一種基于PSO算法的群體決策新方法

劉祖林,張家偉,宋翌,劉芳

(1.廣西大學(xué) 工商管理學(xué)院， 廣西 南寧 530004;2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)院， 廣西 南寧 530004;3.北部灣大學(xué) 理學(xué)院， 廣西 欽州 535011)

0 引言

隨著社會和經(jīng)濟的快速發(fā)展，決策的環(huán)境變得更加復(fù)雜化。為了更好地解決復(fù)雜環(huán)境下的決策問題，常常需要群體的專家或決策者參與決策，而在群體決策過程中，決策者受到人類思維習(xí)慣以及自身決策知識和經(jīng)驗不足的影響。為了降低這些主觀因素的影響，對方案進行兩兩比較時給出區(qū)間模糊數(shù)去反應(yīng)他們對方案的偏好關(guān)系[1]。目前，許多學(xué)者已經(jīng)對群體決策的理論和方法進行了研究,LIU等[2]基于備選方案兩兩比較的過程，建立了一個序列模型，然后用它去刻畫不合理性和不確定性的過程，并用于解決相應(yīng)的群體決策問題。LIU等[3]提出了一個新的幾何一致性指標(biāo)，然后根據(jù)這個指標(biāo)提出了一個幾何一致性誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子去聚合群體區(qū)間積型互反判斷矩陣。劉芳等[4]給出了區(qū)間積型互反判斷矩陣一致性的定義，并提出了構(gòu)造一致性區(qū)間積型互反判斷矩陣的方法。韋保磊等[5]基于決策信息具有主觀性和客觀性，提出了隨機濾波決策方法分離主客觀成分，并結(jié)合大數(shù)定理給出解決群體決策的新方法。群體決策問題的關(guān)鍵在于決策者之間達成一種共識，然后從備選方案X={x1,x2,…,xn}中選擇最佳方案。

在群體決策中，各決策者要達成共識，則需要解決兩個關(guān)鍵的問題：一是對群體判斷矩陣的集成；二是確定決策方案的綜合權(quán)重。目前，關(guān)于一簇判斷矩陣的集成方法已有許多的研究成果，如文獻[6]構(gòu)造了誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子(induced ordered weighted geometric averaging, IOWGA)。文獻[7]和[8]分別采用了加權(quán)幾何平均算子(weighted geometric averaging, WGA)和有序加權(quán)幾何平均算子(ordered weighted geometric averaging, OWGA)。文獻[9]構(gòu)造了一致性有序加權(quán)幾何平均算子(consistency induced ordered weighted geometric averaging, CI-OWGA)，并對區(qū)間積型互反判斷矩陣進行了聚合。文獻[10]在IOWA基礎(chǔ)上提出了加型一致誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子(additive consistency induced ordered weighted geometric averaging, AC-IOWGA)。文獻[11]基于PSO算法,把一簇互反判斷矩陣聚合成區(qū)間積型互反判斷矩陣。文獻[12]基于新的不一致性指標(biāo)，提出了新的誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何集成算子。二是確定決策方案的綜合權(quán)重。如文獻[13]提出了字典式目標(biāo)模型(linear goal program, LGP)確定非一致性區(qū)間積型互反判斷矩陣的權(quán)重。文獻[14]采用了連續(xù)有序加權(quán)幾何運算獲得區(qū)間積型互反判斷矩陣的權(quán)重。文獻[15]基于PSO算法，構(gòu)建了兩個基于互反判斷矩陣的群體決策模型去獲得方案的綜合權(quán)重。對于上述關(guān)于判斷矩陣的集成方法，首先定義一個集成算子，然后利用它對判斷矩陣進行集成。然而，在集成的過程中需要考慮原始判斷矩陣是否具有滿意一致性，如果沒有，則需要對初始判斷矩陣進行調(diào)整并使其具有滿意一致性，此過程在一定程度上影響了結(jié)果的可靠性。隨著區(qū)間積型互反判斷矩陣在群體決策中的應(yīng)用越來越廣泛，對區(qū)間積型互反判斷矩陣的集成作進一步的研究具有一定的理論意義和現(xiàn)實價值。本文以PSO算法為基礎(chǔ)，首先構(gòu)建一個最大-最小值集成模型，并把一簇區(qū)間積型互反判斷矩陣集成得到兩個新的區(qū)間積型互反判斷矩陣，然后構(gòu)造相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)去獲得具有滿意一致性的綜合區(qū)間積型互反判斷矩陣，最后應(yīng)用文獻[16]的方法獲得方案的綜合權(quán)重。

1 基本概念

首先給出互反判斷矩陣及其一致性的定義。

定義1[17]若矩陣A=(aij)n×n中的每一個元素均滿足關(guān)系aij·aji=1,當(dāng)且僅當(dāng)i=j時，aii=1(aij>0,?i,j=1,2…,n.)，則稱A=(aij)n×n為互反判斷矩陣。

定義2[17]若互反判斷矩陣A=(aij)n×n中滿足aij=aik·akj(?i,j,k=1,2,…,n),則稱矩陣A=(aij)n×n是一致的。

由于決策環(huán)境的復(fù)雜性，在實際決策過程中決策者很難給出具有一致性的互反判斷矩陣，為了進一步消除維度對判斷矩陣一致性的影響，文獻[17]提出了一致性比率CR,當(dāng)CR≤0.1時，表明矩陣A具有滿意近似一致性；當(dāng)CR>0.1,表明矩陣A不具有滿意近似一致性。文獻[18]中從幾何的思想出發(fā)，提出了幾何一致性指標(biāo)GCI如下：

