關于一道函數零點例題的引申

福建省龍巖第一中學 劉曉生

在教材《函數的應用》章節中有這樣一道例題：已知函數f（x）=lnx＋2x－6，求該函數的零點個數。接下來，筆者就談一談如何站在學生的角度解決函數零點問題。

一、求函數零點的個數

由教材中的例題可知，函數零點的基本考查類型就是求函數零點的個數，也就是求函數有幾個零點的問題。首先，我們應該掌握最基本也非常重要的解題思路，即函數y=f（x）的零點與方程f（x）=0的根是等價的。鑒于學生從小學階段就開始接觸方程問題，所以我們在研究函數的零點問題時，都可以引導學生將其轉化為熟悉的方程問題來解決。

針對如何求解函數零點個數的問題，主要有三種方法：

1.直接法

直接令f（x）=0，求解這個方程，解出幾個根，那么函數就有幾個零點。

例1：已知函數f（x）=x4+x3-6x2，求該函數的零點個數。

解：令x4+x3-6x2=0，則x2（x2+x-6）=0，

則x2（x-2）（x+3）=0，解得x=0 或x=2 或x=-3。

于是函數f（x）有三個零點。

2.定理法

也就是根據零點存在性定理來判斷零點的個數，即函數f（x）在區間[a，b]內連續，且f（a）×f（b）<0，則函數在（a，b）內存在零點。

3.數形結合法

將原函數轉化為兩個函數，分別畫出兩個函數的圖像，由交點個數判斷函數零點的個數，有幾個交點，就有幾個零點。

仍以課本例題為例，將函數f（x）=lnx+2x-6 盡可能地轉化為兩個簡單的函數，如y=lnx和y=-2x+6，分別畫出二者的圖像，可知只有一個交點，所以函數只有一個零點。

二、由函數零點特征求解參數取值范圍

函數零點問題的另一大考題類型就是根據零點特征確定參數的取值范圍，這類問題相對復雜，通常需要借助多個知識來綜合解決，如函數零點存在性定理、不等式知識、二次方程知識等，需要學生的思路十分明確和清晰，能夠迅速調動大腦內的多種知識，將其聯系鏈接，進而找到問題的突破口。

例3：已知函數f（x）=x2+（t-1）x+1 在區間[0，2]上存在零點，求實數t的取值范圍。

分析：原題可以轉化為方程x2+（t-1）x+1=0 在區間[0，2]上有根，這是一個二次方程，因此它可能有一個根，也可能有兩個不同的根，需要進行分類討論。

三、二次方程根的分布

因為函數的零點等于方程的根，所以二次函數的零點問題就與二次方程根的分布產生了千絲萬縷的聯系，尤其是變相考查二次方程根的分布問題，受到了高考命題人的偏愛。根的分布問題主要涉及對稱軸的位置、兩根之和、兩根之積等的判斷，學生在解題時應該充分利用二次方程的圖像，幫助自己找到解題思路，同時應該熟練掌握有關結論，以求提高解題速度和解題正確率。

總之，函數的零點問題是高中數學的重要內容，在學生的高考中扮演著非同小可的角色。作為高中數學教師，我們在平常的教學中，應該結合課本例題或者試卷中遇到的問題進行恰當的引申和拓展，幫助學生系統科學地掌握相關知識，力求觸類旁通，舉一反三，進而為學生開啟高考的綠色通道。