波流聯(lián)合作用下深海垂直桿件三維振動響應分析

劉浩宇，唐友剛，李 焱，曲曉奇

（天津大學a.建筑工程學院；b.水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津300072）

0 引 言

垂直桿狀結構被廣泛地應用于海洋工程領域，如深海立管、張力腱等，該結構安裝在水深1 000 m以上深水中，遭受波流和頂部浮體（平臺本體）的升沉作用。隨著水深的增加，該類結構的安全性和穩(wěn)定性問題越來越突出。其中，桿件的參激-渦激聯(lián)合振動問題尤其吸引了人們的關注。本文將此類結構抽象為統(tǒng)一的力學模型，即遭受波流和頂部浮體升沉作用的深海桿件來進行研究。

桿狀結構在流場中會與尾流產生相互作用，產生渦激振動，渦泄頻率滿足斯特羅哈爾關系。當渦激振動頻率接近桿件振動固有頻率時，斯特羅哈爾關系不再適用，渦泄頻率會被“鎖定”（lock-in）在桿件固有頻率附近，并伴隨大幅諧振，即“鎖定（lock-in）效應”，這類問題已經被廣泛關注[1-3]。

近年來國內外學者針對深水桿件的渦激振動問題進行了實驗研究和理論分析。Lie[4]在挪威深水碼頭進行了大尺度立管渦激實驗，對立管順流和橫流兩個方向振動進行了觀測研究。Dong等[5-6]研究了波流聯(lián)合作用下張力腿的渦激非線性振動，并分析了渦激頻率接近張力腿固有頻率時，桿件振動的穩(wěn)定性問題，研究表明，隨著阻尼減小和升力系數增大，系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定，結果中出現(xiàn)多解區(qū)域，并伴隨有跳躍現(xiàn)象。

當桿件頂端的平臺浮體發(fā)生升沉運動時，桿件會受到軸向動力激勵，這種激勵被稱為參數激勵。由于參數激勵引起的運動邊界的非線性[7]，桿件的渦激振動會變得更加復雜[8-9]。Chatjigeorgiou 等[10]研究了簡諧參數激勵對垂直桿件橫向振動的影響，研究表明，參數激勵激發(fā)新的不穩(wěn)定區(qū)，非線性阻尼無法有效地抑制橫向振動失穩(wěn)的發(fā)生；Lei 等[11]采用頻域方法，求解了變張力和波浪力聯(lián)合作用下立管的橫向振動方程，發(fā)現(xiàn)了參數激勵的存在會對立管的波浪激勵響應產生影響；唐友剛等[12]考慮了立管頂端的動邊界條件，建立了頂張力立管模型，研究了其參激-渦激耦合振動的動力特性，發(fā)現(xiàn)橫向振動響應頻率中，存在1/2 倍參激亞諧成分；張杰等[13-15]針對深海立管受到參激作用時，深海立管的固有振動特性、穩(wěn)定性以及多模態(tài)耦合特性展開一系列的研究，結果表明，在參數激勵作用下，立管固有振動特性發(fā)生改變，不穩(wěn)定區(qū)域增加。

目前的研究工作，一般是考慮渦激振動或者渦激振動及參激振動，即研究桿件的二維振動。本文綜合考慮波流向、渦激方向及參數激勵方向，建立深海桿件的三維振動方程，針對桿件不同的頂端邊界條件和環(huán)境條件，分別對立管波激-渦激振動和波激-參激-渦激聯(lián)合振動進行數值模擬。采用數值解法對方程進行求解，分析了深海桿件在波流和參激作用下的振動特性。

1 深水桿件三維振動方程的建立

本文基于Han等[16]提出的柔性梁非線性振動模型，如圖1所示，將桿件等效為柔性等截面梁，長度為L。桿件頂端受到x 方向張力NT= N0+ N，N0為預張力，相應的預應變用ε0表示，N 為動張力，NT表示參激作用力，桿件底端與海底鉸接。

圖1中，OM = s，M點的位移向量在x、y和z方向的投影分別為u、v和w，滿足：

圖1 垂直桿件理論模型Fig.1 Theoretical model of vertical flexible beam

圖2 桿件局部變形示意圖Fig.2 Local deformation of vertical flexible beam

假定軸向變形與彎曲變形均不可忽略，且滿足：

忽略桿件的剪切應變，將式（2）代入格林應變公式，有

根據Hamilton原理，有

式中的拉格朗日函數Lan表達式如下：

即

桿件的應變能EP為

桿件的動能Eκ為

式中，IZ和IY為截面慣性矩，IYZ為截面慣性積。

外力虛功δW為

式中，fu為桿件在水中軸向單位長度的重量，fv和fw分別為作用在桿件單位長度上的波流力和渦激升力。

將式（9）～（11）代入式（6）化簡后，得到

式中：ρ為桿件密度；A 為橫截面面積；EA 為軸向剛度；EI為彎曲剛度；u'、u″和u″″為u對桿長s的一次、二次和四次導數¨和分別為u、v和w對時間t的二次導數。

