非正弦反電勢五相永磁同步電機容錯矢量控制*

周長攀 劉海峰 景國秀 孫向東 劉 壇 史奔奔

非正弦反電勢五相永磁同步電機容錯矢量控制*

周長攀1劉海峰1景國秀2孫向東1劉 壇1史奔奔1

(1. 西安理工大學電氣工程學院 西安 710048；2. 西安交通大學電子與信息學部 西安 710049)

多相永磁同步電機驅動系統具有較強的容錯運行能力。以非正弦反電動勢五相永磁同步電機為研究對象，在缺一相故障下，通過降階變換矩陣，分別構建基波和三次諧波空間同步坐標系下的轉矩方程；同時，為消除故障后產生的二、四次轉矩脈動，分析三次諧波電流注入率選取的方法，并根據最小銅耗及最大轉矩原則對參考電流進行優化；針對傳統PI控制器無法對交流參考電流進行精確跟蹤的問題，在PI控制基礎上，設計準比例諧振(Quasi-proportional resonance，QPR) +PI控制器來對同步坐標系下交流參考電流進行精確跟蹤。仿真和試驗結果表明，轉矩脈動得到了有效抑制，并且QPR+PI控制器實現了對交流電流信號的精確跟蹤。

五相永磁同步電機；三次諧波電流；轉矩脈動；容錯控制；準比例諧振控制器

1 引言

近年來，多相永磁同步電機(Permanent magnet synchronous machine，PMSM)受到了工業和學術界的廣泛關注。相對于三相電機，多相電機具有低壓大功率輸出、高可靠性以及適于容錯運行等特性，在航空航天、艦艇艦船、風力發電等領域得到了越來越多的認可[1-3]。對于多相電機而言，故障容錯運行是一個顯著優勢。當電機發生缺相故障時，不需要改動任何硬件電路，僅需選擇適當的容錯控制策略便可降額繼續運行，此時避免了停機或系統重組[4-6]。針對非正弦反電動勢五相PMSM缺相容錯運行，國內外學者對降階解耦模型的磁場定向控制(Field-oriented control，FOC)進行了大量的研究。文獻[7]通過構建降階Clark變換矩陣，建立了五相PMSM故障后的解耦模型，其解耦模型將使同步坐標系下的轉矩及電壓方程與正常狀態一致，但磁場中存在的三次諧波會導致轉矩脈動。文獻[8]為抑制故障后產生的轉矩脈動，構建同步坐標系下的解耦模型，在速度環采用了滑模控制，但它會使得系統產生抖動，并且控制器的設計較復雜。為此，文獻[9]采用三次諧波電流注入法來抑制轉矩脈動，根據瞬時功率理論和電機反電動勢信息，可計算得到故障后的平均轉矩和脈動轉矩分量，令轉矩脈動分量為零，得到基波和三次諧波電流參考值，該方法計算過程復雜，無法在線生成參考電流信號。文獻[10]給出了單相開路故障后三次諧波電流的注入和在線計算方法，有效地抑制三次諧波磁鏈引起的轉矩脈動，但選用傳統PI控制器，其對交流參考電流值的跟蹤沒有達到最佳效果。

上述提到的方法只得到了電流的最優參考信號，然而，其對參考信號并沒有實現很好的跟蹤。對于參考電流信號的跟蹤，通常采用的是滯環控 制[11]和PI控制器[12]，滯環控制會帶來開關頻率不固定以及電流諧波較大的問題，而PI控制器可以完全消除直流信號的穩態誤差，但對于交流電流信號卻不能精確跟蹤。比例諧振(Proportional resonance, PR)控制器[10]可以有效地跟蹤交流參考信號，但諧振控制器的帶寬窄，只能對單一頻率的信號進行補償。

本文在五相PMSM 缺一相故障狀態下，首先，通過基波空間和三次諧波空間的降階變換矩陣，得到兩個子空間同步坐標系下的轉矩方程。然后，根據電機轉矩方程，為了消除轉矩脈動，分析了三次諧波電流注入率選取的方法，并根據最小銅耗及最大轉矩原則對參考電流進行優化。針對傳統PI控制器不能零穩態誤差跟蹤交流參考信號的問題，本文設計了QPR+PI控制器實現對交流參考電流進行精確跟蹤。最后，由仿真和試驗得到，故障后轉矩脈動得到了有效抑制，設計的QPR+PI控制器也實現了對參考電流值的精確跟蹤。

2 故障下基波空間控制模型

2.1 基波空間解耦模型

本文電機采用的是表貼式五相PMSM，為便于分析，假設電機A相發生缺相故障，五相PMSM缺A相故障后主電路結構圖如圖1所示，其中，定子繞組為星形連接，N為電機中性點，dc為直流母線電壓。

