基于變式教學的數學抽象核心素養的培養*
——以曲線的參數方程概念教學為例

廣東省中山市中山紀念中學(528454) 樊 彪

2017 版課程標準凝練提出了數學學科的6 個核心素養,即數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.其中數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象,得到數學研究對象的素養.數學抽象主要表現在四個方面: 形成數學概念和規則,形成數學命題與模型,形成數學方法與思想,形成數學結構與體系,是數學最本質的屬性之一.而變式就是在引導學生認識事物屬性的過程中,不斷變更所提供材料或事例的呈現形式,使本質屬性保持穩定而非本質屬性不斷變化,從而更好的認識事物本質屬性的方式.在數學概念的教學中,如果我們能夠恰當的運用變式教學,則無疑有利于培養學生的抽象素養.

數學概念是數學知識系統中最基本的重要組成成分,是數學思維的單元和細胞,也是學生學習數學的重要基礎.學生數學學習程度的好壞,首先在于數學概念的理解與掌握程度.因此如何加強學生對數學概念理解與應用成為擺在教師面前的迫切任務,而提升概念教學,其中最有效的辦法是抓住數學核心概念的教學,利用好概念性變式教學,讓學生充分體驗數學抽象的完整過程,熟悉數學抽象的基本手段.

數學概念的學習可分為兩種基本形式: 一是概念形成;二是概念同化.概念性變式在教學中的主要作用是通過各種概念變式之間、以及概念變式與非概念變式之間的差異與聯系來把握概念的內涵與外延,實現對概念的多角度理解.數學概念變式主要包括概念的引入變式、辨析變式、深化變式和鞏固變式.

下面以曲線的參數方程這一核心概念的形成為例來說明如何進行概念的變式教學,達到培養學生的數學抽象核心素養的目的.

1 概念的引入變式

我們之前學習過曲線的方程,請同學們思考并解決以下問題:

1.如圖, 一架救援飛機在離災區地面500m 高處以100m/s 的速度作水平直線飛行.從飛機上投下一救援物資,請確定t(0 ≤t≤10)秒后該物資的位置.

2.位于中山市興中廣場上的幻彩摩天輪,是岐江河上一道靚麗的風景.已知該摩天輪半徑為42 米,每秒逆時針轉動弧度.如圖所示,某游客現在P0點(其中P0點和轉軸O的連線與水平面平行).問: 經過t秒,該游客的位置在何處?

給出上述兩個問題的目的: 引導學生建立平面直角坐標系,把實際問題抽象到數學問題并加以解決:

1.通過生活中的實例和具體的情景,引發學生研究的興趣;

2.通過解決問題明確學習參數方程的現實意義;

3.通過對問題的解決,使學生體會到僅僅運用一種方程來研究往往難以獲得滿意的結果,從而了解學習曲線的參數方程的必要性;

4.通過具體的問題,讓學生找到解決問題的途徑,為研究圓的參數方程作準備.

通過同學們分組討論,歸納以上兩個例子的共同點,初步形成曲線參數方程的概念.這個過程充分體現了用數學的眼光觀察世界,用數學的思維分析世界,用數學的語言表達世界.學生們有了充分的感性認識后,正式給出曲線的參數方程的定義:

(i)一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線C上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數

并且對于t的每一個允許值,由方程組①所確定的點P(x,y)都在這條曲線C上,那么方程組①就叫做這條曲線的參數方程.變數t叫做參變量或參變數,簡稱參數.

(ⅱ)相對于參數方程來說,直接給出曲線上點的坐標x、y間關系的方程f(x,y)=0 叫做曲線的普通方程.

2 概念辨析變式

曲線的參數方程這個概念比較復雜,同學們可能一下子很難完全理解,為此,最好的辦法就是在引入概念后,通過一些簡單具體的例子對概念進行理解和辨析,為此設置如下:

例1曲線C的參數方程為t為參數

(1)判斷點M1(0,1)、M2(5,4)是否在曲線C上;

(2)已知點M3(6,a)在曲線C上,求a的值.

