立足類比推理，凸顯概念本質
——以“一元二次方程的概念”為例

江蘇省太倉市沙溪鎮岳王學校 張 軍

數學概念是反映數學對象本質屬性的思維形式，是數學學科的基本成分，數學概念的教學對學生提高數學素養、發展數學能力具有重要的意義。數學概念在數學的知識體系中處于基礎地位，是數學基礎知識和基本技能教學的核心。近期筆者全程參加了該地區的一次評優課活動，課題為“一元二次方程”，筆者結合自己親身經歷，談談對概念教學的幾點思考。

一、類比生活情景，激發概念學習興趣

數學概念是對客觀事物的抽象概括，一些直接來源于日常生活中的實際情況，根據學生已有的知識經驗，從學生的認知發展水平出發，設計學生熟悉的問題情景，讓學生容易上手、易于完成問題，避免了與概念無關的干擾，幫助學生獲得初步的感性認識。例如，在“一元二次方程”引入問題的設計上，筆者設計了如下的問題進行教學：

問題引入：用一根繩子圍成一個矩形。

（1）假設這個矩形的周長是20 米，長比寬多2 米，求這個矩形的寬？

（2）假設這個矩形的面積是12 平方米，長比寬多2 米，求這個矩形的寬？

（3）假設這個矩形的周長是20 米，面積為12 平方米，求這個矩形的寬？

二、類比已有經驗，揭示概念本質內涵

1.形式類比，引出概念

數學概念里有些是核心概念，比如方程、函數等，但像一元二次方程這樣的概念則屬于派生概念。充分利用好一元一次方程的學習經驗，通過問題引導，讓學生類比、感悟新知，提高學生的類比推理能力。

評析：學生經過觀察、探索、分類等活動，總結經驗，類比已學過的概念，大膽猜想一元二次方程的概念，體會概念的特征。類比已有的知識經驗，總結方程的命名，依據未知數的位置、次數、個數，加深對概念特征的理解，強化概念本質屬性。

2.經驗類比，深化概念

通過辨析方程，發現問題，引導學生思考：在解決一元二次方程時需要整理成統一的形式，接著引出一元二次方程的一般形式。通過類比一元一次方程的一般形式，深刻體會“最高次數為二次”這一特征，理解一般形式“ax2＋bx＋c=0”中“a≠0”的本質。

三、類比變式探究，固化概念發散思維

設計開放性問題，通過變式，層層深入，學生類比題型找到解決問題的方法，充分暴露學生的思維過程，營造思辨氛圍，讓不同的思維發生碰撞，推理能力不斷發展。

例2：已知關于x的方程(m2-4)x2+(m+2)x=8 。

（1）若這個方程是一元二次方程，則m滿足的條件是什么？

（2）若這個方程是一元一次方程，則m滿足的條件是什么？

變式1：已知關于x的方程（m+2）x|m|-5x+2=0 為一元二次方程，則求m的值。

變式2：若該方程為一元一次方程，m的值是多少？

變式3：已知關于x的方程（m+2）x|m|-5x2+2=0 為一元二次方程，求m的值。

評析：例題的設計由淺入深，圍繞概念多角度、多層次地設計問題，在類比分析中加深學生對概念本質的理解，找到解決問題的關鍵。通過追問：一般形式的a、b、c分別代表什么？在多次變與不變的練習中，培養學生的整體意識和符號意識，“類比推理”落地開花，進一步推動了學生的思維發展。

四、類比研究過程，探討概念生成體系

通過類比的思想來研究一元二次方程，從學生已有的一元一次方程的學習經驗入手，初步掌握如何研究一個新方程，教學中鼓勵學生大膽猜想、類比，進而提高學生研究問題的能力，培養學生的數學素養。通過問題“接下來我們還會研究一元二次方程的哪些內容”，引導學生理解認知事物的規律，掌握研究方程問題的方法，建構方程體系，為后續的學習做好鋪墊。

五、教后反思，總結概念教學經驗

數學概念的教學不是讓學生機械地接受、簡單地模仿，要讓學生根據已有的知識經驗，運用觀察發現、類比推理等數學思想方法進行新的概括與創造，自主建構新概念。同時，在概念的生成過程中，通過分析、比較、概括等活動，培養學生分析問題和概括問題的能力，進而訓練學生的思維，培養學生的數學素養。

在數學概念教學中，我們要讓學生獲得概念的過程變得自然、合理、有趣，充分利用新概念與認知結構中原有概念的聯系，讓學生參與數學活動過程，經過類比推理，揭示概念本質，體驗概念獲得的成就感，發展學生的思維。