基于“一題一課”的微專題復習課探究與再生長*
——以“二次函數下的線段長度與和差最值綜合問題”為例

廣東省中山市坦洲中學(528467) 郭日康

廣東省中山市坦洲實驗中學(528467) 李偉紅

生成教學是近年課堂教學改革所倡導的新型教學形態,相對于傳統預成教學,是一種集開放、互動、個性及動態于一體的多元化教學形式[1].數學微專題復習課是初中數學專題復習教學的重要組成部分,是學生知識的升華、生長和能力的提升,也是方法的提煉、總結以及思維能力的培養和發展學生數學核心素養的重要陣地.在一次教學研討活動中,筆者以“二次函數下的線段長度與和差最值綜合問題”為內容,以“一題一課”為載體,執教了一節微專題復習課.利用具有知識生成邏輯的“問題串”加深拓寬學生對二次函數下的線段長度與和差最值綜合問題的理解及應用,讓學生在數學活動中通過經歷、體驗、內化,力求突出中考疑難問題復習教學中的系統性、縱深性、生成性.促進了學生函數建模、數形結合、化歸轉化、分類討論等數學思想方法及數學素養的形成,取得了較好的效果.現將本節課的教學實錄與思考整理成文.本文嘗試從初中數學微專題復習課的教學維度,談談“一題一課”微專題復習課探究與再生長的實踐與思考.

1 教學簡錄

1.1 引例鋪墊,積累求線段長度及線段和差最值的解題經驗

引例1“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”,這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩.而由此卻引申出一系列非常有趣的數學問題,通常稱為“將軍飲馬”.

師: 請根據以內容,自編數學問題,并用數學語言進行問題描述.

生1: 如圖1,將軍在圖中點A處,現在他要帶馬去河邊l喝水,之后返回軍營B處,問: 將軍怎么走能使得路程最短?

師: 能否將問題再簡化?

生1: 如圖2,在直線上找一點P使得PA+PB最小?

師: 如何確定點P? 依據是什么?

生1: 如圖2,作點A或點B關于l的對稱點,連接對稱點與另一點交l于點P,則點P為所求作的點.依據為軸對稱及兩點之間線段最短.

師: 不錯.同學們還有其它自編的數學問題嗎?

生2: 如圖3,在直線l上求作點P,使|PA ?PB|最大.

師: 如何確定點P? 依據是什么?

生2: 如圖3,連接A、B交l于點P,則點P為所求作的點.依據為三角形兩邊之差小于第三邊.

生3: 如圖3,在直線l上求作點P,使|PA ?PB|最小.

師: 很好.同學們發揮了自己豐富的想象力.接下來請大家一起完成以下在平面直角坐標系下的變式:

變式①: 如圖4,在平面直角坐標系中,A(0,3)、B(1,0),直線l:x= 2,請在直線l上找點P,使得PA+PB最小,并求出點P的坐標.

變式②: 如圖4,變式①中的條件不變,請在請在直線l上找點M,使得|MA ?MB|最大,并求出點M的坐標.

變式③: 如圖4,變式①中的條件不變,請在請在直線l上找點N,使得|NA ?NB|最小.

教學分析引例1 通過以“將軍飲馬”問題為情境,讓學生感受生活處處有數學,從而激發學生的學習興趣,在探尋路程最短過程中經歷現實問題數學化的過程,同時從問題中抽象出兩個數學基本模型,理解模型本質(讓學生發現求兩線段之和最小值與之差最大值的基本策略是確定哪兩個是定點、哪一個是動點,對稱軸是哪一條),體現模型思想.在模型提煉過程中,學生感受到“化折為直”的思想.

引例2如圖5, 在平面直角坐標系中, ①已知A(0,3)、B(0,?2),則AB=____.②已知C(?2,0)、D(3,0),則CD=____.③已知E(2,4)、F(2,1)、G(2,?3), 則EF=____,EG=____,CE=____.

變式①: 已知M(m,2)、N(n,2),則MN=____.

變式②: 已知K(2,m)、Q(2,n),則KQ=____.

變式③: 推廣: 已知A(xA,yA)、B(xB,yB), 則AB=____.

