一道極坐標與參數方程高考題的教學設計*

廣東省韶關市仁化縣仁化中學(512300) 尹杰杰 劉雨昀

1 引言

極坐標與參數方程在歷年全國卷中是選做題, 分值10分,屬于中檔題.設置兩小問,第一問5 分,一般為極直互化或參數方程與普通方程互化,屬于簡單題.第二問5 分,一般考查以下幾種類型: 第一,極徑ρ的幾何意義與應用.例如:2015年全國I卷、2015年全國Ⅱ卷、2016年全國Ⅱ卷、2017年全國Ⅲ卷;第二,參數的幾何意義與應用.例如: 2018年全國Ⅱ卷、2018年全國Ⅲ卷;第三,直線與曲線的位置關系,利用點參法求最值.例如2016年全國Ⅲ卷、2017年全國I卷、2019年全國I卷;第四,利用極坐標或者參數方程求曲線的軌跡方程.例如2017年全國Ⅱ卷、2019年全國Ⅱ卷; 第五,利用分類討論思想求解.例如: 2018年全國I卷、2019年全國Ⅲ卷.

下面筆者通過對2019年數學全國I卷第22 題“極坐標與參數方程”進行例題教學設計及例題改編與變式.

2 例題教學設計

例題(2019 全國I卷)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(t為參數).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為

(1)求C和l的直角坐標方程;

(2)求C上的點到l距離的最小值.

師: 這是一個什么問題? 第一問主要考查什么知識點?解題的基本程序是什么?

(極參問題是學生掌握較好的題型,原因是模型單一,學生熟悉,旨在引導學生將解題思路調控進入自己熟悉的區域,也想進一步鞏固極坐標、參數方程、直角坐標方程的轉化的解題程序.)

生1: 這是一道極坐標與參數方程的題目,第一問主要是考查坐標系轉化和消參.首先通過x的等式,求出x的范圍,然后通過代入消元法消去參數t,化簡得到了缺了一個點的橢圓方程,然后利用公式對直線l的極坐標方程,轉化為直角坐標方程即可.

生1 解法: (代入消元法)

對于曲線C, 由題意知?1＜x≤1,所以因為所以得到把代入到有化簡得易知l的直角坐標方程為

師: 對于曲線C,除了代入消元法,還有其他方法嗎? 曲線C的結構有什么特征? (旨在引導學生觀察式子特征,并聯想到平方公式.)

生2: 可以通過觀察法,看出x,y式子的特征,發現分母都是1+t2,而分子是1?t2,4t,一個二次,一個一次,我們有等式(1+t2)2?(1?t2)2=4t2,故而可以想到通過平方的形式構造出與分母相關的完全平方式即可.

生2 解法: (平方消參法)

師: 此法是通過觀察式子特征,構造平方,從而大大減少了計算量,但是此法對學生核心素養要求較高,大多數學生無法想到.那我們是否還有它法求解呢? (學生激烈討論中)

師: 通過生2 的觀察法,是否發現曲線C的參數方程和某一類公式很像? (小部分同學說出答案)

師: 再看看x的取值范圍,和哪個函數的取值范圍很像?

生3: 三角函數,曲線C的參數方程結構很像萬能公式.

師: 很好,是通過萬能公式進行代換,請寫出你們的解答過程,生3 板演過程.

生3 解法: (萬能公式法)

因為?1＜x≤1,令代入可得化簡得所以

評析本問題的三種解法各有特色.代入消元法,思路清晰,容易落筆,但過程繁雜,計算量大;平方消參法,過程簡短,計算量小,但素養要求過高,學生思維定勢,不易想到;萬能公式法,是此類題型的通法,但教學過程中,由于大綱要求不高,故而對此法講解較少,學生掌握不熟練,易出現計算失誤.

師: 下面進行第二問,主要考查什么知識點,我們應該從哪里入手?

生4: 主要考查直線與曲線的位置關系,求曲線上的點到直線的距離最小值,利用點參法與點到直線的距離公式,然后通過輔助角公式,轉化正弦型函數求最值即可.

生4 解法: (點參法)

直線l的極坐標方程轉化為直角坐標方程為2ρcosθ+

得:

因為?π ＜θ ＜π,所以所以當且僅當,此時θ=有

師: 生4 主要通過點到直線的距離公式,進行求解.是否還有其他解法?

生5: 可通過設出與直線l平行且與曲線C相切的直線l1,然后聯立曲線C與l1,利用判別式求解即可.

生5 解法: (判別式法)

設與直線l平行的直線方程為故由題可知,當且僅當直線l1與曲線相切時,切點到直線的距離是最大或者最小值.聯立方程化簡可得4×4×(m2?4)= 0,得m=±4.顯然可知,當m=?4時, 直線l1與曲線相切的切點到直線l的距離最大, 故所以當m=4 時,直線l1與曲線相切的切點到直線l的距離最小,故

師: 本問是否還有其他解法呢?

師: 當我們對曲線的參數方程無從下手時,我們可以如何求解曲線上的點到直線的最小值呢? 我們是否可以不用化簡的參數方程求解呢?

生6: 硬解.

師: 是的,很好! 本問題還有一個暴力解法,就是直接將曲線C上的點設為然后通過點到直線的距離公式,變為一個關于參數t的式子,然后轉化為二次一次方程,利用判別式求出參數t的范圍,進而求出最小值.

生6 解法: (暴力硬解法)

設曲線C上的點M的坐標為則點M到直線的距離為

師: 通過以上解法,我們可以發現,本題主要體現了哪幾個數學核心素養? (同時引導學生總結以上方法.)

生: (齊答)數學運算和直觀想象.

