厘清認知偏差 立足根本施策

唐金平

【摘 ? 要】分數乘除法問題解決是小學數學學習的重、難點。學生在解題方面常存在意義不清、量率不分、差倍不辨、對應不明等錯誤。教學中正確歸因，從概念著手，分清“量與率”，找準分率（分數倍）與倍數的意義之間的勾連，從意義的最根本處激活學生的相關經驗，能有效提高學生解決相關問題的能力。

【關鍵詞】分數;乘除法;歸因;策略

分數乘除法問題解決是小學數學學習的重點，也是難點。學生在解題方面存在很多問題。如果教師能正確歸因，有的放矢地采取相應的措施，制定適宜策略，就能讓學生的相關學習更好、更順利地進行。

一、原因分析

分數乘除法問題解決過程中，有以下幾種常見錯誤。

（一）意義不清

分數的產生一方面是緣于計數的需要：度量某一個物體不能用整數表示時產生分數。如一個物體的實際長度是80厘米，用單位長度“米”去度量時，發現不能用整數表示，這時把這“1米”平均分成100份，用其中的1份，也就是[1100]米作為新的度量單位去度量，度量出來的結果是80個[1100]米，即[80100]米。另一方面是緣于計算的需要：當兩數相除結果不能用整數表示時，擴充到用分數來表示。如求男生人數是女生的幾倍。當男生人數不是女生人數的整數倍時，用分數表示。

受教師“分數意義”教學時強調“平均分”的影響，學生往往只記住“平均分”。這種認識上的偏頗，導致后續的一些解題失誤。

（二）量率不分

分數既可表示“量”，又可表示“率”。當表示一個具體的數量，如上文中提到的[80100]米，就是“量”，這是個絕對意義的數;當表示倍數關系時，就是“率”，如截去一根繩子長度的[45]。它表示的是截去長度與總長度這兩個數的比值，也就是我們常說的“分率”，“分率”是表示相對意義的數。在解決涉及分數不同意義的相關問題時，采用的方法不同。如一根繩子，用去[45]米或者用去[45]，這兩個[45]的意義不同，前者的長度已經確定，后者是相對全長的[45]，需要用“全長×[45]”求出。分數乘除法主要是解決“率”方面的問題，但學生量率不分，錯誤不斷。

（三）差倍不辨

兩數比較時，會出現兩種情況。一種是相差關系，求一個數比另一個數多多少或少多少;另一種是倍數關系，求一個數是另一個數的幾倍（或幾分之幾）。

在相差關系中，相差量是一樣的。如今年產量比去年產量多200噸，也就是去年產量比今年產量少200噸。

在倍數關系中，如果標準量發生改變，其所表示的數也跟著發生變化。如“今年產量比去年產量多[23]”這句話中，去年產量是標準量，今年產量是比較量。這個[23]表示的是今年比去年多的產量相當于去年產量的[23]。今年產量相當于去年產量的（1+[23]）。

但學生不辨“差”“倍”。以為今年產量比去年產量多[23]，就是去年產量比今年產量少[23]。事實上是去年產量應比今年產量少[25]。如圖：

（四）對應不明

“對應”是一種重要的數學思想方法，是指集合中的元素具有一個對一個的相呼應的形態。分數乘除法問題解決中的對應主要指具體數量和分率間的對應關系。如有這樣一題：書店運來一批文藝書，已售出全部的[58]，還剩下1260本，求這批圖書有多少本？售出的部分圖書對應的分率是[58]，剩下的1260本對應的是剩下圖書占全部圖書的幾分之幾。學生卻錯誤列式：1260÷[58]。

二、解決策略

學生的認知偏差緣于對概念的錯誤理解以及方法的缺失。關注學生已有的知識和方法，緊扣知識本質，能有效地解決以上問題。

（一）厘清概念，全面理解意義

分數該怎樣定義？張奠宙教授提出：基于人們認識發展的順序，分數定義一般有以下四種。

定義1（份數定義）：分數是把1個單位平均分成若干份之后其中的1份或幾份。

定義2（商定義）：分數是兩個整數相除（除數不為0）的商。

定義3（比定義）：分數是整數q與整數p（p≠0）之比。

定義4（公理化定義）：有序的整數對（p，q），其中（p≠0）。

小學數學教材中所給出的定義是份數定義。但在具體情境中，商的定義和比的定義都在教材中先后出現。

特級教師俞正強提出一些數學課需要“蒔也若子”，像種子一樣，為今后的學習提供養分。在有關分數知識教學中，“分數的初步認識”就是種子，為今后分數意義的全面理解播下希望。

以北師大版三年級下冊“認識分數”為例。作為起始課，本課首先滲透了分數與除法的關系。2個蘋果平均分成2份，每份是1個;當1個蘋果平均分成2份，求每份是多少時，學生體會到除法結果不能用整數來表示，引發產生分數的需要;這個結果同時滲透了分數的另外兩種含義：半個蘋果用[12]個表示，這里表示的是數量;半個是整個的[12]，是部分與整體的關系。在教學中教師往往會重視“[12]”的關系含義，而忽視了數量含義。