再一次通過具體的例子感受參數方程的形式,以及在參數方程下點和曲線的關系,加深對參數方程的認識.

例2判斷以下方程是否為參數方程? 它們表示什么曲線?

(1)x2+y ?4=0,(2)kx ?y+1=0,k為參數

例2 給的是反例變式,通過反例變式學生可以進一步明確了參數方程概念的外延和內涵,體現了由抽象到具體的過程.

3 概念深化變式

在概念引入例子的基礎上,我們可以進一步抽象出圓的參數方程.

例3寫出圓x2+y2=r2的參數方程.

如圖,由摩天輪的引例不難想到,圓x2+y2=r2可以看作質點P以OP0為始邊繞著點O按逆時針方向繞原點以勻角速度ω作圓周運動,則質點P的坐標與時刻t的關系由任意角三角函數的定義可知:

點P的角速度為ω,運動所用的時間為t,則角位移θ=ωt,那么方程組①可以改寫為何種形式?

結合勻速圓周運動的物理意義可得:

在以上基礎上,我們可以從以下幾個方面對曲線的參數方程的概念進行深化理解:

①參數方程的形式

橫、縱坐標x、y都是變量t的函數,給出一個t能唯一的求出對應的x、y的值,因而得出唯一的對應點;但橫、縱坐標x、y之間的關系并不一定是函數關系.

②參數的取值范圍

在表述曲線的參數方程時, 必須指明參數的取值范圍;取值范圍不同,所表示的曲線也可能會有所不同.為此,可以設置如下問題:

例4判斷以下方程是否為參數方程? 它們表示什么曲線?

③參數方程與普通方程的統一性

普通方程是相對參數方程而言的,普通方程反映了坐標變量x與y之間的直接聯系,而參數方程是通過變數t反映坐標變量x與y之間的間接聯系;普通方程和參數方程是同一曲線的兩種不同表達形式;參數方程可以與普通方程進行互化:

④參數的作用

參數作為間接地建立橫、縱坐標x、y之間的關系的中間變量,起到了橋梁的作用.

⑤參數的意義

如果參數選擇適當,參數在參數方程中可以有明確的幾何意義,也可以有明確的物理意義,可以給問題的解決帶來方便.即使是同一條曲線,也可以用不同的變數作為參數.如圓的參數方程中的參數t和θ.

通過多角度,正反面全方位的對概念進行深化辨析,使得抽象的概念更加明晰.在這一過程中,學生形成對此類問題的一般性思考的習慣,逐漸培養數學抽象素養.

4 概念應用和鞏固變式

為了進一步鞏固概念,可以設置如下問題:

例5炮彈的發射角為α,發射的初速度為v0,求彈道曲線的方程(不計空氣阻力).

此問題也是引例中拋物線的參數方程的進一步深化,通過此問題達到對概念的進一步應用和鞏固.

作為一堂概念課,學生對于概念的理解必須精確、深入,為后續課程打下扎實的基礎,因此教師必須在概念課教學這一環節進行深入的分析.本節概念課設計利用變式教學的思想由特殊到一般,從具體到抽象,以“引導設問”為主線,給學生搭建腳手架,在曲線的參數方程的概念引入之后,結合實例和圓的參數方程從參數方程的形式、參數的取值范圍、參數方程與普通方程的統一性、參數的作用以及參數的意義等方面進行深入的理解與探討.通過概念的標準變式和非標準變式,反例變式等環節,使學生活躍的思維逐步從感性上升到理性并且對于概念的理解得到鞏固與深化.通過教師步步引導讓學生體驗知識產生的原因,發展的過程及其應用的價值.學生通過對問題的思考和解答,體驗學習過程,自主探索和獲取知識,同時在探索的過程中也提高學生的數學抽象思維能力,體會到數學抽象形成的一般過程,從而提高數學抽象核心素養.