圖1 五相PMSM缺A相故障后主電路結構圖

在五相PMSM 缺A相故障前后，根據基波磁動勢不變原則，重新構造的降階Clark變換矩陣為

式中，=2π/5；修正系數-1。

從靜止坐標系[1-1-1-1]到同步坐標系[1-1-1-1]的Park變換矩陣為

式中，為轉子電角度。

定子電流在[---]、[1-1-1-1]和[1-1-1-1]各坐標系之間的變換關系為

由電機學原理得到，電磁轉矩等于磁共能對機械角位移的偏導數

式中，co為磁共能；m為轉子機械角度；p為電機極對數；f為永磁體磁鏈；f1為永磁磁鏈的基波幅值；s為相電流矢量；s為相電感矩陣；d1、q1分別為1、1軸的電流分量；d1、q1分別為1、1軸的電感分量，對于表貼式PMSM，d1=q1。

2.2 三次諧波磁勢的影響

在五相PMSM磁動勢中，正弦波只是一種理想狀態，實際中，一方面，由于永磁體的加工及安裝誤差等會造成磁動勢中存在一定的三次諧波成分；另一方面，為增加電機功率密度和輸出轉矩，也需要有意識地注入三次諧波磁勢。當電機發生缺一相故障時，三次諧波磁勢會與基波電流作用產生轉矩脈動。

考慮磁動勢中的三次諧波分量時，此時永磁體磁鏈為

由電機磁共能方法得到考慮三次諧波磁勢的基波空間電磁轉矩為

由式(6)可知，當電機缺一相故障后，三次諧波分量主要會引起二次和四次轉矩脈動，因此，可通過三次諧波電流注入的方法來消除轉矩 脈動。

3 故障下三次諧波空間控制模型

3.1 三次諧波空間解耦模型

在三次諧波空間中，按照基波降階變換矩陣1()的求取方式，得出三次諧波空間下的降階Clark變換矩陣為

從靜止坐標系[3-3-3-3]到同步坐標系[3-3-3-3]的Park變換矩陣為

三次諧波電流在[---]、[3-3-3-3]和[3-3-3-3]各坐標系之間的變換關系為

由磁共能方法可知，三次諧波電流得到的轉矩方程表達式為

3.2 三次諧波電流注入率的選取

將式(7)和式(11)進行疊加，此時基波和三次諧波電流共同作用時所得到的電磁轉矩為

對式(11)進行整理后，可得到轉矩的平均值和各次轉矩脈動分量為

本文采用d1=d3=0的矢量控制方式，還剩余q1、q3、z1、z3四個控制自由度，定義q3=-3f3q1/f1=-e3q1，通過調整q1、q3控制轉矩平均值和轉矩脈動，調整z1、z3可對定子銅耗和電磁轉矩進一步優化。觀察式(12)中的二次和四次轉矩脈動分量，當三次諧波電流注入率滿足式(13)時，此時可以將二次轉矩脈動2和四次轉矩脈動4完全抵消。

式中，3、1為三次諧波磁勢與基波磁勢幅值。

3.3 最小銅耗和最大轉矩原則

根據文獻[11]，三次諧波電流得到的定子繞組銅耗可用s(2d3+2q32z3)表示，其中s為定子電阻，當滿足式(14)時，其銅耗達到最小。

類似地，由基波電流和三次諧波電流共同作用得到的最小總銅耗s(2q1+2q3)可通過z1=z3=0實現，并且根據式(13)可知，此時一、三次轉矩脈動分量1=3=0。

采用最小銅耗原則電機可以得到最小銅耗，但故障下剩余四相的相電流幅值分布不均勻，如果最大的相電流幅值達到功率器件所能承受的最大值時會限制電機的轉矩輸出能力。因此，根據文獻[13]，在電機故障下，為提高輸出轉矩能力，z1和z3可通過變換矩陣作用到各相電流中，對各相電流進行調節，使得剩余四相電流幅值相等。

通過對式(3)進行變換可得到，當滿足式(15)時，電機故障下的剩余相電流幅值相等。

類似地，在三次諧波電流的作用下，參考式(15)選取

此時由式(12)可知，一、三次轉矩脈動(式(17))也可以完全抵消。

4 缺一相故障容錯矢量控制

4.1 故障后交流參考電流的生成

文獻[10]研究了五相PMSM缺一相故障后同步旋轉坐標系下交流參考電流信號的生成方法，其生成框圖如圖2所示。

圖2 故障后同步旋轉坐標系下交流參考電流生成圖

圖2中，基波空間和三次諧波空間下的廣義零序電流分量z1、z3可根據最小銅耗原則和最大轉矩原則來進行設定，將使得轉矩脈動等于零的兩個子空間在同步旋轉坐標系下的電流給定值經過對應的降階逆Park和逆Clark變換矩陣轉換到自然坐標系下，進行疊加后再經過基波空間的降階Clark和Park變換矩陣變換到基波同步坐標系得到交流參考電流值。

