直覺：數學解題的精靈

鹽城師范學院數學與統計學院 (224002) 段志貴南京師范大學教師教育學院 (210023) 陳馨悅青海師范大學數學與統計學院 (810008) 黃云鶴

在數學思維活動中，直覺是一種特殊的思維活動，它既不同于邏輯，又不同于經驗，是一種介于邏輯與經驗之間的，有一定色彩的創造性思維活動，數學直覺在數學解題過程中往往可以發揮關鍵性的作用．

1 解題直覺的意義

嚴格意義上說，數學的直覺是指人們運用已有的知識、經驗和技能，通過觀察、聯想、類比、歸納、猜測等方法對所研究的事物做出一種比較迅速的直接綜合判斷．它是對數學對象中的關系和結構的直接領悟．它不受固定邏輯規則約束，對事物迅速識別，未經一步步的推理、分析，就能對問題突然領悟、理解或給出答案．直覺應用到數學解題之中，以其高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系，促成解題思路的形成，從而有效推進解題計劃的擬定和解題方法的獲得．

有了這一思路，問題的最終解法便獲得了非?？煽康淖ナ郑趺淳拖氲睫D換為三角，想到正切二倍角公式，想到設x=tanA，y=tanB，z=tanC？這就是解題直覺！

本質上說，解題直覺是一種認知激活——解題者認知被問題表征系統所激活．“三項和三項積相等”是問題的一個表征，客觀上讓人想到“tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC”，這是曾經的認知被激活．再由結論中的“三項和三項積相等”以及類似正切二倍角公式的表征，從而想到對問題的假設，想到把問題轉化為證明三角恒等式，這便形成了解題直覺．

顯然，解題直覺的產生建立在對所涉及到的知識與技能有一定的理解和掌握基礎之上，解題直覺的涌現也并非一蹴而就，往往伴隨著對思維障礙的突破，存在于堅持不懈地探索與發現之中．

2 解題直覺的呈現

2.1 在探尋解法的過程中突現靈感

在探索和發現數學問題解法的過程中，針對一些已知的關系與結構，有時特定的某一條件會給我們留下特別的印象，盤旋于腦海，在搜索其它知識模塊的過程中，如果能夠產生某個交集，則可以使認識上產生一個飛躍，這種飛躍并不都具有邏輯性，但結果卻是令人興奮的，有時便形成了爆發性的頓悟，這種頓悟，就是一種解題直覺．

2.2 在演繹推理的過程中超越規則

當演繹推理與直覺交織在一起時，一般不是依三段論規則按步前進，而是采用比較迅速，比較“自由”的方式向前延伸．一種是原有邏輯程序的簡化和壓縮，多表現為在大腦中迅速檢索到一種“思維塊”并直接做出判斷；另一種是推理之鏈中包含有不合三段論規則的判斷，這些看似支離破碎的判斷，其實都是邏輯與直覺混合起作用的結果，它們往往也會促成解題念頭的形成．

例3 已知函數f(x)對于一切實數x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當x>0時，恒有f(x)<0，試判斷函數f(x)的單調性．

分析：要證單調性，就是要考察f(x2)-f(x1)是大于0，還是小于0．再從題目條件出發，任取x1，x2，使得x10，所以f(x2-x1)<0．于是，從這里解題直覺產生，并逐步向結論延伸，可以發現f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，所以函數f(x)是單調遞減的．當然這一過程作為解題還不完備，還需要去進一步地完善充實．

2.3 在歸納總結的過程中跳躍進程

一個普遍性判斷包含有被歸納的事實中所沒有的內容，因而在由幾個單稱判斷歸納出一個新的全稱判斷時，歸納進程必然會跳躍一下．在處理數學問題時，無論是把問題特殊化，還是把特殊化了的問題化歸到原來的一般問題，都需要直覺的跳躍．

2.4 在解題聯想的過程中不落窠臼

依據解題中的相關對象或相似因素，或熟悉的解題模式，人們在解題中常常會做出某些跳躍式的自由聯想，這些聯想與解題者的經驗有很大關系，有的聯想極有可能幫助我們獲得解題的有效線索．

3 解題直覺的捕獲

3.1 透視背景形成直覺

許多問題的解決往往要通過仔細觀察分析，去發現問題各個環節以及其中的聯系，尤其是要透過問題的表象，直覺捕獲問題背后蘊藏的數學知識點和數學思想方法，真正感知到編題者命題的意圖所在，為順利解決問題奠定基礎．

例6 設a∈R，若x>0時均有[(a-1)x-1]·(x2-ax-1)≥0，求a的值或取值范圍．

圖1

分析：觀察本題已知條件，可能看到本題的背景源自于兩個簡單的函數之積，一個是一次函數y1=(a-1)x-1，另一個是二次函數y2=x2-ax-1，從兩個函數入手，我們分別作出它們的函數圖像，如圖1所示，很快可以分析得到這兩個函數都過定點P(0,-1)．

