積累基本活動經驗 發展數學核心素養
——以一道例題教學片段為例

江蘇省蘇州市吳縣中學 (215151) 吳海燕

《普通高中數學課程標準(2017年)》(下稱《課程標準》)自頒布以來，引起了許多一線教師的關注與熱議，大家最關心的是如何發展學生的數學核心素養.筆者在實踐中認識到,積累基本活動經驗不僅是“四基”的重要組成部分，也是學生提高“四能”、學會“三學會”的有效載體，更是學生發展數學核心素養的重要途徑，對于實現課程目標具有重要的意義.下面筆者以一道例題教學片段為例，幫助學生正確解讀和表征題目條件，運用數形結合、轉化等數學思想來解決問題，提升學生解決圓錐曲線綜合題的實戰能力.以此來幫助學生積累基本活動經驗，發展數學核心素養.

題目展示已知橢圓C的焦點為F1(-1,0)，F2(1,0)，過F2的直線與C交于A,B兩點．若|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

該題是2019年全國卷Ⅰ理科的第10題，涉及橢圓的標準方程、幾何性質和直線與橢圓的位置關系等基礎知識，難度中等偏上，題目敘述簡潔入口寬，能有效甄別學生的思維能力，更是考察學科素養的良好素材，所以筆者決定和學生們共同解決.

1．親歷活動，獲取基本活動經驗

一位名人說過：我聽過了，我就忘了；我看見了，我就記得了；我做過了，我就理解了.這句話道出了獲取基本活動經驗的重要性，學生在平時得到的經驗往往是感性的、碎片化的，難以完善自身的知識認知結構，而經驗性的認識往往是內隱的，這就需要我們教師設計、組織好每一個數學活動，以數學知識為載體，培養學生善觀察、樂傾聽、愛表達，會思辯的良好習慣，最終能使他們從感性認識上升到理性認識，并揭示出理性認識后的理性經驗.

師：同學們，拿到一個解析幾何問題，我們如何來審題？

生眾：邊閱讀題目信息、邊畫出其示意圖.

師：解析幾何問題盡可能將文字語言轉化為符號語言和圖形語言.能交流一下這道題的想法嗎？

師：生1具有強烈的定義意識，輕松得出了各條線段的長度，定義法是解決圓錐曲線問題的重要方法，順著生1的結果，大家能否根據題中的條件進行更深入的思考呢？

此時，教室里一片安靜，同學們都在認真的思考和運算，5分鐘后大部分同學都有了自己的想法，這時，生2的手舉得高高的，于是讓生2來說一下他的思路.只見生2不慌不忙走上講臺，一邊口頭表述，一邊在黑板上板演.

圖1

(寫到這里生2似乎很興奮)

師：生2能夠抓住解析幾何的本質—用代數的方法來研究解析幾何問題，用向量知識將長度關系轉化為坐標關系，結合方程組利用消元思想求解，整個求解過程體現了他較高的邏輯推理能力，較強的觀察能力，變形能力和運算能力，雖然過程繁瑣，但他還是順利的到達了終點，讓我們為生2這種堅韌不拔的精神點個贊(教室里響起了熱烈的掌聲).同學們!數學解題不僅是為了解決一個問題，更是培養我們一種契而不舍的精神，這對我們今后的學習和工作都是大有裨益的.那么這個題目還有別的思路嗎？請同學們分組討論一下.

學生們展開了熱烈的討論.一段時間過后，生3主動起來回答.

師：漂亮！生3先由線段關系發現點A的特殊性，而后迅速求出點B，再利用其在橢圓上得出了答案，快速簡潔的求解得益于他較強的直觀想象能力，這種數形結合的意識值得我們學習.還有別的解法嗎？

說完，我便在黑板上畫出了圖2.這時，發現平時向來比較活潑的生4正眉頭緊鎖，若有所思地看著黑板上的圖2，突然他興奮地跳了起來，走上講臺，一邊走一邊喊：我有更簡單的解法.

