追求平均數的統計味

朱孟迪

【摘 ? 要】平均數作為一個統計量，是學生易學會用，但對其統計意義卻難以理解的一個數學概念。就統計的意義而言，學習平均數是學生第一次接觸“代表性”;就學生數感的發展而言，學習平均數意味著學生開始涉及虛擬數的理解。圍繞“代表”與“虛擬”展開教學，可以幫助學生更全面地認識平均數，進而積累數據分析的相關經驗。

【關鍵詞】平均數;代表;虛擬;統計

一、現象篇——學生之現狀

學生雖然沒有學習過平均數，但經常與“平均分”打交道，不少學生已經能用“求和平均”計算一組數據的平均數。但當問及平均數是不是平均分時，許多學生果斷地認為“是”。可見，學生頭腦中的平均數與統計視角下的平均數是有偏差的。

（一）誤把“平均數”等同于“平均分”

為了解學生的學習起點，上課之前，筆者對兩個班65位學生進行了前測，結果分析如表1。

史寧中教授指出，平均數的概念有兩個要點：第一，它代表一組數的整體水平。第二，它具有虛擬的特征。前測表明，學生簡單地將“平均數”等同于“平均分”，這是對平均數的一種片面的理解。學生對平均數具有的“代表性”和“虛擬性”一無所知。

（二）誤把“虛擬數”理解成“具體數”

為了解學生是否理解生活中的平均數，筆者設計了如下問題：“金灣小區有80戶家庭，共有私家車120輛，平均每戶家庭擁有1.5輛汽車。”看學生能否從以下兩個維度來回答問題：（1）代表性——能不能說出1.5輛代表金灣小區汽車擁有的整體水平;（2）虛擬性——能不能說出1.5輛不是一個真實的數據，是因為計算得不到整數的結果。訪談中，許多學生不理解1.5輛的真正含義，最多只能這樣解釋：1.5輛表示“1輛半”汽車。

通過前測、訪談與分析，筆者認為平均數是學生易學會用，但對其統計意義卻難以理解的一個數學概念——平均數代表一組數據的整體水平，是一個虛擬的數。

二、思考篇——學生之困因

（一）縱向——歷史原因

20世紀80年代以前，中小學數學課程中的平均數概念，常以典型應用題的形式呈現。隨著時間的推移，平均數作為統計概念進入小學課程。表2是筆者查閱的我國中小學教學大綱和課程標準中有關“平均數”的闡述。

由此可見，在小學對平均數的教學，經歷了縱橫兩個方向對算術平均數的深入。橫的方向是指平均數思想的發展，從利用平均數估計總數，到重復測量取平均數減少誤差，發展為平均數作為總體的代表值，實現了代數概念到統計概念的飛躍。因此，人們對平均數的認識，受著歷史的影響。

（二）橫向——教材原因

現行教材的編排是否基于“統計視角”呢？筆者查找了四套教材對“平均數的定義”，進行了整理對比（見表3）。

小學教材對平均數的定義以“描述性”居多，人教版、北師大版則關注“用哪個數字代表這組數據”的“找代表”的過程，有些教材還只停留在“算法理解”的層面上，沒有上升到“統計理解”的層次。這給學生真正領會平均數的統計意義帶來不利影響。

三、實踐篇——學生之體驗

平均數的教學應該包含以下內容：平均數的概念及蘊含的方法與應用;平均數的計算：總數除以總份數或者移多補少;平均數可以代表整體水平，可以用來比較兩組數的水平，具有統計價值。

（一）自主探索，“交流質疑”論虛擬

學生常以“超常發揮、正常發揮、失常發揮”來描述比賽。那么，如何判定是正常發揮呢？這就需要用一個數來代表一組數據，平均數的“代表性”就體現出來了;如果這個數沒有出來呢？平均數的“虛擬性”就呈現出來了。

【教學片段1】感知代表，初識虛擬

師：同學們請看，小紅在踢毽子，這時體育老師走過來問她：“小紅，你踢毽子的水平怎樣？”小紅看了看自己五次的成績，想：我該用哪個數來代表這五次踢毽子的水平？又該怎么回答老師呢？如果你是小紅，會怎么說？為什么？

生：5個，因為5出現了兩次。

生：6個，因為6是平均數。

師：可是6個沒踢出來，那不是騙人嗎？

生：她有這個水平，這是她的正常水平。

生：雖然這5次沒有踢出來，但這不代表她下一次踢不出來。

師：是呀！小紅的水平擺在那里，下一次很有可能踢出的個數就是6個。

學生圍繞“小紅該用哪個數代表這五次踢毽子的水平”展開討論與辨析，可以突出平均數的代表性。學生憑借自己的生活經驗，能想到用“最大數或最小數”來代表不合適，于是就會從5，6，7中選一個代表。選擇代表的過程，就是不斷辨析的過程。很多學生能借助“計算經驗”得到6個最合適。但“6”沒有踢出來，卻要用它來代表這一組數據的水平，顯然需要有更“合理的解釋”。此時，平均數“推斷分析”的功能就顯現出來了——下一次很有可能踢出的個數就是6個。

