基于相異概念的小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段“形”概念教學(xué)探析

蘇娜

【摘 ? 要】小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段中有關(guān)“形”的概念往往只有描述性定義或舉例說(shuō)明，加之很多教師對(duì)學(xué)生頭腦中原有的相異概念關(guān)注不夠，致使教學(xué)效果不盡如人意。教師以《角的初步認(rèn)識(shí)》一課的教學(xué)為例，通過(guò)調(diào)查了解學(xué)生在學(xué)習(xí)角之前關(guān)于角的原有的“相異概念”，分析其成因并在此基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的轉(zhuǎn)化對(duì)策，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】相異概念;“形”概念教學(xué);角

一、直面病癥：“形”概念教學(xué)效果不佳

小學(xué)階段，概念教學(xué)貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終。但概念學(xué)習(xí)效果并不理想，尤其是第一學(xué)段“形”的概念學(xué)習(xí)效果更是不盡如人意。如學(xué)生在學(xué)習(xí)《角的初步認(rèn)識(shí)》之后，對(duì)角的概念還是不夠明晰，尤其對(duì)角大小的比較感到困惑，只能硬記“角的大小與張口大小有關(guān)，與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”。究其原因，教師沒(méi)有真正讀懂學(xué)生，對(duì)學(xué)生原有的相異概念關(guān)注不夠。

兒童在學(xué)習(xí)之前建立起來(lái)的偏離或背離科學(xué)概念的思維結(jié)構(gòu)、觀點(diǎn)與看法，被稱(chēng)為“相異概念”。[1]找到并修正學(xué)生頭腦中的相異概念是教師需要持續(xù)關(guān)注、探索的問(wèn)題。本文以《角的初步認(rèn)識(shí)》為例，通過(guò)調(diào)查，了解學(xué)生存在的關(guān)于角的原有的相異概念，分析其成因并提出相應(yīng)的轉(zhuǎn)化解決對(duì)策，以達(dá)成有效教學(xué)。同時(shí)也希望能對(duì)老師們進(jìn)行第一學(xué)段“形”概念的教學(xué)有一些啟示。

二、精準(zhǔn)把脈：準(zhǔn)確診斷相異概念

為了找準(zhǔn)學(xué)生的相異概念，我們采用問(wèn)卷調(diào)查和訪談等方法，隨機(jī)抽取兩個(gè)學(xué)校（杭州主城區(qū)小學(xué)和城郊小學(xué)）二年級(jí)127名學(xué)生作為測(cè)試對(duì)象，實(shí)施“角的初步認(rèn)識(shí)”前測(cè)。之后結(jié)合調(diào)查和訪談結(jié)果，對(duì)前測(cè)結(jié)果進(jìn)行定量分析與定性描述，歸納得出學(xué)生有關(guān)“角”的相異概念。

（一）角的概念認(rèn)知模糊

【數(shù)據(jù)呈現(xiàn)】

【把脈診斷】

如圖1，有關(guān)“角”的概念，學(xué)生主要存在以下三個(gè)相異概念。

相異概念1：只要有尖尖的地方的就是角。24.41%的學(xué)生對(duì)“角”尚未形成數(shù)學(xué)性的認(rèn)識(shí)，認(rèn)為牛角、墻角等有尖尖的地方就是角。在對(duì)“角”已具備模糊數(shù)學(xué)概念的75.59%的學(xué)生中，8.66%的學(xué)生畫(huà)出了三角形，認(rèn)為角的樣子就是三角形。學(xué)生在訪談中表示：“因?yàn)槿切斡屑饧獾牡胤剑运墙恰！?/p>

相異概念2：角指的就是尖尖的部分。54.33%的學(xué)生對(duì)“角”的認(rèn)知停留在“角就是尖尖的那個(gè)點(diǎn)”上（如作品1和作品2）。這部分學(xué)生已經(jīng)能夠感知到角是尖尖的，但由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的固化，誤將尖尖的部分當(dāng)作角。

相異概念3：有一條邊水平放置的才是角。訪談中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)角的認(rèn)識(shí)之前，在一些幼兒讀物上接觸過(guò)角，幾乎都有一條邊水平放置，導(dǎo)致學(xué)生形成對(duì)角的認(rèn)知偏差。

