楔形撞頭作用下固支矩形板的耐撞性

黃 東，郭 翔，董 斌，李元泰，賀夢豪

（武漢第二船舶設計研究所，武漢430064）

0 引 言

船舶碰撞事件時有發生，如油船“桑吉”輪與散貨船“長峰水晶”輪在長江口以東約160 海里處發生碰撞。一旦船舶發生嚴重碰撞，船員和乘客的人身安全受到嚴重威脅，同時造成的環境污染和經濟損失均難以預估。因此，研究人員對船舶的抗碰撞能力進行了大量研究。胡志強等[1]概述了船舶碰撞與觸底事故研究進展，且闡明了船舶碰撞內部力學機理是研究構件損傷和變形模式等。其中，船體構件損傷和變形模式與撞擊船船首形狀密切相關。

為了快速預報船體結構的耐撞性能，簡化理論分析方法受到了研究人員的關注。Wang 等[2]采用剛塑性理論以及虛功原理，研究球形撞頭作用下固支圓板的大塑性變形，將固支圓板的變形模式假定為球面與圓錐面相結合的形式，導出了固支圓板的接觸反力-橫向變形的關系式；Gong 等[3]詳細討論了球形撞頭作用下固支圓板的大塑性變形，根據模型試驗結果假設固支圓板的變形模式由三部分組成：與撞頭相接觸的區域具有球面的形狀，與球面相鄰的是拋物面，而靠近固支邊界的部分則具有對數曲面的形式，導出了撞擊力-橫向變形的關系式；Shen[4]同樣研究了球錐形撞頭作用下固支圓板的耐撞性。莊科挺等[5]和黃東等[6]分析了球形撞頭作用下的固支矩形加筋板的力學性能。

楔形撞頭作用下固支矩形板的耐撞性能分析，也是船舶結構耐撞性分析中最為基礎性的研究課題之一，一直受到足夠的重視。Shen 等[7]結合楔形撞頭沖擊矩形板試驗結果，通過簡化矩形板的變形模式提出了一種理論方法，對楔形撞頭作用下固支矩形薄板做出合理的斷裂預報，經研究發現，極限沖擊能量與矩形板的厚度有密切的聯系；Sun等[8]將前傾型船艏視為剛性楔形撞頭，將被撞船的舷側結構簡化成雙層夾層板結構，以研究楔形船艏撞擊下被撞船雙層舷側的耐撞性能；楊樹濤[9]結合楔形撞頭撞擊矩形加筋板試驗，簡化矩形加筋板的變形模態，推導了矩形加筋板的變形能公式。

為進一步研究楔形撞頭作用下固支矩形板的耐撞性，基于剛塑性理論，本文提出了一種新的簡化理論方法，簡化了固支矩形板的變形模式，這種方法能準確地描述固支矩形板的變形模式。本文的分析限于低速撞擊的情況，從而可簡化為準靜態問題處理[10]。

1 簡化理論分析方法

圖1 給出了楔形撞頭作用下固支矩形板有限變形分析的示意圖。假定固支剛塑性矩形板的邊長分別為2a0和2b0，厚度為t。位于矩形板的中央，承受楔形剛性撞頭的作用。

如圖1 所示，假定固支矩形板的有限變形由兩個對稱的板塊①和兩個對稱的板塊②組成，單個板塊①為梯形，單個板塊②為三角形，均具有拋物曲面的變形模式。固支矩形板為對稱結構，故以X 軸、Y 軸正半軸方向的板塊為例，固支矩形板有限變形的變形模式具有下述的形式。

圖1 固支矩形板有限變形的變形模式Fig.1 The finite deformation mode of the clamped rectangular plate

1.1 板塊①的有限變形近似表達式

假設板塊①變形模式表達式為

板塊①的邊界條件為

系數C1、C2和C3由邊界條件確定，由此得到y表達式為

經整理得到板塊①撓度w1表達式為

式中，b0為矩形板半寬，K = 1/k為楔形撞頭的斜率，w0為最大橫向變形。

1.2 板塊②的有限變形近似表達式

假設板塊②變形模式表達式為

板塊②的邊界條件為

系數C1、C2和C3由邊界條件確定，由此得到x表達式為

經整理得到板塊②撓度w2表達式為

式中：a0為矩形板半長，a為撞頭半長，w0為最大橫向變形。

在本文的分析中，楔形撞頭作用下固支矩形板的變形將人為地劃分成對稱的兩個部分。分別計算出各自的撞擊力與最大橫向變形之間的關系式，在此基礎上采用文獻[11]提出的疊加方法，最終得到固支矩形板總的撞擊力與中點橫向變形之間的關系曲線。分析中僅僅考慮了伸長應變εx和εy對固支矩形板耐撞性能的作用，忽略了剪切以及彎曲應變的影響。