4.2 準比例諧振控制器的設計

電機缺一相故障后，為了抑制二次和四次轉矩脈動，三次諧波電流經過降階坐標變換生成同步坐標系下電流參考值后，軸以及軸參考電流信號中包含有二次、四次諧波分量，軸參考電流信號中包含有三次諧波分量。對于傳統PI控制器而言，它僅可以消除直流信號的穩態誤差，但是對產生轉矩脈動的諧波分量沒有補償作用，而基于內模原理的比例諧振(PR)控制器可實現對交流信號的無差補償[14]，其PR控制器傳遞函數為

式中，p為比例系數；n是諧振項系數；n是諧振角頻率，n=0；為諧波次數；0為基波頻率。

PR控制器在諧振頻率處增益為無窮大，但由于它的帶寬窄，所以僅可實現與諧振頻率同頻的諧波分量。實際中，電機轉速通常會有一定程度的波動，電機轉速的波動很有可能會使實際電流諧波分量的頻率偏離諧振項的諧振頻率，因此本文采用了準比例諧振(QPR)控制器，其傳遞函數表達式為

式中，cn為截止頻率，它可以適當地拓寬諧振頻率的帶寬，以至于確保穩態誤差在一個理想的范圍之內，并且它會根據電機實際轉速的波動而進行相應的變化，因此，將避免諧振項失效的情況。

圖3 d軸(q軸)QPR控制器的控制框圖

圖4 z軸QPR控制器的控制框圖

4.3 準比例諧振控制器參數的分析與設計

在QPR控制器中有3個參數p、n和cn，為了方便分析每個參數對控制器性能的影響，本文通過對3個參數進行定2變1的方法來對參數進行分析。

首先，固定p和cn，考慮n變化對系統性能的影響。假設p=0，cn=1，n分別取1、10、50、200、1 000時，得到QPR控制器的伯德圖如圖5所示。

圖5 Kn變化時QPR控制器伯德圖

由圖5可得到，n進行變化只影響QPR控制器的增益，而控制器的帶寬幾乎沒有影響。隨著n的增大，控制器的增益就越大，使得控制器穩態誤差越小，但n如果過大，會使遠離基頻附近的諧波分量放大，因此，必須合理選取n。

其次，固定p和n，考慮cn變化對系統性能的影響。假設p=0，n=1，cn分別取1、2、5、10、20時，得到QPR控制器的伯德圖如圖6所示。

圖6 ωcn變化時QPR控制器伯德圖

由圖6可知，隨著cn的增大，控制器的帶寬明顯增大，同時，在基頻附近的增益沒有變化，遠離基頻處的增益隨cn的增大而增大。但如果cn過大，帶寬增大太多，會造成諧振點的作用被減小。因此，需要折中考慮cn。

最后，固定n、cn，考慮p變化對系統性能的影響。假設n=30，cn=5，p分別取1、2、5、10、15時，得到QPR控制器的伯德圖如圖7所示。

圖7 Kp變化時QPR控制器伯德圖

由圖7可知，隨著p的增大，控制器的增益會增大，系統的動態響應速度越快，同時，可看出，帶寬會相應變窄，在基頻處峰值增益增加幅度變小，如果p選取過大，可能會削弱諧振作用，造成系統穩定性變差。因此，必須設置合適的p值。

通過以上分析，并進行反復的調試，其中，以軸為例，軸上的二次諧波分量最終選取的QPR控制器參數如下：2=30，c2=5，p=3，四次諧波分量最終選取參數如下：4=20，c4=5，p=3，并繪制QPR控制器伯德圖進行分析，軸和軸的分析過程與軸相同。

將軸的參數代入式(19)，得到軸QPR控制器傳遞函數為

通過式(20)，繪制軸QPR控制器傳遞函數QPR()的伯德圖如圖8所示。

從圖8可看出，軸QPR控制器在二次和四次諧波頻率處都有較大的增益和較寬的帶寬，說明設計的 QPR控制器在二、四次諧波頻率處有較好的跟蹤性能。

圖8 d軸QPR控制器伯德圖

4.4 故障后容錯矢量控制

五相PMSM缺一相故障下的容錯矢量控制框圖如圖9所示，轉速環經過PI控制器得到電流給定值* q1，然后根據圖2中交流參考電流的生成方法分別得到軸、軸和軸上含有諧波分量的交流參考電流值，再經過軸、軸和軸上相對應的QPR+PI控制器對交流參考電流信號進行精確跟蹤。