教學分析引例2 復習在平面直角坐標系下的線段長度求法.通過歸納變式①②其線段長度的規律“平行于坐標軸的線段長度等于其端點橫(縱)坐標之差.變式③歸納平面直角度坐標系下的任意兩點間的距離求法(構造Rt?結合勾股定理求線段長度).幾乎所有二次函數的疑難問題都與線段的長度有關,所以引例2 的解決與否是后面的深入學習關鍵.同時,類比引例2 的①②③,得到變式①②③的結論,由特殊到一般的過渡,體現了數學知識間的內在聯系,滲透由特殊到一般的數學思想方法.

引例3如圖6,P為∠AOB內一點,在OA、OB上分別取點M、N,使得?PMN周長最小.

教學分析引例3 屬于“一定兩動”模型: 分別作點P關于OA(折點M所在直線)、OB(折點N所在直線)的對稱點,化折線段PM+MN+NP為P′M+MN+NP′′,當P′、M、N、P′′共線時,?PMN周長最小.解決“一定兩動”模型的難點,為后面學習打下基礎.

1.2 問題探究,體驗二次函數下的線段長度與和差問題探求

例(原創)如圖7,已知拋物線y=+bx+c經過點D與x軸交于點A(4,0)、B(1,0),與y軸的另一交點為C、D為拋物線的頂點.

問題1根據圖7,你能得到哪些結論? 請與同伴交流.

問題2求拋物線的解析式.

生3: 利用代入法, 將點A(4,0)、B(1,0)代入解析式求解.

生4: 利用交點法, 由y=a(x ?4)(x ?1), 再結合a=得到解析式.

生5: 結合圖像,可得對稱軸為x=,所以b=,再將點A或點B坐標代入得到c=?2.

師: 非常棒.同學們分別利用3 種求解析式的方法,體現了同學們思維的廣闊性.

師: 請嘗試完成: 點C的坐標是____,拋物線的頂點D坐標是____,拋物線的對稱軸是____,AC=____.

問題3求直線lAC的解析式.

問題4如圖8,設點E為x軸上一動點,當AE=CE時,求點E的坐標.

師:E的坐標有什么特征?

生6:E在x軸上,所以E的縱坐標為0.

師: 如何求出E的橫坐標?

生7: 可設E(a,0),用含a式子表示出AE2與CE2,再根據等量關系可求解

教學分析問題1-3 引導學生對二次函數圖象的形狀、性質等知識進行提取、反思、加工.使學生進一步加深對二次函數解析式、對稱軸等理解.問題4 引導學生從E的坐標有什么特征著手,培養學生的方程思想.

問題5如圖9, 在對稱軸l上是否存在點K, 使KB+KC的值最小.如存在,求出點K的坐標?

師: 如何確定點K的位置?

生8: 根據引例的經驗,當K在直線lAC與對稱軸l交點處時即為所求.

師: 如何求出點K的坐標?

生9: 由此前直線lAC的解析式,結合對稱軸代入,可得

師: 接下來請同學們完成:

變式①: 在對稱軸l上是否存在點N,使?NBC的周長最小.

變式②: 在y軸上是否存在點G,使得GD+GB的值最小.

問題6(2019年安順中考改編)

在對稱軸l上是否存在點M, 使|MB ?MC|的值最大.

教學分析問題5 與變式①②將“將軍飲馬”在二次函數中的深化與應用.問題6 是引例在二次函數中的深化與應用.題目的選擇由淺入深,具有層次性,這是為了面向全體學生.進行“題組”訓練,是為了體現漸進性原則,加強復習的有效性.

1.3 深化拓展,領悟數學思想方法和提升思維品質

問題7(2019年自貢中考改編) 如圖10,P為直線lAC上方拋物線上一動點,且與點A、C不重合, 過點P作y軸的平行線交直線lAC于點H,當PH的值最大時,求P的坐標.

師: 請思考: 當P在什么位置時,PH的值最大.

生10: 我感覺P在頂點處時PH的值最大.

師: 為什么? 這個結論對嗎? 我們不妨借助幾何畫板,(打開幾何畫板)如圖,拖動點P,度量出PH=yP ?yH,我們不難發現P在頂點處時PH的值并不是最大的.那么我們該如何求出PH的最大值.

生11: (簡略)由PH=yP ?yH,設P的橫坐標為a,用關于a的二次函數式表示出PH,再利用二次函數的性質求出PH最大值及點P坐標.

師: 同學們能否根據圖10,結合平時做題經驗,自編一道與問題7 背景有關的變式題并完成變式,再與你的同伴互換批改.

