借助數(shù)形結(jié)合 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

馬徐儀

【摘 ? 要】隨著深度學(xué)習(xí)理念的施行，越來(lái)越多的教師意識(shí)到將學(xué)生引向數(shù)學(xué)本質(zhì)學(xué)習(xí)的重要性。教師在教學(xué)“2、5的倍數(shù)的特征”一課時(shí)，不應(yīng)只簡(jiǎn)單地推理尾數(shù)特征，更要引導(dǎo)學(xué)生探索其背后的本質(zhì)原因。借助數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生充分經(jīng)歷分類中追溯源頭、變化中尋求不變、遷移中促進(jìn)內(nèi)化、比較中升華本質(zhì)的過(guò)程，幫助學(xué)生在研究變與不變中，理解其本質(zhì)，推理其特征，進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;特征本質(zhì);深度學(xué)習(xí)

查閱近幾年“2、5的倍數(shù)的特征”一課的研究成果，可以發(fā)現(xiàn)越來(lái)越多的教師努力把這節(jié)看似簡(jiǎn)單的課上得不那么簡(jiǎn)單，不再只簡(jiǎn)單地推理尾數(shù)特征，而是引導(dǎo)學(xué)生去探索其背后的本質(zhì)原因。

本課教學(xué)一般從探究2或5的倍數(shù)特征開(kāi)始，學(xué)生需經(jīng)歷列舉、猜想、驗(yàn)證、結(jié)論、說(shuō)理的過(guò)程。但在聚焦“為什么只看個(gè)位”這一問(wèn)題時(shí)，教師常常會(huì)抓住某個(gè)學(xué)優(yōu)生的回答，結(jié)合小棒或小方塊去解釋特征本質(zhì)，其他學(xué)生則順著學(xué)優(yōu)生、教師的PPT演示努力理解尾數(shù)特征。這樣，對(duì)特征本質(zhì)的理解或者被教師的告知所代替，或者被學(xué)優(yōu)生的思考所代替。要處理好這個(gè)問(wèn)題，教師可以充分利用數(shù)形結(jié)合，在研究倍數(shù)的過(guò)程中，提煉本質(zhì)，自然推導(dǎo)特征，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

【教學(xué)過(guò)程】

（一）分類中追溯源頭

1.數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)聯(lián)

用除法算式表示方格圖的意義，學(xué)生的反饋情況如圖1。

（解析：從橫縱兩個(gè)角度分別觀察，①②③④橫行、豎列都可以看成每份數(shù)，都可以列出2個(gè)除法算式，而⑤⑥只能將豎列看成每份數(shù)，列出1個(gè)除法算式。學(xué)生在看方格圖列除法算式的過(guò)程中，將“數(shù)”和“形”建立關(guān)聯(lián)。）

2.分類整理，追溯源頭

師：請(qǐng)把它們分分類。

生：拼成長(zhǎng)方形的一類（①②），不能拼成長(zhǎng)方形的一類（③④⑤⑥）。

生：有余數(shù)的一類（③④⑤⑥），另一類沒(méi)有余數(shù)（①②）。

生：把可以列出2種算式的歸為一類（①②③④），只能列出1種算式的歸為一類（⑤⑥）。

生：把每列數(shù)規(guī)定為除數(shù)，除數(shù)是2的一類（①③④），除數(shù)是5的一類（②⑤⑥）。

師：我們可以分別以能否拼成長(zhǎng)方形、是否有余數(shù)、列出算式的個(gè)數(shù)、除數(shù)是否相同作為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。