評析本問一個是幾何法,兩個是代數法.幾何法過程簡潔,代數法,通法運算量大,但思路清晰,尤其在學習了解析幾何后,部分學生更熱衷于通過聯立方程求解.

本題主要考查學生對極坐標、參數方程與直角坐標方程的轉化,和利用橢圓的參數方程解決“距離”問題,難點在于參數方程的消參,對于分式消參,大多數學生方法掌握不熟練和運算能力不強, 以致于對難度較小的第二問沒有作答,從而導致失分嚴重.

高考試題一般是來源于教材,又高于教材.大多是依據課本例題、課后習題、探究問題等進行加工重組改編,由淺入深,循序漸進.本題中曲線C的參數方程就是人教B 版選修4-4 第二章第二節的課本里練習原題,這也透露出我們在備考過程中,不能忽視教材中的重點例題、練習、探究問題的復習回顧.

為了讓學生更好的掌握本題知識點,下面筆者對本題進行了適當改編.

改編1在其他條件不變的前提下,把第二問改為求直線上的點的坐標到曲線C 的最小值.

設計意圖: 原題求點距值最小值,改編之后,求取到點距最小值時點的坐標,這樣主要是讓學生更直觀清楚的知道點的具體位置,能更好的理解本題考查知識點,檢驗學生對例題的掌握程度.

解: (點參法)

直線l的極坐標方程為化為直角坐標方程為將曲線C化成參數方程形式為:(θ為參數,?π ＜θ ＜π),則曲線C上的點可以設為M(cosθ,2 sinθ),所以由點到直線的距離公式可得:

因為?π ＜θ ＜π,所以所以當且僅當此時有

改編2在其他條件不變的前提下,直線l的極坐標方程改為且C上的點到l的距離的最小值為求a.

設計意圖: 本題的改編與2017年全國理科I卷第22 題極為相似,通過逆向思維設問,引入參數a,考查分類討論思想與數形結合思想,可以很好的提升學生數學核心素養.

解: (點參法)

直線l的極坐標方程為化為直角坐標方程為將曲線C化成參數方程形式為:(θ為參數,?π ＜θ ＜π),則曲線C上的點可以設為M(cosθ,2 sinθ),所以由點到直線的距離公式可得:所以故當a≥0 時,有|?4+a|=7有, 解得a= 11, 或a=?3(舍去) .當a ＜0 時, 有|4+a|= 7 有, 解得a=?11, 或a= 3(舍去) .綜上可知,當a=11,或a=?11 時,C上的點到l距離的最小值為

下面再看三個與2019年全國1 卷相似度極高的變式練習.

變式1(2017 江蘇)在平面坐標系xOy中,已知直線l的參考方程為(t為參數),曲線C的參數方程為(s為參數).設P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值.

變式2(2017 全國I卷)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(θ為參數),直線l的參數方程為(t為參數).

(1)若a=?1,求C與l的交點坐標;

(2)若C上的點到l距離的最大值為√求a.

變式3(2016年全國III卷)在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(α為參數),以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為

(I)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;

(Ⅱ)設點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.

評析通過歷年高考題,我們不難發現在高考題中極參題目考查的知識點與題型相識度極高,由于篇幅有限僅列出以上三道高考真題,所以研究歷年高考題是我們一線教師把握高考動態方向最有效的方法.改編l 主要是讓學生更直觀清楚的知道點的具體位置, 能更好的理解本題考查知識點,檢驗學生對例題的掌握程度.改編2 引入參數a,其目的是使學生掌握分類討論思想,引導學生巧用橢圓的參數方程解決“距離問題”.增強數學能力和探究意識.提高學生數學核心素養.兩個改編,三個變式層層深入,這無疑是本節課的一個亮點,給學生提供了良好的探究情境,促進學生主動學習.通過以上改編和變式,我們可以啟發學生理解數學本質,掌握數學思想.因為在學生的“最近發展區”設計恰當的具有針對性、符合本節課程要求的改編題目,并給給學生提供了探究和交流的機會,讓學生在自主探究、合作交流的過程中提升數學核心素養.

3 總結與反思

本節課例題第一問主要是極參與直角系轉化問題,第二問主要是直線與橢圓的位置關系問題求距離.一方面考查了學生對極坐標與參數方程的基礎知識掌握程度,另一方面考查了學生數學運算與邏輯推理素養,培養了學生數學問題的探究意識.例題的難點主要體現在消參與參數范圍的確定.所以本例題的教學設計思路也是根據學生的最近發展區,引導學生思考,循序漸進、層層深入,強化學生的基礎知識和基本技能,培養學生系統歸納知識的能力,增強探究問題的意識,符合學生的思維發生發展過程.

在教學過程中,與學生交流互動,為學生創設輕松的學習環境,通過設問的形式,對數學的思想方法進行了適當的引導,使得學生在解題的過程中,能發散思維,一題多解,幫助學生理解知識的橫向聯系、縱向發散.通過在多解中求簡、在修正中優化,能夠讓學生體驗解決問題的思維過程,將能力的提高落到實處,可以很好地提升學生的數學核心素養.

本節課在引導學生思考時,既從代數法,又從幾何法兩個方面著手,學生有章可循,這樣能夠激發學生的學習熱情,拓展學生的思維,提高教學效率.同樣,本節課也存在以下幾點需要改進的地方: 第一,課堂容量較大,難以關注到全體學生的習得情況;第二,引導較多,可采用互助學習小組合作討論的方式進行部分數學活動等.縱觀整堂課,雖然存在個別不足之處,但是整體來說,亮點較多,同時能很好的培養學生的數學核心素養,所以仍是一堂非常成功的課.