一道高考試題的探究與拓展

上海市金山區(qū)亭林中學(xué) (201505) 曹信信

一、問題描述

二、探究過程

圖1

圖2

2.橢圓和雙曲線同為圓錐曲線,因此猜想類似結(jié)論在雙曲線中是否也成立呢？由圖3和圖4可知,結(jié)論成立,得到結(jié)論2.

圖3

圖4

3.作圖觀察,發(fā)現(xiàn)類似結(jié)論在拋物線中仍然成立.由圖5和圖6可知,得到結(jié)論3.

圖5

圖6

結(jié)論3 已知拋物線C:y2=2px,點(diǎn)A為C上任意一點(diǎn),M、N是C上與A不重合的兩點(diǎn),且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足,則存在點(diǎn)Q,使|DQ|為定值.

綜合以上的探究與拓展,有如下結(jié)論.

性質(zhì)1 已知圓錐曲線C,點(diǎn)A(x0,y0)為C上任意一點(diǎn),M(x1,y1)、N(x2,y2)是C上與A不重合的兩點(diǎn),且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.則存在點(diǎn)Q,使|DQ|為定值.

通過以上探究驗(yàn)證筆者的猜想成立，根據(jù)圓錐曲線的共性,下面以橢圓為例對(duì)性質(zhì)1進(jìn)行證明.

證明：由點(diǎn)M、N的任意性,需討論直線MN的斜率是否存在.

(1)當(dāng)n=x0時(shí),lMN過點(diǎn)A,與題意不符,舍去.

綜上所述,存在與lMN無關(guān)的定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

三、探究體會(huì)

在遇到無法直接憑經(jīng)驗(yàn)觀察出結(jié)果的問題時(shí),可以借助TI圖形計(jì)算器的作圖功能不斷實(shí)踐,在實(shí)踐的基礎(chǔ)上一步步完成突破,用科學(xué)技術(shù)來驗(yàn)證猜想.數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)積累離不開科學(xué)技術(shù)的支持,在先進(jìn)技術(shù)的幫助下,我們“站在巨人的肩膀上”登高望遠(yuǎn),進(jìn)而可以嘗試更多的可能性.