考慮桿件下端為簡支，得到桿件下端的邊界條件如下：

2 環(huán)境載荷

桿件受環(huán)境載荷示意圖如圖3 所示。波浪和流場沿y 軸負方向，波浪為Airy 波，波幅Aw，波頻ω；海流采用剪切流模擬，表面流速為U0，不同水深處的流速為U - U0( )1 - x/L ；渦激力沿z 軸方向；重力G 沿x軸負方向，頂端參激力NT沿垂向作用。

根據Airy 線性波理論，波浪場中水質點速度滿足：

圖3 桿件環(huán)境載荷示意圖Fig.3 Environment load on the beam

式中，h為水深，k為波數，ω為波頻，滿足色散關系：

采用Morison 方程來表示海流和波浪在y 方向產生的非線性力：

式中，AI= πρD2/4，AD= πD/2，D 為桿件外徑。CD為拖曳力系數，CA為附加質量系數，CM為質量系數；V˙w為波浪加速度在垂直于桿件軸向方向的分量，r¨為桿件振動加速度在垂直于桿件軸向方向的分量。桿件z向的渦激升力按照下式計算：

式中：CL為渦激升力系數，這里取0.3；ωvor為渦泄頻率，滿足ωvor= St ?V/D，St為斯特羅哈爾數，取0.2；φ取180°。

假定桿件全部浸沒在水中，單位長度桿件的濕重為m，則桿件在x向受到的單位長度重力為

將式（18）代入式（19）～（20），可以求得桿件的激振力，考慮邊界條件式（13）～（17），求解式（12），可以得到桿件任意時刻波流和渦激力共同作用下的三維振動響應。

3 算例分析

本文選取深水垂直桿件的參數如表1所示。

表1 桿件參數Tab.1 Main parameters of the beam

3.1 流速對桿件振動的影響

不考慮參激作用，取式（15）中動張力N=0，NT=N0。規(guī)則波波浪周期為5.88 s，波高為5 m，表面流速從0.1 m/s 到1.0 m/s 變化，計算桿件在波、流和渦激作用下的振動響應。桿件中點振動響應幅值統(tǒng)計結果如表2 所示，從表中可以看到，隨著流速的增加，流力增大，桿件在波流作用下，拖曳力方向的振幅和平衡位移逐漸增大。其中，平衡位移主要受流力作用，所以增幅較大，而振幅受波激力幅值影響，所以增幅不大。在軸向和渦激振動方向，表面流速為0.4 m/s 和0.9 m/s 時，振幅較大，根據斯特羅哈爾關系可以計算出，在該表面流速下，中點渦激頻率分別為0.16 Hz和0.36 Hz，接近立管振動的前兩階固有頻率。

表2 各流速下桿件中點振幅統(tǒng)計Tab.2 Maximum middle point amplitudes under vortex-induced excitation

流速為0.4 m/s 時，桿件中點軸向振動時歷曲線和能量譜如圖4 所示，該方向振動含有多個頻率成分，其中，Ω =0.043 6 Hz，為軸向固有振動頻率，圖中，ω1=0.010 67 Hz=1/4Ω，ω2=0.0213 Hz=1/2Ω，說明由于結構的非線性特性，中點處軸向振動存在1/2和1/4亞頻諧振。

流速為0.4 m/s 時，桿件中點在拖曳力方向的振動時歷曲線以及能量譜如圖5 所示，從圖5（a）可以看出，該方向振動含有多個周期成分，能量頻譜圖5（b）中存在兩個峰值，ω1=0.17 Hz，對應波浪頻率，ω2=0.34 Hz=2ω1，即中點處拖曳力方向振動存在2 倍波激頻率振動成分，說明波浪激勵在拖曳力方向激起了桿件的2/1超頻諧振，桿件做類周期振動。

圖4 桿件中點軸向振動曲線（無參數激勵）Fig.4 Axial vibration of the middle point

圖5 桿件中點拖曳力方向振動曲線（無參數激勵） Fig.5 Middle point vibration along drag direction

圖6 桿件中點渦激振動曲線（無參數激勵）Fig.6 Vortex vibration of the middle point

流速為0.4 m/s 時，桿件中點的渦激振動時歷曲線和能量譜如圖6 所示。從圖6（a）可以看出，振動不存在明顯的周期性，圖6（b）中點振動功率譜存在多個峰值，說明了渦激振動極不規(guī)則，存在強非線性。通過斯特羅哈爾關系可以計算出該點渦激頻率為0.16 Hz，但由于桿件在剪切流中，各點所受渦激載荷的幅值和頻率均不相同，且相互影響，使得桿件中點振動存在多個頻率成分。

3.2 參數激勵對桿件振動的影響

考慮參激作用，取式（15）中動張力NT= N0+ Nc?N0?sin( )2πt ?f ，參激頻率f 取0.17 Hz，張力比Nc取0.2，波流參數與3.1 節(jié)相同，計算桿件在波、流、渦激和參激作用下的耦合振動響應。桿件振動響應幅值統(tǒng)計結果如表3 所示，從表中可以看到，存在參數激勵時，桿件拖曳力方向振幅和平衡位移均隨流速增大而增加；軸向振動和渦激振動的平衡位移受流速影響不大，而振幅在流速為0.4 m/s和0.9 m/s時達到最大，說明發(fā)生渦激諧振時，軸向振動和渦激振動的振幅均大幅增加。