圖2

圖3

圖4

基本活動經驗的獲取強調學生的主體性,學生只有通過自己親身經歷的活動經驗才能更好地內化于心、外化于行,才能更好地發展數學核心素養.縱觀整個課堂，教師鼓勵學生自主探究、大膽陳述個人見解，引發學生進行充分的交流與真實的碰撞.在整個活動過程中，學從不同角度給出了試題的多種解法，而且通過在黑板上的講、畫結合的形式，給所有學生帶來一種別樣的解題體驗，不僅使大家對題目的本質有了較清晰的認識，而且獲取了幾何直觀助力代數推理和細致觀察決定運算變形等基本活動經驗，讓直觀想象、數學推理及數學運算等核心素養落地生根.

如果本題的教學僅限于止，學生則如“入寶山而空返”，收獲的只是解決問題的基本經驗，并未對解法的本質、各解法之間的比較等有更深層次的認識，不利于發展學生的數學核心素養.因此，需要教師幫助學生進一步提升基本活動經驗.

2．主動反思，提升基本活動經驗

學生經歷或參與了數學活動并不是就能自動地獲得充足的數學活動經驗，它還需要學生主動地對活動過程進行反思、總結和交流，及時概括所獲得的經驗，使已得經驗條理化和系統化.因此，教師應該引導學生對上述三個解法的由來、思維的過程以及運算的合理性等進行反思，讓其體會到弄清問題，擬定計劃在問題分析中的價值，養成批判性思維的習慣，以實現數學活動經驗從低層次理解到高層次建構的生長.

師：同學們，剛剛我們用三種不同的方法解決了這個高考題，著名數學家波利亞提出的“怎樣解題表”中“擬定計劃”非常關鍵，它能清晰的展現解題的思維過程，大家能分別列出這三種方法的思維導圖嗎？經過大家的共同努力，學生們很快得出了結果.

解法一思維導圖：

解法二思維導圖：

排尿性暈厥又稱小便猝倒，是指在排尿開始、排尿過程中或排完尿離開廁所時突然暈倒。主要是由于血管舒張和收縮障礙造成低血壓，引起大腦一時供血不足所致。暈厥持續的時間，少則數秒鐘，多則半小時，一般休息幾個小時就會恢復正常，不會留下后遺癥。排尿性暈厥多見于中老年男性，一般好發在夜間，常常突然發生，之前多無先兆。患有肺結核、神經衰弱和氣血兩虛的病人易發生此種暈厥。此外，病后體虛、過度疲勞以及飲酒等也可誘發這種現象。

解法三思維導圖：

學生制作思維導圖的過程是培養其自主、合作和探究的過程，宏觀上能夠在頭腦中梳理解題思路，再現分析問題的思維過程；微觀上通過線條將思維的觸角延伸到解題的每一個環節，使學生的思維對每一個環節都比較清晰，便于學生面對具體問題時進行方法遷移，體會“擬定計劃”之關鍵.

師：這三張思維導圖為我們提供了思考問題的引導框架，大家能談談你對這三種方法的認識嗎？

師：這需要我們有完整的知識結構和解題經驗的積累，并能在不同的情境下對問題進行轉化.

生6：解法二和解法三與解法一的運算順序相剛好反，都是先利用線段AF1,AF2的相等關系并結合圖形得出點A位置的特殊性(這里我覺得應養成把題中所求線段長及時標注在圖中的習慣，有利于發現幾何關系.)，從而迅速鎖定點A坐標，接下來，法二利用坐標關系便捷的算出點B坐標，法三則從圖形中的幾何特征入手，利用三角形相似也輕松得出了點B的坐標，真是殊途同歸呀！縱觀整個法二和法三的求解過程，不僅運算長度大大縮短，而且較法一大大降低了運算量.我認為解法三是最簡捷的解法，平幾知識的介入使其運算量小，且易于操作， 真正體現了多想少算的解題理念.因此，在解決圓錐曲線問題時，我們要注重充分挖掘圖形中的幾何關系，結合圖形的特點利用中垂線的性質、三角形相似的性質等進行邏輯推理和轉化求解，直到問題解決為止.這要求我們平時要注重對直觀想象和邏輯推理等能力的培養.

