對形如“存在x0，使得f(f(x0))=x0成立”問題的研究

四川省南充高級中學順慶校區 (637000) 張小丹 李 婷

分析：對于初次遇到這道題的很多同學而言問題的難點是：對條件f(f(x0))=x0的變形處理.左邊是“兩層”函數，其實我們可以利用函數的單調性去掉一個“f”，再將之化為一個較為熟悉的問題，易于求解.

(2)再研究條件f(f(x0))=x0.若f(x0)x0，因為f(x)單增，∴f(f(x0))>f(x0)，與假設矛盾；故f(x0)=x0.

反思1：事實上我們不難發現，只要函數在給定區間上具有單調性，我們都可以如法炮制.

結論不妨設f(x)在所給區間D上是增函數，若存在x0∈D，使得f((x0))=x0，則問題等價于方程f(x)=x在區間D上有解.

證明：若f(x0)x0，因為f(x)單增，∴f(f(x0))>f(x0)，與假設矛盾；故有f(x0)=x0.

反思2:我們還可以將原題“存在x0”改為“存在2個x0”或者“存在唯一一個x0”，研究方法相同.

例1已知函數f(x)=ex-x-a，若?x0∈[0，1]，使得f(f(x0))=x0，則a的取值范圍是.

詳解：f′(x)=ex-1≥0在區間[0,1]上恒成立，∴f(x)在[0,1]上單調遞增.∴原問題等價于：方程f(x)=x在區間[0,1]有解.方程f(x)=x可化為ex-x-a=x?ex-2x=a2②.設g(x)=ex-2x,x∈[0,1]，∴問題②等價于函數g(x)的圖像與直線y=a有交點，由g′(x)=ex-2，令g′(x)=0可得x=ln2，∴g(x)在[0,ln2]上遞減，在[ln2,1]上遞增，從而g(0)=1,g(ln2)=2-2ln2,g(1)=e-2

答案1.D；2.[1,e].