例談高中數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的缺失與培養(yǎng)
——以2020全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)20題為例

江蘇省灌南高級中學(xué) (222500) 劉鑫鈞 翟海軍 安徽省淮北市第一中學(xué) (235000) 周宗杰

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017)》提出了六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.其中數(shù)學(xué)運算既基礎(chǔ)亦關(guān)鍵，如在分析運算對象時需要用到數(shù)學(xué)建模；在選擇運算法則時經(jīng)常使用邏輯推理；在運算過程中需要對數(shù)據(jù)進行分析；在猜測運算結(jié)果時需要借助直觀想象，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是其它核心素養(yǎng)的集中呈現(xiàn)，因此如何使數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)在課堂教學(xué)中得到深入貫徹和落實就顯得尤為重要.本文以2020年全國I卷理科數(shù)學(xué)第20題為例，就高中生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的缺失與培養(yǎng)談一點自己的看法，請同行不吝賜教.

1 真題呈現(xiàn)與解答

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

2 問題的調(diào)查與分析

筆者與2020屆高考學(xué)生的交流中發(fā)現(xiàn)學(xué)生普遍認為20題(壓軸題)第二問運算量大，很多學(xué)生在考場上對運算沒有信心，考場上算不出來.通過對考生進行廣泛的問卷調(diào)查及部分教師、學(xué)生的深入交談，了解他們解答此題的情況，統(tǒng)計，歸納出學(xué)生的困惑主要有以下三點.

困惑三：不少學(xué)生知道解決解析幾何問題的主要的技巧是設(shè)點，設(shè)直線.這題很容易想到設(shè)點P(6,t)，但是如何假設(shè)直線解答呢?在考場時部分學(xué)生腦海中有設(shè)直線這一想法，但是沒法實施.

從以上學(xué)生們的困惑中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對第二問的普遍感受，概括起來就是一個字：運算太大了.主要表現(xiàn)在學(xué)生對運算對象化簡不徹底，運算方向不明確，運算方法選擇不靈活，究其原因，其實是學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的缺失.

3 問題的解決

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，不是指具體的運算知識和技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)運算能力.數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)運算方面的知識與技能，又高于具體的運算知識與技能.因此明晰影響學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的關(guān)鍵因素，幫助學(xué)生在解答困惑的基礎(chǔ)上，體會數(shù)學(xué)的本真，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是教師在課堂教學(xué)中需要重視的一個問題.

3.1 立足結(jié)構(gòu)觀察，實現(xiàn)運算對象的簡潔性

3.2 基于直觀想象，明確運算思路的方向性

問題請同學(xué)們學(xué)生觀察下列兩類直線：y=kx+3，y=kx+3k+1，看看他們是否過定點.

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)這兩條直線分別過定點(0,3)，(-3,1).曲線幾何性質(zhì)往往在它的代數(shù)式上就有所反映.因此可以順勢追問學(xué)生這兩條直線過定點的根源在于什么？目的在于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出以下一個基本的運算結(jié)論：直線y=kx+t能過定點，反映在式子上的要求就是，t能用k線性表示.即t=mk+n，其中m,n為常數(shù).

從代數(shù)直觀出了只要能將t化簡出用k線性表示，就一定能求出直線方程過定點.那么幾何直觀在哪里呢？如何快速的直覺出CD所過的定點大致位置呢？那自然需要從圖形角度出發(fā).

圖1

圖2

3.3 注重一題多解，培養(yǎng)運算策略的靈活性

解答困惑三：學(xué)生之所以在考場時只想到設(shè)點，想不到其它解法，根源在于平常的解題沒有注重一題多解.因此教師在指導(dǎo)學(xué)生解答運算類問題時需要注重一題多解， “一題多解”的訓(xùn)練，可以很好的幫助學(xué)生開拓解題思路.從多方面找尋解決問題的思路與方法，分析不同解法的優(yōu)缺點，總結(jié)運算策略，在具體的運算過程中實戰(zhàn)運算策略，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

評析：解法2采用的是假設(shè)直線方程.假設(shè)AC:x=t1y-3，BD:x=t2y+3，利用直線AC,BD均過點P(6,m)，獲得t1,t2的關(guān)系t1=3t2.利用C,D,N三點共線，將n實現(xiàn)用t1,t2二元來表示，然后利用t1=3t2化簡得到n值.

評析：解法3主要還是假設(shè)直線方程，只不過假設(shè)的是直線CD,利用前面的結(jié)論1，容易發(fā)現(xiàn)下面的運算主要就是尋找k,t的關(guān)系，由于AC,BD交于同一點P，這樣可以對點P的縱坐標算兩次，建構(gòu)方程，得到x1+x2，x1x2之間的等量關(guān)系式.由于x1+x2，x1x2均能用k,t來表示，這樣就實現(xiàn)了建構(gòu)k,t的關(guān)系式，從而獲得問題的解決.

解法1設(shè)點P，思路明確容易上手，但是在算斜率和直線方程化簡時運算量大，學(xué)生容易受挫.解法2設(shè)直線，但是要假設(shè)兩條直線AC,BD，不易想到.然后需尋找兩條直線關(guān)系，并利用三點共線在溝通定點C,D,N坐標之間關(guān)系，實現(xiàn)n用t1,t2二元來表示.整個運算思路不易想到，運算量很大.解法3基于所求目標，直接假設(shè)CD直線方程為y=kx+t,然后直接尋找k,t關(guān)系，目標明確，思路清晰，運算量較小.在呈現(xiàn)多種解法之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析、比較方法的優(yōu)劣，突出對運算類問題基本解決步驟的提煉，深化學(xué)生對問題的理解與把握，從而提高學(xué)生運算中的化簡、推理能力，使得數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的課堂中落地.

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教育改革的目標之一，是提高數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的重要因素.教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要善于引導(dǎo)學(xué)生對算式的結(jié)構(gòu)進行深入觀察，實現(xiàn)運算式子的簡潔；要善于激發(fā)學(xué)生的直觀想象，從而明確運算的方向；更要提供平臺讓學(xué)生展示多種解法，在分析、比較中培養(yǎng)學(xué)生靈活選擇運算策略的能力.最后在運算的過程中要讓學(xué)生體會到其中的算理，總結(jié)運算過程的基本步驟，這不僅有助于學(xué)生對問題的理解與把握，還對提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)起著至關(guān)重要的作用.