生12: (思考后展示)如圖10,P為直線lAC上方拋物線上一動點,求S?P AC的最大值,并求此時點P的坐標.

師: 很好.請展示你的解答.

生12: (簡略)將S?P AC分成S?P HA與S?P HC,以PH作為兩三角形的底解決.將S?P AC用PH表示,構建關于a的二次函數并求該二次函數的最值.

教學分析問題7 重點引導學生將線段最值轉化為二次函數最值問題,體現了由形到數的數形結合思想.問題7 變式是問題7 的深化,將面積→PH式子→PH長度的二次函數→求二次函數最大值.進一步滲透轉化化歸數學思想.

問題8(2019年襄陽中考改編)如圖11,P為直線lAC上方拋物線上一動點,求點P到直線lAC的最大距離.

師: (引導)要解決本問題,首先要?

生13: 作出P到直線lAC的距離.過點P作PF⊥AC交AC于點F.

師: 能否像問題7 那樣求出PF最大值?

生14: 不能,因為PH ?=yP ?yF.

師: (引導)如何求求出PF最大值?

學生陷入沉思——

師: (引導) 借助幾何畫板, 拖動點P, 度量∠HPF與∠OAC,發現兩角相等.

生15: (頓悟并搶答) 由∠HPF= ∠OAC,得到?HPF∽?CAO, 結合, 當PH最大時, 得到PF最大.

問題9(2019年淮安中考改編)如圖12,K′為拋物線上一點,其坐標為(2,1),Q為線段AK′上一動點,過點Q作x軸的垂線,垂足為Q′,當QK′=QQ′時,求QQ′的長度.

師: (引導)請大家回憶在我們初中階段,求線段長度主要有什么方法?

生16: 主要有勾股定理、距離公式、三角函數、相似比.

師: 非常棒! 請同學們思考本問題的解決用什么方法最佳? 并與你的同伴交流.

生17: (思考后展示,簡略)如圖12-1,過點K′作x軸的垂線,垂足為G,由相似?AQQ′∽?AK′G對應邊的成比例,即,進而得到QQ′的長度.

教學分析問題8 需解決兩個問題: ①作出點到直線的距離PF; ②如何求出PF最大值.突破點難找,這時借助幾何畫板,拖動點P,度量∠HPF與∠OAC發現角相等,引導學生有困難用相似去解決.培養學生的數學直觀想象素養.問題9 是問題8 的深化.結合勾股定理求出AK′,構造相似三角形,得到對應邊的成比例進而求長度.培養學生的數學建模思想.

問題10(2019年湘西州中考改編) 如圖13, 已知R(2,0),S(2,1), 四邊形RSTU為矩形,V為TU的中點.I、J分別為x軸、y軸上的動點.求四邊形SV IJ周長的最小值.

師: (引導) 由CSV IJ=SV+V I+IJ+SJ, 因為SV為定值, 所以只需求V I+IJ+SJ的最小值.如何求V I+IJ+SJ的最小值?

生18: (思考后展示)根據引例3 的“化折為直”的模型,分別作出S、V關于x軸、y軸的對稱點S′、V ′,如圖13-1,可求得四邊形SV IJ周長的最小值為S′V ′,再由S′、V ′的坐標求線段S′V ′的值.

教學分析引導學生如何運用引例3 作出對稱構造線段.使知識發生遷移,成為新的知識的生長點與固著點.本題以知識遷移為前提,引導學生數形結合,將數的問題轉化為形的問題,不僅能讓問題簡化,而且能培養幾何直觀的意識.

問題11如圖14,在拋物線的對稱軸上是否存在點L,使得?LAC是以AC為底的的等腰三角形.如存在,求出點L的坐標,如不存在,請說明理由.

師: 請大家獨立思考,然后將自己的想法進行小組討論.

生19: (簡略)由AL=CL,可知L在線段AC的中垂線上,作線段AC的中垂線交對稱軸于L,則L為所求的點,設由AL=CL,建立關于a的方程求解.

變式: 如圖14,在拋物線的對稱軸上是否存在點N,使得?LAC是以AC為斜邊的直角三角形.如存在,求出點N的坐標,如不存在,請說明理由.

師: (引導)如何作出滿足條件的點N,作出點N的突破口在那里? 這樣的點N有幾個? 如何求點N的坐標?

生20: 突破口在∠ANC=90°,由直徑所對的圓周角為90°,以AC為直徑作圓(如圖14-1),圓與對稱軸的兩個交點即為符合條件的點N.

