思

一、試題呈現

如圖1，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，

過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC。

（1）求證：AD=BC。

（2）求證：△AGD∽△EGF。

（3）若AD、BC所在的直線互相垂直，求AD[]EF的值。

二、題型立意分析

本題屬于幾何綜合題。在四邊形對邊相等的基礎上，巧妙地將中垂線、全等相似結合在一起，圖形結構簡潔美觀，充分體現了幾何圖形靈活多變的魅力。三個問題的設置體現了由易到難、環環相扣、層層遞進的特征。在解題中引導學生在動手畫圖、觀察、思考過程中探究圖形的本質特征，感受問題之間的緊密聯系。本題還具有中考壓軸題起點低、落點高、探究性強、區分度高等特點，考查學生解決數學問題的綜合能力。

三、教學活動分析

（一）教學片段1：多維角度審題，重視圖形生長過程

教師先出示題目的題干部分。

師：請同學們認真閱讀題干，你認為題干中哪些語句比較關鍵？

生1：點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G。另外，附加∠AGD=∠BGC。

師：請大家在四邊形ABCD的基礎之上按照題干要求將圖完整地畫出來，說說你對題意的理解。

生2：線段GE、GF是線段AB、CD的中垂線，故GC=GD，GA=GB，△GDC和△GAB是共頂點的等腰三角形，聯合∠AGD=∠BGC，很容易得出△GAD與△GBC全等。

生3：由于∠AGD=∠BGC，觀察圖形可得出∠DGC=∠AGB，所以△GDC和△GAB是頂角相等的等腰三角形，所以它們必定相似。

師：大家對比畫圖前后的審題結果，你們能再談談自己對這道題的思考嗎？

【教學分析】

學生解答壓軸題困難之一在于審題時抓不住問題的核心，尤其是容易忽略隱藏條件，因而導致難以找到突破口而一籌莫展。在剛才的教學設計中，學生通過自己畫圖，發現題目圖形是四邊形上下兩條對邊的中垂線相交形成兩個軸對稱的等腰三角形。再附加兩邊角相等形成全等圖形特征。初中生習慣于僅僅看題、觀察圖形，而不愿意動手操作，但是復雜圖形所蘊含的信息多且隱蔽，學生不容易捕捉到關鍵細節特征。審題環節的教學設計主要目的是引導學生關注圖形生長過程，找出圖形的本質特征，明確圖形中存在的數量關系和位置關系，為解題指引方向。數學家波利亞說過“審好題就是成功解題一半”。培養學生良好的審題習慣，無疑是提升其數學品質的一個重要方面。

（二）教學片段2：循序漸進，深挖題意

觀察題目第二個證明目標，求證：△AGD∽△EGF。

師：證明三角形相似有哪些方法？結合以上結論，試試找出自己的解決方法。

生4：兩角對應相等的兩個三角形相似，兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，三邊對應成比例的兩個三角形相似。

師：很好，結合本題條件特征，大家怎么解決問題呢？

生5：△GDC和△GAB是共頂點等頂角的等腰三角形，所以它們相似。GE、GF分別是底邊CD、AB的中線，由等腰三角形三線合一可得GE、GF分別平分底邊，平分頂角。

∠DGC=∠AGB∠DGF=∠AGE∠AGD =∠BGC。

再利用相似三角形對應邊上的高之比等于對應邊之比，可得

師：很好，大家利用等腰三角形對應邊的比等于對應高的比，再巧妙利用比的性質轉化成

△AGD和△EGF對應邊的比。大家再思考和拓展一下，如果僅僅將題目中的中點E、F條件改變一下，△AGD∽△EGF仍然成立，你會怎么改編？

生：……

師：如果點E、F分別分CD、AB的比相等時（如圖2），△AGD∽△EGF仍成立嗎？

【教學分析】

證明二次相似對于學生是個難點，第二問的設置是常見的二次相似模型。第二問中我們應用了二次相似，利用相似三角形對應邊之比等于對應邊的對應高（中線、角平分線）之比，再利用比的性質轉化。在滬科版課本習題設置中，相似三角形對應高（中線、角平分線）的比等于對應邊之比的練習、強化不是很多，通常是一次相似，再利用相似比轉化計算。為了突出難點，教學設計了拓展設問，強化方法應用。

師：請大家將自己的思維過程列一個線索圖。

學生整合自己的思路，畫出自己的思維線索圖。

老師總結：本題第一問起點低，我們采用順向思維由因索果利用全等解決。第二問我們從結論出發，尋找條件，結合已有條件，應用綜合法，兩用二次相似。我們可以列出如下思維線索圖：