因此在教學中教師要讓學生從整體上體會到分數意義的豐富性。五年級上冊“分數的意義”這一單元突出了對單位“1”的理解，將分數的份數定義與商定義進行了有效鏈接。

如在右圖中不僅看到涂色部分是整體的[49]，空白部分是整體的[59]，而且看到涂色部分是空白部分的[45]。

要實現對分數意義的全面理解，需要學生厘清概念，明白“量”“率”的區別。

（二）整體布局，有效區分“量”“率”

“量”“率”的區別不僅在當下，還要追溯到從前。教師要樹立整體教學的意識，引導學生理解相關知識的內在聯系，從尋找知識間的差異到溝通知識間的聯系，使學生形成綜合學習的能力。

分數乘法可分為分數與整數相乘、分數與分數相乘兩種情況。分數與整數相乘，可以看作求幾個相同加數和的簡便運算，或者采用“倍數”的概念加深理解;分數與分數相乘，可以將分數乘法理解為部分的部分。這些內容事實上都可以統一為“倍數”的概念——求1個數的幾倍（分數倍）是多少。從這個意義來說，分數乘除法在知識體系上與整數中倍數的相關知識是一脈相承的。

相差關系是小學數學數量關系學習的重要知識支柱。其核心“多與少”是小學生學習數量關系的第一步。隨著“數”的擴充，從整數到小數再到分數，這種兩個數量“多”“少”“相差”的比較關系也是不變的。明白這點，對理解“量”與“率”“差”與“倍”的區別有很大的幫助。

（三）數形結合，精準分析關系

明白了概念的內涵與外延，分清了“量”“率”后，可進一步分析其中的數量關系。

首先找準單位“1”。傳統教學中教師會用一句口訣道盡“精髓”：“題中若有‘是‘占‘比，那么后面那個是整體。”這種找法有一定道理，但學生明白“是”“占”“比”后的那個量為什么是單位“1”嗎？

教學經驗告訴我們，對于部分與整體關系的分率，學生比較容易理解。如讀了一本書的[23]，修了一條路的[45]，學生能明白一本書的總頁數，一條路的總長度是單位“1”。但對于諸如實際產量比計劃產量多[14]，降價[18]，一件商品出售后賺了[14]，冰化成水，體積減少[110]這樣的語句，因為兩個量之間的關系沒有部分與整體的關系那么直觀，學生分析起來就會感到困難。而類似降價、賺與虧、冰化成水體積減少這類用語更加簡略，學生找單位“1”就更困難了。

列出數量關系式，借助數形結合的方式可以把復雜的數學關系變得簡明，形象。如用線段圖表示關系（如下圖），由此很容易看出今年產量是去年產量的（1+[23]），列出數量關系：去年產量×（1+[23]）=今年產量。

進而根據已知條件與問題，列式計算。在上面數量關系中，如果已知去年產量120噸，求今年產量，就直接列式120×（1+[23]）=200（噸）;如果已知今年產量200噸，求去年產量，那就根據關系式列方程，然后求解該方程。設去年產量為X噸，列方程為： X×（1+[23]）=200，解得X=120。

所以不管在什么類型的應用題教學中，分析數量關系應該都是教學的重中之重。教師應該教給學生一些方法，提高學生分析問題和解決問題的能力。

（四）巧用變式，辨析對比提高

對應不明的問題可通過變式教學來培養解決問題的能力，在變式中培養學生的數學素養，訓練數學思維，在對比中加深對概念的理解。

變式練習可以分為內容變式和形式變式。內容變式是將相關知識點通過對比，深化對知識的理解。如量率的對比練習：一根繩子3米，用去[45]米后是（ ? ?）米;一根繩子3米，用去[45]后是（ ? ?）米。

如“求一個數的幾分之幾是多少”與“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的對比練習：1200米的[23]是（ ? ? ）米;（ ? ? ）米的[23]是1200米。

形式變式指的是設計靈活多變的練習形式，來吸引學生的注意，提高學生的學習興趣。如填空形式：修一條長1200米的路，第一天修了全長的[13]，第二天修了全長的[14]，余下的第三天修完。

①問題：兩天一共修了多少米？算式： ? ? ? ? ? ?。

②問題： 求 ? ? ? ? ? ? ? ? ?？算式：1200×（[13]-[14]）。

③問題：第三天修多少米？算式： ? ? ? ? ? ? ? ? 。

如連線形式：工廠八月份用水量180噸， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，八月份用水量是多少噸？

①九月份用水量是八月份的[59] ? ? 180÷[59]

②八月份用水量是九月份的[59] ? ? 180×[59]

③九月份用水量比八月份多[19] ? ? ?180÷（1-[19]）

④九月份用水量比八月份少[19] ? ? 180÷（1+[19]）

⑤八月份用水量比九月份多[19] ? ? ?180×（1-[19]）

⑥八月份用水量比九月份少[19] ? ? ?180×（1+[19]）

綜上所述，對于分數乘除法問題解決中的錯誤，教師可從概念著手，幫助學生分清“量與率”，找準分率（分數倍）與倍數的意義之間的勾連，從意義的最根本處激活學生的相關經驗，以有效提高學生解決問題的能力。當然，以上策略并不是孤立的，而是互相聯系的。

參考文獻：

[1] 張奠宙，唐彩斌.關于小學“數學本質”的對話[J].人民教育，2009（2）.

（浙江省常山縣天馬第二中心小學 ? 324299）