2 楔形撞頭與固支矩形板之間的撞擊力

2.1 板塊①的變形計算

已知固支矩形板有限變形的表達式，便可分別列出固支矩形板總體變形的虛功表達式，并導出板塊①變形情況下撞擊力P1與其橫向變形w0之間的關系式。

板塊①的中面伸長應變εy的表達式為

伸長應變εy的變分表達式為

為了導出總體變形情況下板塊①的撞擊力P1與其橫向變形w0之間的關系式，列出固支板塊①的虛功表達式為

將公式（10）代入上述公式（11）。為簡化公式，令λ = b0+ kw0，β = k2w20，經整理后得到

其中，a0為矩形板半長，b0為矩形板半寬，w0為最大橫向變形，a 為撞頭半長，1/k 為楔形撞頭的斜率，t為矩形板厚度，σ0為材料塑性流動應力。

2.2 板塊②的變形計算

已知固支矩形板有限變形的表達式，便可分別列出固支矩形板總體變形的虛功表達式，并導出板塊②變形情況下撞擊力P2與其橫向變形w0之間的關系式。板塊②的中面伸長應變εx的表達式為

伸長應變εx的變分表達式為

為了導出板塊②的撞擊力P2與其橫向變形w0之間的關系式，列出固支板塊②的虛功表達式為

將公式（14）代入上述公式（15）中，經整理后得到

式中，a為撞頭半長，a0為矩形板半長，b0為矩形板半寬，w0為最大橫向變形，t為矩形板厚度，σ0為材料塑性流動應力。

2.3 楔形撞頭與矩形板的之間的總撞擊力

如圖1所示，矩形板被劃分為兩個對稱的板塊①和兩個對稱的板塊②。故矩形板的總撞擊力P為

3 實例計算

3.1 實例驗算

根據Zhang 等[12]完成的9 組楔形撞頭撞擊矩形板試驗，撞頭的頂角為2θ=90°，矩形板厚度t=1.455 mm，其材料屬性如表1 所示。矩形板材料的塑性流動應力σ0=0.5×( σs+ σb)[3]。

根據公式（12）、（16）和公式（17）分別計算板塊①、板塊②以及整個矩形板的撞擊力P1、P2和P。矩形板初始斷裂的試驗數據和簡化理論分析方法計算結果如表2所示。

表1 矩形板的材料屬性Tab.1 Mechanical properties of material of the rectangular plate

表2 試驗數據與理論計算結果Tab.2 Summary of experimental results and the calculation results of simplified analysis method

據表2可知，當撞頭尺寸2a=80 mm 時，簡化理論方法的計算誤差均未超過20%；當撞頭尺寸2a增加時，簡化理論方法的計算誤差隨之增加；當b0/a0=1.5 或者a0/b0=1.5 時，簡化理論方法的計算誤差較b0/a0=1時均有所增加。

3.2 誤差分析

分析計算結果發現，簡化理論方法的預報值大于試驗值，且當撞頭尺寸2a增加時，簡化理論方法的計算誤差隨之增加。究其原因，分析如下：

（1）誤差來源分析

在假設固支矩形板的變形模式時，為保證矩形板變形的連續性，將板塊①以及板塊②的變形模式均假定為拋物線變形模式；而矩形板的真實變形情況是，板塊②的真實變形曲率較大，接近假定的拋物線變形模式，板塊①的真實變形曲率略小，與假定的拋物線變形模式稍有誤差。文獻[12]中矩形板試驗模型B2的真實變形三維掃描圖可證實上述分析，如圖2所示。因此，對板塊①的理論預報值是主要誤差來源。

（2）誤差增大分析

其一，理論預報值大于試驗值的原因：根據公式（9）可知，變形曲率越大則拉伸應變越大，而假定板塊①為拋物線變形模式的變形曲率略大于真實情況，故導致理論預報值撞擊力P1偏大。

其二，計算誤差增大的原因：當撞頭尺寸2a增加時，板塊①的變形區域隨之擴大，相當于擴大了主要誤差源，故使得誤差進一步增加。所以，隨著撞頭尺寸2a的增加，最終導致理論預報值更高于試驗值。

圖2 模型B2矩形板真實變形的三維掃面圖（Zhang[12]）Fig.2 The 3D scanning map of the actual deformation of the test B2（Zhang[12]）

4 結 論

本文為預報楔形撞頭作用下固支矩形板的耐撞性，提出了一種新的簡化理論分析方法，通過與試驗結果對比，得到如下結論：

（1）采用了拋物曲面的變形模式的設定，該變形模式較為正確地描述了矩形板變形形狀的分布規律，為固支矩形板的耐撞性分析奠定了良好的基礎；

（2）當楔形撞頭長度2a=80 mm 時，簡化理論方法的計算誤差均未超過20%，故該方法能夠達到準確預報的要求；

（3）撞頭尺寸與矩形板邊長之比a/a0減小時，簡化理論方法的計算誤差隨之減小。故撞頭尺寸較小時，該方法能夠更加準確地預報固支矩形板的耐撞性；

（4）矩形板的長寬比b0/a0=1時，簡化理論方法的計算誤差最小。故楔形撞頭撞擊固支方板時，該方法能夠更加準確地預報固支板的耐撞性；

本文的研究成果不僅僅局限于楔形撞頭作用下固支矩形板的耐撞性預報，同樣為球形撞頭撞擊固支矩形板或固支圓板提供了有意義的參考。