圖9 五相PMSM缺一相故障下的容錯矢量控制框圖

5 仿真與試驗結果分析

5.1 仿真結果分析

本文在Matlab/Simulink中完成了五相PMSM缺一相故障下的容錯矢量控制仿真模型，并進行仿真結果分析。五相PMSM參數如表1所示。

表1 五相PMSM參數

在電機參數中f1= 0.32 Wb，f3= 0.020 8 Wb，因此，根據三次諧波電流注入率e3的選取式(13)，可以得到e3為

圖10a和圖10b為電機A相缺相故障下三次諧波電流注入后分別采用最小銅耗原則和最大轉矩原則的相電流波形，因為在電流中注入了三次諧波電流，所以它們的相電流呈非正弦。在圖10a中，B、E兩相電流幅值高于C、D兩相電流幅值，其相電流幅值分布不均勻。在圖10b中，剩余各相電流幅值相等，因此提高了電機故障下的輸出轉矩。

在接下來的分析中，以最小銅耗原則為例進行分析，最大轉矩原則分析與之相同。

為便于分析比較，定義轉矩、轉速脈動表達式分別為

式中，emax、emin和eavg分別為轉矩的最大、最小和平均值；max、min和avg分別為轉速的最大、最小和平均值。

本文給定負載轉矩5 N·m，給定轉速150 r/min。圖11a、11b和圖12a、12b分別為三次諧波電流注入前和注入后的轉矩以及轉速波形，同時在圖中也分別給出了各自對應的局部放大波形。根據式(22)和式(23)可得到，在三次諧波電流注入前和注入后的轉矩以及轉速脈動性能對比如表2所示。從表2得到，三次諧波電流注入前的轉矩和轉速中都存在較大的脈動，在三次諧波電流注入后有效地抑制了轉矩和轉速脈動。

圖11 三次諧波電流注入前和注入后的轉矩波形

圖12 三次諧波電流注入前和注入后的轉速波形

表2 三次諧波電流注入前、后的轉矩和轉速脈動性能對比

圖13是在--同步坐標系下的交流參考電流和實際電流波形，由于在同步坐標系下參考電流信號生成時會包含有諧波分量，所以--坐標系參考電流不是恒量。由圖13可看出，采用本文設計的QPR+PI控制器實現了對交流參考電流的精確跟蹤，從而驗證了本文設計的QPR+PI控制器的有效性。

圖13 d-q-z坐標系下交流參考電流和實際電流波形

5.2 試驗結果分析

為驗證上述理論分析的可行性，搭建了如圖14所示的五相 PMSM 試驗平臺。采用直流電機作為負載，主控制器采用英飛凌的XE164。五相PMSM的相關參數如下：定子電阻為0.5 Ω，直交軸電感為8.4 mH，電機極對數為4。試驗中，開關頻率為10 kHz，轉速給定為150 r/min，負載轉矩為5 N·m，直流母線電壓200 V。

圖14 五相PMSM試驗平臺

本文采用直流電機拖動五相永磁同步樣機150 r/min旋轉，得到電機的反電動勢波形如圖15所示，可看出反電動勢中存在一定含量的三次諧波，其中對B相反電動勢進行了頻譜分析，如圖16所示，經過分析可以得到反電動勢中含有約19.5%的三次諧波分量。因此，在試驗中三次諧波電流注入率取為19.5%。

圖15 電機的相反電動勢波形

圖16 相反電動勢頻譜分析

圖17a和圖17b為故障下三次諧波電流注入后分別采用最小銅耗原則和最大轉矩原則的相電流試驗波形，由于注入了三次諧波電流，所以剩余各相的相電流都呈非正弦。同時，圖17a采用了最小銅耗原則，其相電流幅值不相等，在圖17b采用最大轉矩原則后各相電流幅值相等，可提高最大輸出轉矩。

圖17 三次諧波電流注入后采用最小銅耗和最大轉矩原則相電流試驗波形

圖18a和圖18b分別為三次諧波電流注入前和注入后的轉矩及轉速試驗波形，從兩圖可看出，在三次諧波電流注入前，轉矩和轉速波形中都會產生較大的脈動，當三次諧波電流注入后，轉矩和轉速脈動得到了有效的抑制。