（二）角的大小指向不明

【數(shù)據(jù)呈現(xiàn)】

【把脈診斷】

如表1，有關(guān)角的大小比較，學(xué)生主要存在以下三個(gè)相異概念。

相異概念1：角的邊越長(zhǎng)，角就越大。70.08%的學(xué)生受學(xué)過(guò)的線段長(zhǎng)短比較的負(fù)遷移，認(rèn)為邊越長(zhǎng)，角肯定越大。

相異概念2：角的兩條邊可見(jiàn)部分（所繪線段端點(diǎn)）連接的線段越長(zhǎng)，角越大。31.5%的學(xué)生認(rèn)為角的大小比較是看連接兩條可見(jiàn)邊的線段，它越長(zhǎng)，角越大。

相異概念3：角的大小比較的是角的“面”。66.93%的學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為比角就是比角的“面”，把兩條可見(jiàn)邊連起來(lái)變成“三角形”，三角形“面”越大，角就越大。

產(chǎn)生這些相異概念最主要的原因是學(xué)生不知道角的大小到底指的是什么。在以往的生活學(xué)習(xí)中，他們有過(guò)不少類(lèi)似經(jīng)驗(yàn)：蘋(píng)果的大小比較、表面的大小比較、線段的長(zhǎng)短比較等等。當(dāng)比較角的大小時(shí)，學(xué)生順理成章地調(diào)用這些經(jīng)驗(yàn)，出現(xiàn)以上符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的相異概念。

三、對(duì)癥下藥：探尋相異概念轉(zhuǎn)化策略

（一）追本溯源，明晰數(shù)學(xué)概念本質(zhì)

在進(jìn)行“形”的概念教學(xué)之前，教師應(yīng)追本溯源，準(zhǔn)確把握概念內(nèi)涵，明晰概念本質(zhì)。第一學(xué)段“形”的概念往往只有描述性定義或舉例說(shuō)明，如教學(xué)“角的初步認(rèn)識(shí)”時(shí)，人教版教材只要求學(xué)生能結(jié)合生活情境認(rèn)識(shí)角，能從實(shí)物中抽象出角，對(duì)定義未做要求，只采取舉例的方式。蘇教版和北師大版教材也是如此。這固然與學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)射線等相關(guān)概念的知識(shí)基礎(chǔ)有關(guān)，但教師在教學(xué)角的初步認(rèn)識(shí)時(shí)，要有清晰的角概念的科學(xué)定義和上位知識(shí)，否則在教學(xué)時(shí)不但不能破除學(xué)生原有的相異概念，還有可能因此讓學(xué)生形成新的相異概念。

1.追本，厘清概念內(nèi)涵

什么是角？通過(guò)查閱文獻(xiàn)及相關(guān)教科書(shū)，發(fā)現(xiàn)角主要有以下定義：（1）有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫角，這個(gè)共同端點(diǎn)叫作角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫作角的邊。[2]（2）由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，叫作角。[3]（3）“平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上兩條相交線相互的傾斜度（the plane angle is the angle that two intersecting lines in the same plane result in）。[4]

2.溯源，找到概念源頭

數(shù)學(xué)為什么要定義角？有研究者認(rèn)為：數(shù)學(xué)定義角是出于定量研究某圖形（角）中兩邊張開(kāi)度大小的需要，角的數(shù)學(xué)定義產(chǎn)生的實(shí)際過(guò)程很可能是先有比較張開(kāi)度的大小的問(wèn)題，再有角的定義，角應(yīng)是一個(gè)刻畫(huà)張開(kāi)度的問(wèn)題。[5]

當(dāng)教師對(duì)角的定義有了明晰的科學(xué)認(rèn)識(shí)，在教學(xué)時(shí)就不會(huì)發(fā)生偏差。如在新課引入時(shí)教師可以從刻畫(huà)張開(kāi)度引入。