教學分析問題11 及其變式主要滲透數形結合、轉化、分類討論、方程的思想方法讓學生體驗二次函數下的特殊三角形這一中考難點問題可利用線段長度及勾股定理等知識去解決,重點是學會分類討論.體驗知識的發生與應用過程,發展學生的思維.與此同時,當學生的思路受阻時,教師適當地利用幾何畫板進行點撥,把抽象的知識直觀地展現,引領他們從感性認識上升到理性思考.激發學生的學習興趣、探求欲望,落實學生主體地位.

2 教學思考

一題一課式的微專題復習課是專題復習一種有效形式.縱觀本節復習課,利用具有知識生成邏輯的“問題串”加深拓寬學生對二次函數下的線段長度與和差最值綜合問題的理解及應用,讓學生在數學活動中通過經歷、體驗、內化,力求突出中考疑難問題復習教學中的系統性、縱深性、生成性.促進學生函數建模、數形結合、化歸轉化、分類討論等數學思想方法及數學素養的形成,取得了較好的效果.

2.1 讓學生歷經知識建構與生長,有效實現知識梳理

本節課,筆者以一個簡單的二次函數圖象作為由生長源,由這個元問題出發,基于基礎與經驗,在解決問題過程中不斷產生新問題,通過系列“問題串”加深拓寬學生對二次函數下的線段長度與和差最值綜合問題的理解及應用,不斷生長新的數學知識、方法、思維、經驗.與此同時,教師改變復習課“講題+做題”的格局,給予學生自主生長的時間空間與表達機會,讓學生經歷知識自主建構、方法感悟提煉、經驗不斷積累、思維不斷提升的過程[2].

2.2 實施漸進式探究,發展學生深度學習的高階思維

本節課通過引例鋪墊,在積累求線段長度及線段和差最值的解題經驗基礎上,由一個簡單的二次函數圖象,開放設問,實施漸進式探究,共設10 個探究問題及5 個變式,逐步添加條件衍生問題,引導學生經歷圖形由簡到繁,問題由淺入深的攀登過程.在這個過程中,教師要深層次地尋覓思維活動軌跡,高標準地架設知識生長結構,才能教給學生具有生長力的數學,數學教學才能迸發出生命力量[3].數學深度學習需要在教師的引領下,學生圍繞具有挑戰性、真實性的數學學習主題,全身心積極參與、獲得發展.在這探究的過程中,問題6-10 及其變式融合了五地中考試題及其改編,它們形成了一個系統的知識體系與結構,是觸及學生數學知識底部和本質的學習,探査數學知識間相互關聯,基于理解之上更多關照分析、評價與創造層面的高階思維的學習,進而發展學生的數學素養.

2.3 拓展數學探究與知識再生長載體與方式,助推知識與素養內化

以“知識盤點+知識運用”的方式呈現,立足于“知識+技能”的復習課在當下仍不少見,此類課往往較少關注思想、方法和知識的本源.本節課,筆者利用幾何畫板的支撐下的深度學習使過程更加生動、直觀、形象,使處于從具體形象思維到抽象思維過渡時的學生能更好地觀察動態問題中變與不變的量.對知識的生成及數學的本源進行了呈現,讓學生領悟到問題的本質,提升了數學核心素養.如問題7 中的求PH的值最大問題時,通過幾何畫板中度量PH的長度及改變P的位置,破解學生的認識誤區.問題8 借助幾何畫板,拖動點P,度量∠HPF與∠OAC,發現兩角相等從而得到相似.問題11 利用幾何畫板使能有效地實現分類討論,準確而全面地找出相關符合條件的點,化抽象為具體,呈現知識的生成與本源,滲透了轉化與化歸、數形結合等數學思想方法,拓展了學生數學學習路徑,加深了學生的數學理解,提升學生的數學素養.

3 結語

教育的出發點與落腳點就是讓學生經歷一種成長、見證一種成長[4].專題復習要精心選題,開放設問,串聯知識,關聯與變式探究,內化辦法,深化拓展,提煉思維,力求突出中考疑難問題復習教學中的系統性、縱深性、生成性.促進學生函數建模、數形結合、化歸轉化、分類討論等數學思想方法及數學素養的形成.與此同時,要從深度學習的角度切入,將信息技術(如幾何畫板等)與內容進行深度整合,還原知識的本源與生長,從而提升學生的數學核心素養.