表3為三次諧波電流注入前、后轉矩和轉速試驗波形的脈動性能對比，其計算采用式(22)和式(23)，從表3得到，三次諧波電流注入后轉矩脈動可降低53.6%，轉速脈動可降低54.1%，驗證了理論分析的有效性。

圖18 三次諧波電流注入前和注入后轉矩試驗波形

表3 三次諧波電流注入前、后轉矩和轉速試驗波形脈動性能對比

圖19為--同步坐標系下的交流參考電流和實際電流試驗波形，由圖19可看出，軸、軸和軸的實際電流都能夠成功跟蹤上各自的參考電流信號，說明本文設計的QPR+PI控制器對于交流參考電流有很好的跟蹤效果。

為了驗證理論分析的動態性能，圖20a和圖20b給出了負載轉矩從3 N·m突加到5 N·m時三次諧波電流注入前、后的轉矩和轉速波形，并給出了對應的局部放大波形。從兩圖可看出，三次諧波電流注入前，突加負載轉矩時，轉矩和轉速依然存在較大脈動，三次諧波電流注入后，轉矩和轉速脈動得到明顯減小，且突加負載轉矩時，轉矩和轉速脈動同樣可以有效抑制；同時可以看到，轉速經過快速的調節后達到穩定值。

圖20 突加負載轉矩時三次諧波電流注入前、后的轉矩和轉速試驗波形

圖21給出了負載轉矩從3 N·m突加到5 N·m時、和軸上交流參考電流和實際電流的跟蹤波形，并給出了對應的局部放大波形。從圖21中可看出，突加負載轉矩后，、和軸上的實際電流都能很好地跟蹤上參考電流，說明QPR+PI控制器具有較好的動態性能。

圖21 突加負載轉矩時d、q和z軸參考電流和實際電流跟蹤波形

6 結論

本文針對非正弦反電動勢五相永磁同步電機，在缺一相故障狀態下，為了消除故障后產生的二次和四次轉矩脈動分量，分析了三次諧波電流注入率的選取方法。針對傳統PI控制器不能對交流信號進行精確跟蹤問題，設計了QPR+PI控制器來對交流參考電流進行精確跟蹤。通過仿真和試驗驗證對容錯矢量控制策略進行了深入研究，具體結論如下所示。

(1) 從試驗中可知，三次諧波電流注入前轉矩脈動為58.2%，三次諧波電流注入后轉矩脈動降低到27%，因此，電機故障后轉矩脈動得到了有效的抑制。

(2) 通過仿真和試驗得到，本文設計的QPR+PI控制器對交流參考電流有著很好的跟蹤性能，驗證了QPR+PI控制器的有效性。

(3)通過突加、減負載轉矩對理論分析的動態性能進行了驗證，結果表明該系統具有較好的動態性能。

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Fault-tolerant Vector Control of Five-phase Permanent Magnet Synchronous Motor of Non-sinusoidal Back EMF

ZHOU Changpan1LIU Haifeng1JING Guoxiu2SUN Xiangdong1LIU Tan1SHI Benben1

(1. School of Electrical Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048;2. Faculty of Electronic and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049)

The multi-phase permanent magnet synchronous motor drive system has strong fault-tolerant operation ability. The non-sinusoidal back-EMF five-phase permanent magnet synchronous motor is taken as the research object. By adopting the reduced order transformation matrix, the torque equations at fundamental and the third harmonic spaceare constructed under the single-phase fault. And in order to eliminate the second and fourth torque ripples under the fault, the method of selecting the third harmonic current injection rate is analyzed, and the reference current are optimized according to the principle of minimum copper loss and maximum torque.In addition, to address the inability of traditional PI controller to track the AC reference current in an accurate way, a Quasi-proportional resonance (QPR) +PI controller is designed on the basis of PI control to ensure the accuracy in tracking the AC reference current in the synchronous coordinate system. The simulation results demonstrate that the torque ripple are effectively suppressed, and the QPR + PI controller can accurately track the AC current signal.

Five-phase permanent magnet synchronous motor；third harmonic current；torque ripple；fault-tolerant control；quasi-proportional resonant controller

10.11985/2021.04.014

TM561

* 國家自然科學基金(51707157)、中國博士后科學基金(2017M623210)和陜西省自然科學基金(2018JQ5066)資助項目。

20210408收到初稿，20210705收到修改稿

周長攀，男，1986年生，博士，講師。主要研究方向為交流永磁電機及其控制。E-mail：zhoucp@xaut.edu.cn

劉海峰，男，1994年生，碩士研究生。主要研究方向為交流電機控制。E-mail：1049734472@qq.com