師：6÷2=3，我們就說(shuō)6是2的——倍數(shù)。

師：要使得一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，需要滿足什么條件？

生：把一個(gè)數(shù)平均分，沒(méi)有余數(shù)。

師：6是怎么分的？

生：把方格2個(gè)2個(gè)平均分，有這樣的3列，或者把方格平均分成2行，每行有3個(gè)。

師：用除法表示平均分方格的過(guò)程，沒(méi)有余數(shù)時(shí)，我們就說(shuō)被除數(shù)是除數(shù)的倍數(shù)。

（解析：研究一個(gè)數(shù)倍數(shù)的特征本質(zhì)，教師通常會(huì)采用教材提供的百數(shù)表，讓學(xué)生去圈一圈，進(jìn)而觀察、猜想、驗(yàn)證2的倍數(shù)的特征，再研究特征本質(zhì)。筆者沒(méi)有采用這一做法，而是通過(guò)以數(shù)解形——用除法算式表示方格圖，在分類比較中溝通圖、式、倍數(shù)之間的關(guān)系，追溯倍數(shù)源頭——平均分。借助方格圖，學(xué)生回顧除法蘊(yùn)含的平均分意義;借助除法算式，學(xué)生復(fù)習(xí)倍數(shù)概念。除法將倍數(shù)與承載平均分意義的方格圖聯(lián)系在了一起。研究一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，利用方格圖，采用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行研究能夠直指知識(shí)本源。）

（二）變化中尋求不變

1.以形助數(shù)，積累經(jīng)驗(yàn)

師：結(jié)合圖說(shuō)一說(shuō)，為什么10是2、5的倍數(shù)？7為什么不是2的倍數(shù)？

生：圖②中，10能2個(gè)2個(gè)分，分成5行;5個(gè)5個(gè)分，分成2列。圖③中，2個(gè)方格為1列，分了3列后還剩下1個(gè)。

師：從圖上看，滿足什么條件就能找到一個(gè)數(shù)的倍數(shù)？

生：只要能拼成長(zhǎng)方形就可以。因?yàn)橹灰芷闯砷L(zhǎng)方形，總數(shù)就是每份數(shù)或份數(shù)的倍數(shù)。

（解析：以形助數(shù)，讓學(xué)生結(jié)合方格圖解釋一個(gè)數(shù)什么時(shí)候是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，什么時(shí)候不是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，再一次加深了學(xué)生對(duì)成倍數(shù)關(guān)系所拼成的圖形是長(zhǎng)方形的印象。這一結(jié)論為后續(xù)探索倍數(shù)特征的本質(zhì)積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。）

2.累加變化，尋求不變

師：圖④中的17，是不是2的倍數(shù)？

生：2個(gè)1列，分成8列，還剩1個(gè)，不是2的倍數(shù)。

師：有沒(méi)有更快的想法？

生：7到17增加了10，10個(gè)方格2個(gè)2個(gè)分沒(méi)有剩余，所以我們根據(jù)前面“7不是2的倍數(shù)”的結(jié)論，可以推測(cè)17也不是2的倍數(shù)，余數(shù)仍然是1。

師：改成27，會(huì)怎么樣？

生：也不是2的倍數(shù)。因?yàn)?7和17相比，又多了10，我們知道增加一個(gè)10不會(huì)產(chǎn)生新的余數(shù)。

師：余數(shù)還是？

生（全體）：1。

師：如果接著增加下去，變成37、47、57、67……你覺(jué)得變到什么時(shí)候，它就是2的倍數(shù)？

（學(xué)生思考中，沒(méi)有人舉手）

師（追問(wèn)）：變成107總行了吧？

生：從27變到107，增加了8個(gè)10，不管有多少個(gè)10，都能2個(gè)2個(gè)平均分，余數(shù)不變。

師：同學(xué)們一起來(lái)看一看，是不是這樣的？（PPT演示，如圖2）

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：十位、百位數(shù)位上的數(shù)字不管怎么變，除以2的余數(shù)不變。

（解析：“2的倍數(shù)的特征只要看個(gè)位”的結(jié)論，教學(xué)中一般是從學(xué)優(yōu)生口中得到的，教師再以某個(gè)數(shù)為例，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行再次解釋。本環(huán)節(jié)以形助數(shù)，學(xué)生2個(gè)2個(gè)平均分方格，在10個(gè)10個(gè)累加變化中自然感受、理解十位、百位，甚至想象千位上的數(shù)字變化，但余數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化的原理。）

3.發(fā)現(xiàn)特征，解釋本質(zhì)

師：要使得這些數(shù)都變成2的倍數(shù)，你們打算怎么做？