（二）借助起點，“自主探究”展虛擬

平均數是一個“虛擬”的數，所以平均數的獲得需要總數除以總份數或者移多補少。筆者通過前測與訪談知道多數學生能運用這兩種方法。因此，可借助學生的自主探究，展示這個虛擬數的“獲得”過程。

【教學片段2】基于起點，探究虛擬

教師把小紅五次踢毽子的結果制作成統計圖。請學生在圖上圈一圈，畫一畫，也可以寫一寫，算一算，表示自己的想法。學生獨立思考、探究。先完成的學生可與其他同學交流，接著全班進行交流。

生：（移多補少）把比6多的那些移給比6少的，不多不少，剛剛好。

生：（求和平均）（5+4+7+5+9）÷5=6。

實踐表明，學生能借助“移多補少”與“求和平均”來得到平均數這個“虛擬數”，通過同伴互助與講解，一些不會的學生也能很快領會這兩種方法。該過程很好地建立了平均數與平均分之間的聯系。

（三）數形結合，“變與不變”議虛擬

在教學中，應把抽象、靜態的數學問題設計成有形的活動。統計圖表的靈活使用能使學生的學習事半功倍。

【教學片段3】在“對比”中理解平均數的虛擬性

師：同學們請看（如右圖），這兒有7，這兒也有7，你認為這兩個7的意思一樣嗎？為什么？

生：一個是李雷真實的踢毽個數，一個是平均數。

師：看來，平均數與真實的數會有差別，所以，它常常借助這樣一條虛線。

將平均數與某個真實數據相對比，學生可以更客觀地認識平均數，感受平均數代表一組數據的“整體水平”，它是“移多補少”或是“求和平均”的結果。因此，它跟組內每一個數據都有密切的關系，它能代表一組數據的整體水平。

【教學片段4】在“數據變化”中理解平均數的虛擬性

師：（課件出示如下圖組）請看男生隊的成績。如果謝明明的成績變成了10個，你認為平均數會變嗎？怎么變？

生：（10+4+7+8+11）÷5=8。

生：10-5=5，5÷5=1，7+1=8。

師：看來，求平均數的方法還不止一種呀。如果劉東的成績變成6個，你又想到了什么？

……

小結：經過這兩次變化，你對平均數想說什么嗎？

生：只要一個數發生變化，平均數也會變化。

師：是呀，平均數非常敏感，會隨著某個數的變化而變化。如果再加一個同學陳明，相信平均數也會發生變化吧（出示7個）。平均數變了嗎？為什么又不變了呢？由此你想到了什么？

生：如果增加的數量與平均數同樣多，總的平均數還是不變的。

師：哦，原來如此。看來，變與不變還需要我們認真地分析數據呀。

平均數是進行統計分析和統計推斷時最常用、最主要的集中量數。實踐表明，學生理解平均數的敏感性、虛擬性并非易事。平均數的敏感性導致它易受極端數據的影響。教學中，直觀圖的呈現讓數據的變化更形象，透過平均數線的上下波動，學生在變與不變中再一次感悟平均數的虛擬性。

【教學片段5】借助小數，深化對平均數虛擬性的感悟

師：要是孫奇從4個變為5個，你覺得平均數會變嗎？

生：會變，變成7.2。

師：難道踢毽子的個數會是小數？有這么稀奇的事情嗎？

師：7.2個是他、是他（指名字）的嗎？那平均數代表的是什么？（整體水平）是呀，正因為這個平均數是我們算出來、想出來的，它代表這一組數據的整體水平，并不代表某個同學的踢毽個數，所以出現小數是正常的。

師：這讓我想到了一條曾讓我感到稀奇的信息。讀一讀這條信息：金灣小區住著80戶家庭，共有私家車120輛，平均每戶家庭擁有1.5輛汽車。現在，你會怎樣理解它？

生：1.5輛是金灣小區每戶家庭私家車擁有量的代表。

生：這個1.5輛不是真實的車輛，是算出來的，想出來的……

創設平均數是小數的情境，劃清虛擬數與真實數的界線，有利于學生加深對平均數虛擬性的理解。從實踐效果來看，學生對平均數的代表性與虛擬性的理解比較到位，能站在統計的視角分析數據、處理數據，進而更準確地描述生活現象。

教學“平均數”，應該引導學生站在統計的視角認識與理解平均數，幫助他們積累數據分析的相關經驗，不應該囿于怎樣計算平均數。透視“代表”與“虛擬”，可發現學生之“難”;詮釋“代表”與“虛擬”，可解學生之“難”。只有透析平均數的代表性與虛擬性，才能彰顯平均數的統計味。

參考文獻：

[1] 課程教材研究所.20世紀中國中小學課程標準·教學大綱匯編：數學卷[M].北京：人民教育出版社，2001.

[2]陳希孺.數理統計學簡史[M].長沙：湖南教育出版社，2002.

[3]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

（浙江省慈溪市崇壽鎮中心小學 ? 315300）