【教學分析】

做十道題不如透徹解決一道題，學生做題速度快，不善于深入思考，僅僅為做題而做題，這樣會失去學習數學的核心力。而壓軸題的目的在于考查學生的數學核心素養和解決問題的思想方法。本題第一問雖然簡單，但是它是一個入口，從這里進去之后，學生能找到更多的相關要素，并且第一題結論是第二問、第三問的條件。壓軸題往往通過設問為后續問題搭梯子。讓學生對比兩題不同的解決策略，要求學生列出思維線索圖，目的在于引導學生有層次、有邏輯地思考問題和解決問題，促進學生思維深度發展，提高學生的數學學習品質。鼓勵學生改編題目條件，拓寬學生思維，不被定式約束。解題教學中教師要引導學生走進一道題，對問題的本質進行研究。建構幾何模型，形成自己的數學思想方法。

（三）教學片段3：巧構輔助線，一題多解

師：第三問中的條件AD、BC所在的直線互相垂直有什么作用？AD/EF的值與第二問兩三角形相似有什么關聯？

生6：延長線段AD、BC相交于點H（如圖3），這樣相互垂直條件更加直觀，可以觀察到△HAB是直角三角形。由∠HAB+∠HBA=90°

∠GAB+∠GBA=90°，得到△GAB為等腰直角三角形。

師：還有其他途徑嗎？

生：……

師：題目條件中AD與BC所在直線垂直，大家延長線段AD與BC相交，這樣形成的直角更直觀。類比這種方法，大家還能想出其他的想法嗎？

大家積極思索、討論。

生8：（如圖4）構造平行線，過點D作HD∥BC，連接HD、BH、AH，得HD⊥AD。

生9：（如圖5）過點E、F分別作EM∥AD，FM∥BC，得△EFM為直角三角形。

生10 ：（如圖6）過點A作AQ∥BC交CE延長線于點Q，得AD⊥AQ。

同學們思維發散開了，展示了很多不同構造輔助線的方法（如圖7）。

師：很好，大家利用平行線結合中位線、全等能從不同的角度去解決第三問。由△AGD≌△BGC聯系旋轉的知識，大家再來觀察一下圖形之間的關聯。

生11：△BGC可以看成是△AGD旋轉一定的角度得到的（如圖8），旋轉中心為點G，對應邊分別是AG與BG、GD與GC、AD與BC。故AD與BC的夾角是旋轉角，當AD與BC所在直線夾角為90°時，則∠AGB=∠DGC=90°，因而△GDC、△GAB為等腰直角三角形，再應用相似比得出結果。

師：那如果AD與BC所在直線夾角不是90°，而是60°，120°，大家能算出AD與EF的比值嗎？如果它們的夾角用一個字母α表示，那結果怎么表示？

學生回答歸納得出EF與AD的比值可以用三角函數表示。

【教學分析】

學生獨立面對幾何綜合題時往往花費很長時間而不得要領，但是老師一點撥，他們就豁然開朗，然后就是懊惱不已，后悔自己沒想到關鍵點。再然后是不斷刷題，沉迷于題海，辛苦不堪，但收獲甚微。是什么導致這樣的現象出現？我想還是教師過多地停留在教授“知識”的層面上，解題教學過于泛泛而談，只講解答案，就題講題，就像豬八戒吃人參果，囫圇吞棗，不知其味。因而對于解題教學，教師要帶領學生走進一道題， 引導學生從多種視角審題，不僅關注關鍵語句，還要啟發學生從圖形的生長過程、所求結論綜合分析和探究題目來求解。更重要的是要引導學生走出一道題，組織學生對問題的本質進行研究，類比自己做過相似的習題或者相似的解題方法，追根溯源更深層次地探究多種解法。只有教師引導學生開動大腦，不斷總結歸納，學生才會形成自己的數學思想方法。這樣，學生的數學思維和素養就能得到提高。

（四）教學片段4：變式拓展，提升數學素養

師：大家在剛才的學習中，很有自己的思想，老師為你們點贊。帶著剛才的經驗，大家再次觀察圖形，想一想，我們可以從哪些角度看待這個綜合圖形的形成過程？應用本題解題指導思想，你能解決類似問題嗎？

【學生回答匯總】

可以看成是對邊相等的四邊形中，作不相等對邊的中垂線形成的兩個共頂點、等頂角的兩個等腰三角形;

可以看成共頂點的兩個等腰三角形旋轉得到的圖形;

可以看成是兩側的三角形旋轉得到的圖形。

【變式拓展習題】

（1）已知：如圖9所示，△AED和△ABC是等腰直角三角形，點M、N、Q分別是DE、BC、BD的中點，

求證：△QMN是等腰直角三角形。

（2）如圖10所示，在四邊形ABCD中，AD=BC，

AD與BC夾角為α，

求FE/AD。

【教師感悟】

培養學生數學思維深度和敏捷性，提升學生的數學素養，不能成為口號。學生必須從不斷的實踐中提升自己的數學素養。數學教學是思維活動的教學，而中考壓軸題具有起點低、落點高、開放性強、綜合度高的特點。初三數學教學以壓軸題為載體，不斷啟發追問以開闊學生思路，學生思維才能得以發展。在壓軸題教學中，老師要捕捉到學生真實的思維活動，發現學生思維模糊區，實時跟進學生思維，合情合理地進行啟發式追問，使學生在不斷思考和實踐解題過程中逐漸認識數學問題本質。