定義3[18]假設(shè)矩陣A=(aij)n×n為互反判斷矩陣，則幾何一致性指標(biāo)為

(1)

文獻[18]給出了GCI滿意近似一致性的閥值。當(dāng)n=3時，GCI=0.31;當(dāng)n=4時，GCI=0.35;當(dāng)n≥5時，GCI=0.37。

為了更合理的度量復(fù)雜環(huán)境下決策的模糊性和不確定性對群體決策的影響，下面介紹區(qū)間積型互反判斷矩陣的相關(guān)概念。

式中,

以PSO算法為基礎(chǔ)，構(gòu)建最大-最小值集成模型去集成一簇區(qū)間積型互反判斷矩陣，并給出解決基于區(qū)間積型互反判斷矩陣的群體決策的新算法。

2 基于PSO算法的最大-最小值集成模型

假設(shè)某個群體決策中有m個決策者E={e1,e2,…,em}和n個備選方案X={x1,x2,…,xn},決策者對備選方案進行兩兩比較給出了一簇區(qū)間積型互反判斷矩陣{A1,A2,…,Am}。為了獲得一個最優(yōu)的方案，各個決策者之間需要進行相互的討論和學(xué)習(xí)[19]，最終達成一個良好的共識。目前,許多學(xué)者給出了群體判斷矩陣集成的方法。本文基于區(qū)間積型互反判斷矩陣的端點值，構(gòu)造一個構(gòu)造最大-最小值集成模型對{A1,A2,…,Am}進行集成。

2.1 構(gòu)造集成模型

令：

2.2 適應(yīng)度函數(shù)

在群決策中為了獲得一個合理的最優(yōu)方案，關(guān)鍵要解決兩個問題，一是集成的綜合判斷矩陣具有滿意近似一致性；二是集成判斷矩陣與各決策者的初始判斷矩陣偏差最小。用函數(shù)描述如下：

Q1=GCI(R)或Q1=GCI(L),

(9)

(10)

類似文獻[20]，把Q1和Q2表示成線性函數(shù)如下：

Q=pQ1+pQ2,

(11)

式中,p,q≥0,通常情況為了同時考慮兩個關(guān)鍵因素，限定p>0,q>0。為了獲得合理的最優(yōu)解，則需滿足如下的約束條件：

(12)

(13)

υ(t+1)=ω·υ(t)+c1·r1·[p(t)-x(t)]+c2·r2·[q(t)-x(t)],

(14)

x(t+1)=x(t)+υ(t+1),

(15)

式中,ω表示從0.9→0.4的慣性權(quán)重；υ(t)表示t時刻粒子的速度；c1,c2分別表示自我認知系數(shù)和社會學(xué)習(xí)系數(shù)；p(t),q(t)分別表示t時刻粒子局部和全局的最優(yōu)位置；r1,r2∈(0,1) 的任意實數(shù)。

2.3 群決策算法

群決策算法如下：

Step 5:對step 4的區(qū)間數(shù)權(quán)重進行兩兩比較得到一個可能度矩陣P=(pij)n×n。

Step 6:對可能度矩陣P采用消去行-列[22]的方法獲得方案的優(yōu)先級。

3 數(shù)值結(jié)果分析與討論

假設(shè)群體決策中有3個決策者E={e1,e2,e3},從4個備選方案X={x1,x2,x3,x4}中選擇最優(yōu)方案。現(xiàn)在每個決策者對備選方案兩兩比較并分別給出相應(yīng)的區(qū)間積型互反判斷矩陣如下所示：

當(dāng)運行PSO算法時，取粒子數(shù)量為100粒，迭代次數(shù)為100次，分別取p=1,1.5和q=1,1.5,得到適應(yīng)度函數(shù)值與迭代次數(shù)的關(guān)系如圖1所示。

圖1 適應(yīng)度函數(shù)值與迭代次數(shù)的關(guān)系Fig.1 Relationship between the fitness function value and the number of iterations

從圖1可以看出，當(dāng)p,q的值固定時，適應(yīng)度函數(shù)值隨著迭代次數(shù)的增加而減小，隨后趨于一個固定的數(shù)值；當(dāng)固定q值時，適應(yīng)度函數(shù)值隨著p值的增大而增加，隨后趨于一個固定的值；當(dāng)固定p值時，適應(yīng)度函數(shù)值隨著q值的增大而增加，隨后趨于一個固定值，并且這個定值比p=q時更大。因此，取p=q=1時，對公式(9)至公式(15)執(zhí)行PSO算法得到相應(yīng)的互反判斷矩陣R,L如下：

運用公式(16)可得：

ω1=[0.292 6, 0.546 6],ω2=[0.194 7, 0.261 6],

ω3=[0.104 0, 0.177 5],ω4=[0.087 8, 0.335 2]。

對區(qū)間數(shù)權(quán)重ω1,ω2,ω3,ω4進行兩兩比較得到一個可能度矩陣如下：

4 結(jié)語

文中主要針對群決策中決策者給出的偏好類型為區(qū)間積型互反判斷矩陣的決策問題進行了研究。以PSO算法為基礎(chǔ)，構(gòu)造了一種新的模型對區(qū)間積型互反判斷矩陣進行集成，最后通過數(shù)值例子進行分析，并與已有的方法進行了比較，進一步的說明了此模型的合理性和可行性。在今后的學(xué)習(xí)中，將該方法進一步的推廣到解決關(guān)于區(qū)間加型互反判斷矩陣和三角模糊數(shù)判斷矩陣的群體決策問題。