師：解法二和解法三的順利進行得益于點A特殊位置的發現，同時也向我們滲透了一種解題的哲學思想—普遍性都寓于特殊性之中，發現了問題的特殊性，就找到了問題的突破口.

學生通過對第一階段數學活動過程的反思和總結，雖然形成了較為有條理的數學活動經驗，但這時經驗的提升也僅限于解決一個高考題的活動經驗，同時，學生由于受自身知識水平、社會閱歷和解題經驗等因素的制約，很難將活動經驗順利應用于新的情境中去，這時，就需要我們教師幫助學生在合作交流的過程中促進數學活動經驗的內化和感悟，以便更好的實現遷移.

3.內化感悟，遷移基本活動經驗

教師作為數學教學的組織者、引導者，要幫助學生將數學活動中內隱的數學思想方法轉變成相對外顯的、可以表達的知識和技能等數學活動經驗，讓學生感悟到這種經驗已經脫離了某個具體的情境，顯得更加直觀，有一種“眼見為實”的感覺，而且在遇到新問題時可以自發的運用這些經驗成功解決，讓學生感覺到學習是快樂的.

師：同學們！到目前為止，大家對這道高考題的本質有了深刻的認識，解題的最高境界是從解題中學會解題，今后當我們面對一個陌生問題時，本題處理時的哪些經驗值得我們借鑒呢？

生7：解析幾何問題的求解不能更多的偏重于代數運算，而忽略對幾何性質的挖掘.

師：很好！解決任何數學問題都應從代數和幾何兩個維度來思考，這是一個普遍性的原理，解析幾何問題的求解也不例外，幾何性質運用恰當不僅可以優化算法路徑、縮短解題長度，而且還可以降低運算量，提高我們的正確率.因此，我們的解題需要數形結合意識.

生8：一個題目中如果有多個已知條件，在運算求解時必然涉及到先用哪個條件后用哪個條件的順序問題，按照不同的順序求解，往往能收到令人意想不到的效果.

師：生8的觀察很仔細，數學運算是高中數學六大核心素養之一，也是我們每天進行的數學活動，《課程標準》明確提出要在關聯的情境中設計運算程序，解決問題.這里設計運算程序就涉及運算順序問題，如果一味的按照題設條件的出場順序自然求解，難免會陷入困境，這就要求我們在擬定計劃時要有足夠的思維量，對解題中可能出現的繁簡程度和運算量作出預判，并及時進行修正和優化，確保設計出最合理的運算順序，來提高解題的速度和精準度.

因此，平時我們一定要加強自己的思維訓練，積累解題經驗，以便為解題時設計合理的運算順序提供依據.

生9：解題中我們還應加強對一些常見經驗的總結，比如，本題中兩個線段的等量關系，可以從向量的角度來處理.這些，有助于我們碰到類似問題時，能順利實現轉化.

師：著名數學家笛卡爾曾說過：“我解決過的每一個問題都成為日后用以解決其他問題的法則.”這句話強調了解題經驗積累的重要性，熟悉一些經典套路，多往典型題型上靠攏，有助于提升我們看問題的起點，跨越思維障礙，快速、準確的洞悉問題的本質，制定出可行的解題計劃實現順利求解.這就要求我們的數學解題要實現從“就題論題“到”經驗積累“的跨越，因為這些經驗才是我們今后解決相關問題的利器.

學生對相關解題經驗的分享，旨在由此及彼，由點到面，獲得解決類似數學問題的經驗，這些經驗的內化，不僅能更好的幫助理解基礎知識，掌握基本技能得，感悟數學基本思想，而且能對基本活動經驗本身產生再認和再生，有利于學生形成更高和更完整的認知結構，養成用一般觀念思考問題的習慣.比如，這道高考題與生4所說的題目雖然呈現方式不一樣，但如果學生積累了 “降維”的基本活動經驗，三角形相似方法的出現便是基本活動經驗順利遷移的產物.

總之，作為一名數學教師，我們應在課堂教學中給學生提供充分數學活動的機會，注重積累和提升學生的數學活動經驗，讓學生在對話交流與深刻反思中理解數學的本質，獲取理性的數學經驗，并學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界，從而有效的促進數學核心素養的形成與發展.