【教學(xué)片段1】

師：小朋友，見(jiàn)過(guò)大嘴鳥(niǎo)嗎？它們倆誰(shuí)的嘴巴張得大些？

生：第一只。

師：你能比畫(huà)這兩只鳥(niǎo)嘴巴的張開(kāi)度嗎？誰(shuí)愿意上來(lái)比畫(huà)一下？

師：我們可以把剛才的手勢(shì)轉(zhuǎn)化為圖形來(lái)表示。

（師邊說(shuō)邊畫(huà)角的一個(gè)頂點(diǎn)、兩條邊。用短弧標(biāo)注張開(kāi)的程度）

師：這就是我們今天要認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)中的角。

這樣從一開(kāi)始學(xué)生就建立了角是刻畫(huà)張開(kāi)度的認(rèn)知，為后面進(jìn)行角的大小比較時(shí)破除相關(guān)相異概念奠定了基礎(chǔ)。

（二）引發(fā)沖突，重構(gòu)準(zhǔn)確數(shù)學(xué)概念

學(xué)習(xí)是學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，是需要學(xué)生主動(dòng)放棄原有相異概念并建立新的準(zhǔn)確概念的過(guò)程。學(xué)生在什么情況下才會(huì)主動(dòng)放棄原有相異概念呢？在課堂教學(xué)中，適時(shí)地制造沖突，激化矛盾，可以動(dòng)搖學(xué)生頭腦中頑固的錯(cuò)誤觀念。當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)原有概念無(wú)法解決沖突時(shí)，就會(huì)心甘情愿地放棄舊有觀念。

1.巧問(wèn)引發(fā)內(nèi)涵沖突，動(dòng)搖相異概念

【教學(xué)片段2】

師：剛才大家說(shuō)第一只鳥(niǎo)的嘴巴張得大，但老師怎么覺(jué)得是第二只鳥(niǎo)的嘴巴張得大，看起來(lái)第二只鳥(niǎo)的嘴巴長(zhǎng)多了，這是為什么呢？

生：這是比誰(shuí)的嘴巴張得大些，不是比誰(shuí)的嘴巴長(zhǎng)，和嘴巴的長(zhǎng)短沒(méi)有關(guān)系。

師：誰(shuí)能用上角的知識(shí)來(lái)說(shuō)說(shuō)這位小朋友的意思？

生：第一只鳥(niǎo)嘴巴形成的角比第二只鳥(niǎo)嘴巴形成的角大。

師：“角大”是什么意思？

生：兩邊張得開(kāi)些。

小結(jié)：角的大小是指什么？（角兩邊的張開(kāi)程度）

片段2中，教師在學(xué)生認(rèn)知的生長(zhǎng)點(diǎn)進(jìn)行反問(wèn)，引發(fā)學(xué)生對(duì)角的大小概念內(nèi)涵的認(rèn)知沖突。學(xué)生通過(guò)思辨，破除角的大小與邊相關(guān)等相異概念，重建角的大小的“正確概念”——兩邊張開(kāi)度的大小。教師還可以在學(xué)生認(rèn)知的模糊處進(jìn)行適當(dāng)追問(wèn)。如指角環(huán)節(jié)：指一指三角板的角在哪里。當(dāng)學(xué)生只指向尖尖的點(diǎn)時(shí)，教師可以在黑板上畫(huà)下一個(gè)點(diǎn)，追問(wèn)：“你的意思是這個(gè)點(diǎn)是‘角嗎？”引發(fā)矛盾沖突，使學(xué)生原有的觀念開(kāi)始動(dòng)搖，進(jìn)而破除原有的相異概念，重建角的概念的正確內(nèi)涵。

2.變式引發(fā)外延沖突，促進(jìn)概念辨析

第一學(xué)段“形”概念一般僅僅只用描述性定義或舉例說(shuō)明，在教學(xué)時(shí)教師需要避免局部范例給學(xué)生帶來(lái)的相異概念。如部分學(xué)生存在“有一條邊水平放置的才是角”的相異概念。教師可以設(shè)置變化角的位置、角的邊的長(zhǎng)短等變式練習(xí)進(jìn)行辨析，引發(fā)學(xué)生對(duì)角概念外延的沖突，打破學(xué)生原有的相異概念，重構(gòu)概念的外延。

