立足函數性質背景 解決數列中的恒成立問題

江蘇省盱眙中學 (211700) 梁 義

恒成立問題是高考中的熱點問題，在近幾年的各地模考、高考試題中，以數列為載體的恒成立問題，立意更高，綜合性更強，值得我們去研究和關注.等差、等比數列作為兩個特殊的數列，其通項公式、求和公式和一次函數、二次函數、指數函數都有一定的聯系，充分挖掘二者的函數背景，可以加深對等差、等比數列的理解．

一、典例精析

若2d-1>0，不恒成立，舍去；

綜上所述0

評析：數列本質上是一種特殊的函數，因此，研究數列的圖象和性質，應注意從函數的觀點入手，靈活運用函數思想，選用參變分離、含參討論等方法，將其轉化為函數最值問題進行處理.

二、借題發揮

分析：本題第(3)問中的{cn}為等差數列，所以通項cn是關于n的一次函數表達式，根據一次函數的單調性分析可得d=0；而數列{dn}、{en}的單調性可以通過作差來確定，結合反證法得d=0，c1=0.

解析：(1)(2)略；

綜上，存在唯一的等差數列{cn}，其通項公式cn=0，n∈N*滿足題設．

評析：數列可看作自變量為正整數的一類函數,數列的通項公式相當于函數的解析式,所以我們可以用函數的觀點來研究數列.但要注意數列與函數的不同,數列只能看作是自變量為正整數的一類函數,在解決問題時要注意這一特殊性.

三、思維拓展

分析：第(3)問根據數列{cn}是等比數列可知通項為指數型函數，故可以對不等式兩邊取對數運算，“化超越為平凡”，進而了構造新函數，再以導數為工具分析新函數的單調性，從而得到q的取值范圍.

評析：以等比數列為例，其離散點對應的連續曲線符合指數函數凸性背景，可以看出本題源自于函數，以數列為載體呈現，其實還是以函數為主導的考察．

四、策略微探

數列是特殊的函數，因此，對于與數列有關的恒成立問題，可以聯系函數中求最值的常用方法與策略：分離變量——構造新數列——作差(商)比較或借助導數——判斷數列單調性——確定最值，進而求得變量取值范圍.除了單調性，周期性、凹凸性等在數列中也有廣泛的應用，在較高的層面對函數性質的運用有了新的要求，在學習過程中要加以總結規律，梳理方法步驟.

五、自主探究

(2)若an>0，且Sn+1≥2an+1，是否存在正整數k，使得無窮數列bk+1，bk+2，bk+3，…成公差不為0的等差數列？若存在，給出數列{an}的一個通項公式；若不存在，請說明理由.

(2)若an=n+k-3(k>0)，且{an}的“L數列”為遞增數列，求k的取值范圍；

(3)若an=1+pn-1，其中p>1，記{an}的“L數列”的前n項和為Sn，試判斷是否存在等差數列{cn}，對任意n∈N*，都有cn