再把直線與x軸的另一個交點坐標代入到拋物線方程中去，就很快可求得本題的解了．當然，要注意本題在真正實施求解的時候，為體現解題的完整與規范，首先要a分為a=1和a≠1這兩種情況去討論．可以看出，對于這么一個比較難的問題我們只要把它還原到它所在的大背景下看就容易多了．

3.2 數形結合產生直覺

通俗地理解數形結合，就是使某些幾何問題轉化為代數問題，某些代數問題用更為直觀的幾何圖形來解決．數形結合是數學解題中常用的思想方法，在解題中，數與形的轉換經常用到，通過數形結合構造某種數學形式，使數學題中的條件和結論的關系很清晰地表現出來，易于產生解題直覺，從而使問題得到解決

3.3 審美賞析產生直覺

對于一個特定的數學問題，在我們尋找解題路徑時利用數學美，有時亦能收獲特別的解題直覺．在“和諧”美的背景下，追求統一性、對稱性、不變性、恰當性；在“簡單”美的情境下，思考如何用簡單的原理、公式來概括大量的事實；在“奇異”美的感悟下，人們會涌現奇特與新穎的感受，所有這些都會在美的感召下，迸發出智慧的火花，這火花就是數學直覺．法國大數學家阿達瑪說過:“數學直覺的本質是某種‘美感’或‘美的意識’，‘美的意識’越強，發現和辨別隱蔽和諧關系的直覺也就越強”．審美直覺可以激發靈感，發現數學美，利用數學簡單美、對稱美、和諧美和奇異美來解決問題．

3.4 結構相似產生直覺

所謂結構相似我們也可以看作是類比構造，它是通過比較所研究問題的對象之間或這些對象與已學過的知識間存在的形式上的相同或相似性得到啟發，產生直覺，在此基礎上構造一種兼有兩者共同特點的數學形式，運用這種數學形式的豐富內涵達到解決問題的目的．

圖2

3.5 問題變式產生直覺

有些問題生疏隱晦，解題時需對問題作一番提煉、抽象和標準化，并根據對應同構原理，對其恰當賦義，構造出一個全新的數學模型，以找到有效的解題途徑．這類模型的構想往往超越了問題的原有意境，因此需要更為豐富的想象力和創造力以及直覺能力．

4 解題直覺的辯證思考

4.1 解題直覺具有相對性

數學離不開直覺，數學直覺在解題過程中起著重要的作用，然而正如龐加萊說的那樣，“直覺是不難發現的，但它不能給我們以嚴格性，甚至不能給我們以可靠性，這一點越來越得到公認”．數學畢竟是一門嚴謹的科學，如果僅僅用數學直覺來研究它，不進行嚴格意義上的邏輯證明，那么得出來的結論肯定是有許多荒謬的．因此，解決數學問題，我們既要高度重視直覺，善于利用直覺，把直覺當成是指引解題方向的一個極其重要的工具，又要對直覺保持高度警惕，有些直覺可能會讓我們的思維走進歧途，陷入解題誤區．

4.2 解題直覺具有淵源性

直覺既不是從天而降，也不是無水之源、無本之木，它往往降臨在那些具有廣博的學科經驗并且對知識奧妙執著追求的人身上．我們只有不斷向外界學習、交流、吸取新信息，多做積累，并善于總結、概括和提煉，才能在問題解決的困頓中迸發出解題靈感．除此之外，還需要我們擁有耐心、恒心和韌性，堅持不懈地從做中學，從學中做，由此當我們的認知結構一旦被激活，也就容易產生直覺了．當然我們討論解題直覺，也不能不提到具體情境．正像哈密頓“四元數”故事發生在愛爾蘭一座小橋上一樣，解題直覺的產生與一定的情境相關聯，我們拼命找尋的解答，有可能在不知不覺中的某個場景或某個狀態下靈光閃現——解題的直覺來了.

4.3 解題直覺具有層次性

根據解題過程中思維形式的難易，以及思維形式在人的思維習慣中出現的次序，解題直覺有經驗型和思辨型之分．經驗型從對問題的觀察、實驗、類比、歸納中萌發，基本都是對過往熟悉的知識、方法或解題策略的遷移，而思辨型直覺是指在運動變化、對立統一等哲學觀念的基礎上，通過對問題的深層次分析、探究與辨析后形成，比如對稱性、整體性等美學思想，向量法、代數化等解析幾何思想，它們高于經驗型直覺層次，交織著半邏輯性推演，因而有時更加嚴謹，更為適用，但也并非無懈可擊．

總之，面對較為綜合、復雜的問題時，直覺指引不失為獲得問題解法的一條有效通道．當然，我們還應注意到，隨著解題計劃的實施，原先的直覺可能需要調整和不斷完善或改變．正如楊振寧教授所說，“直覺不斷被修正的過程就是自我提升的過程”，直覺會帶領我們把解題走向深入，帶領我們把解題進行到底，帶領我們走向解題更新的領域．