（三）多元操作，鞏固數(shù)學(xué)概念圖式

第一學(xué)段學(xué)生的思維還處在具體形象水平，而數(shù)學(xué)概念又相對(duì)抽象。所以在學(xué)習(xí)“形”概念時(shí)，學(xué)生需要足夠的時(shí)間和空間來(lái)進(jìn)行動(dòng)手操作，累積感性經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)《角的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，教師可讓學(xué)生通過(guò)“指角”“折角”“畫(huà)角”“做角”“還角”等多元化的操作活動(dòng)鞏固角的概念圖式。

1.借助畫(huà)角，豐富角靜態(tài)概念表象

畫(huà)角，實(shí)質(zhì)上是學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行再現(xiàn)的過(guò)程。通過(guò)自主畫(huà)角，學(xué)生可以明晰尖尖的點(diǎn)無(wú)法構(gòu)成角。此外，教師通過(guò)電子媒介呈現(xiàn)不同類(lèi)型的學(xué)生作品，展開(kāi)對(duì)比，以豐富角的概念表象，歸納梳理角的特點(diǎn)，幫助學(xué)生鞏固對(duì)“角”的靜態(tài)概念的理解。

2.借助做角，滲透角動(dòng)態(tài)概念圖式

用鉛筆做角，也是學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行再現(xiàn)的過(guò)程。學(xué)生在思考兩支鉛筆湊在一起是否形成一個(gè)頂點(diǎn)的過(guò)程中關(guān)注到概念本質(zhì)。同時(shí)教師指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)固定一支鉛筆，轉(zhuǎn)動(dòng)另一支鉛筆讓角變大變小來(lái)感受角的大小變化，破除學(xué)生原有的角大小比較的相關(guān)相異概念，滲透角的動(dòng)態(tài)概念的圖式，也為其后續(xù)學(xué)習(xí)直角、銳角、鈍角做好鋪墊。

（四）溝通統(tǒng)整，形成數(shù)學(xué)概念體系

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)大網(wǎng)絡(luò)，在概念教學(xué)時(shí)教師要把握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系性、連續(xù)性和統(tǒng)整性，形成數(shù)學(xué)概念體系，使學(xué)生更好地理解、掌握和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，避免相異概念反復(fù)出現(xiàn)。

1.注重前延后連，串聯(lián)成線

教學(xué)《角的初步認(rèn)識(shí)》時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)找角、還角的環(huán)節(jié)：在信封里裝三個(gè)角（銳角、鈍角、直角），要求學(xué)生從中找到從長(zhǎng)方形紙上剪下來(lái)的角，還給長(zhǎng)方形。學(xué)生會(huì)在頭腦中比對(duì)哪個(gè)角比較合適。這不僅溝通了角和已學(xué)平面圖形的關(guān)系，且在無(wú)形中又一次滲透了角的大小比較。教師進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考：雖然直角都能和長(zhǎng)方形重疊起來(lái)，但是邊有長(zhǎng)短，這是為什么？學(xué)生再一次明確角的大小與邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。這樣能夠很好地溝通概念的前延后連，將零散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)成線，幫助學(xué)生深刻準(zhǔn)確地理解概念本質(zhì)，消除相異概念。

2.繪制思維導(dǎo)圖，聯(lián)結(jié)成網(wǎng)

思維導(dǎo)圖是一種梳理概念之間聯(lián)系、呈現(xiàn)思維過(guò)程的結(jié)構(gòu)圖。學(xué)生在繪制時(shí)不僅需要將頭腦中所學(xué)的單元內(nèi)容進(jìn)行收集、整理，還需要多方位分析這些概念的內(nèi)在聯(lián)系，理清概念脈絡(luò)，構(gòu)建出所學(xué)概念的全景圖。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能感知到自己對(duì)這部分概念的掌握程度，進(jìn)一步破除相異概念，內(nèi)化概念本質(zhì)，有效加深對(duì)所學(xué)概念的全面理解。

參考文獻(xiàn)：

[1]丁杭纓，張園.小學(xué)數(shù)學(xué)相異概念的診斷與教學(xué)研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

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[3]《概念公式定理解讀手冊(cè)》編寫(xiě)組.數(shù)學(xué)概念公式定理解讀手冊(cè)·高中分冊(cè)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2007.

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（浙江省杭州市余杭蔚瀾學(xué)校 ? 311100）