表3 參激作用下桿件中點最大振幅統(tǒng)計Tab.3 Maximum middle point amplitudes under parametric excitation

對比表2～3中三個方向的振幅可以看到（圖7），同流速下，存在參數激勵時，桿件的振幅更大。

圖7 桿件振幅對比圖 Fig.7 Comparison of the amplitudes

圖8 桿件中點軸向振動曲線（參激頻率0.17 Hz）Fig.8 Axial vibration of the middle point

流速為0.4 m/s時，桿件中點軸向振動時歷曲線以及能量譜如圖8所示，該方向振動含有多個周期成分，能量頻譜圖8（b）中存在四個峰值，其中，最大譜峰值ω3=0.17 Hz 對應軸向參數激勵頻率。這表明，由于軸向激勵作用，軸向振動大幅增加。

流速為0.4 m/s時，桿件中點在拖曳力方向和渦激振動方向的振動時歷曲線以及能量譜如圖9和圖10所示。從圖9可以看到，在參數激勵影響下，拖曳力方向振動仍表現(xiàn)出類周期性，能量譜中包含波激頻率振動和2倍波激頻率振動。參激頻率和波激頻率疊加，導致能量譜中振動成分不變，譜峰增加。

圖9 桿件中點拖曳力方向振動曲線（參激頻率0.17 Hz） Fig.9 Middle point vibration along drag direction

圖10 桿件中點渦激振動曲線（參激頻率0.17 Hz）Fig.10 Vortex-induced middle point vibration

3.3 參激頻率對渦激振動影響

流速為0.4 m/s時，取式（15）中動張力NT= N0+ Nc?N0?sin( )2πt ?f ，改變參激頻率f，張力比Nc取0.2，波流參數與3.1 節(jié)相同，計算桿件在波、流、渦激和參激作用下的耦合振動響應，桿件振動響應統(tǒng)計結果如表4 所示。從表中可以看到：桿件軸向振動和拖曳力方向振動的幅值和平衡位移受參激頻率影響不大；渦激振動方向的振幅在參激頻率接近立管固有頻率時顯著增加。

表4 不同參激頻率作用下桿件中點最大振幅統(tǒng)計Tab.4 Maximum middle point amplitudes under parametric excitation

流速為0.4 m/s 時，參激頻率f 取0.1 Hz，從圖11（b）中可以看到參激振動成分，桿件中點拖曳力方向和渦激振動方向的振動時歷曲線以及能量譜如圖12～13 所示，從圖12 能量譜中可以看到，拖曳力方向的振動中含有參激振動成分。

3.4 參激幅值對桿件振動影響

取 式（15）中 動 張 力NT= N0+ Nc?N0?sin( 2πt ?f )，參激頻率f 取0.17 Hz，改變張力比Nc，波流參數與3.1節(jié)相同，計算桿件在波、流、渦激和參激作用下的耦合振動響應。結果如表5 所示，從表中可以看到，桿件平衡位置不受參激幅值的影響，而振幅均隨參激幅值的升高而增大。

圖11 桿件中點軸向振動曲線（參激頻率0.1 Hz）Fig.11 Axial middle point vibration

圖12 桿件中點拖曳力方向振動曲線（參激頻率0.1 Hz） Fig.12 Middle point vibration along drag direction

圖13 桿件中點渦激振動曲線（參激頻率0.1 Hz）Fig.13 Vortex-induced middle point vibration

表5 各流速下桿件振幅最大值統(tǒng)計Tab.5 Maximum middle point amplitudes under parametric excitation

4 結 論

本文分析了深海垂直桿件在波流作用下的波激-渦激-參激耦合振動特性，通過對比不同環(huán)境條件下桿件的振動響應，研究了流速、參激頻率和參激強度對桿件振動幅值和振動特性的影響，得到如下主要結論：

（1）無參激作用時，桿件在波流聯(lián)合作用下，拖曳力方向的振幅和平衡位移隨流速增加而增大，軸向振動和渦激振動的振幅與渦泄頻率相關，在發(fā)生渦激諧振時，振幅增加。

（2）桿件中點振動表現(xiàn)出強非線性，在軸向振動方向除了固有振動頻率外，還存在1/2和1/4亞頻成分；拖曳力方向振動為類周期振動，桿件在該方向振動包含波激振動和2 倍波激頻率振動，而渦激振動極不規(guī)則，振動含多個頻率成分。

（3）存在參數激勵時，桿件三個方向的振幅均有所增加，其中拖曳力方向振幅增加明顯。桿件振動特性不發(fā)生改變，時歷曲線上的振幅以及能量頻譜峰值增加。

（4）桿件在參數激勵作用下，拖曳力方向振動中會含有參數激勵振動成分；當參激頻率發(fā)生變化時，拖曳力方向的振幅和平衡位移改變較小；當參激頻率接近桿件z向振動的固有頻率時，渦激振動和軸向振動的振幅大幅增加。

（5）三個方向的振幅均隨參激強度的增大而增加，平衡位移不受參激振幅的影響。