設(shè)計模型認(rèn)知活動 培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (363000) 吳莉莉 林新建

“模型認(rèn)知”是通過對條件與結(jié)論的充分剖析，聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法的數(shù)學(xué)解題策略.設(shè)計“模型認(rèn)知”活動的關(guān)鍵在于構(gòu)建出問題的輔助模型，這個“構(gòu)建”過程包括：這是什么模型的問題嗎？這類模型問題求解的關(guān)鍵是什么？如何構(gòu)建出利于問題求解的輔助模型？如何基于輔助模型將問題簡單求解？

通過上述問題，“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，進(jìn)而“分析問題、構(gòu)建模型，求解結(jié)論”，在這個過程中，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)得到了很好地培養(yǎng)和發(fā)展.

本文以全國卷高考試題為例，就“模型認(rèn)知”活動的設(shè)計在培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)上的意義與作用作一闡釋，以饗讀者.

1.設(shè)計“模型識別”認(rèn)知活動，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

設(shè)計“模型識別”認(rèn)知活動，對題設(shè)給出的模型進(jìn)行識別，進(jìn)而借助模型特征將問題輕松予以解決.

例1 (2013全國Ⅰ文16)若當(dāng)x=θ時，函數(shù)f(x)=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=.

分析：本題依常規(guī)方法求解較為繁瑣，若能基于問題的特征引領(lǐng)學(xué)生對給定函數(shù)模型作識別，不難將問題輕松予以求解.為此，教學(xué)可通過如下問題設(shè)計“模型識別”認(rèn)知活動：

問題1：這是什么模型的問題？

問題2：這類模型問題的特征是什么？

問題3：能否借助這個特征將問題簡化求解？

評析：在上述活動中，學(xué)生經(jīng)歷了“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出基本關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”，以及“探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，求得運(yùn)算結(jié)果”的完整過程，無疑，數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)得到了很好地培養(yǎng)和發(fā)展.

2.設(shè)計“模型還原”認(rèn)知活動，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

設(shè)計“模型還原”認(rèn)知活動，對題設(shè)給出的模型進(jìn)行還原，進(jìn)而借助原始模型將問題輕松予以解決.

例2 (2015新課標(biāo)Ⅰ理16)在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是.

分析：本題直接求解難度很大，但若能將四邊形的原始模型還原出來，則問題可輕松獲得解決.為此，教學(xué)可通過如下問題設(shè)計“模型還原”認(rèn)知活動：

問題1：這個圖形的變化特點(diǎn)是什么？

問題2：能否利用這個特點(diǎn)構(gòu)造出求解問題的原始模型？

問題3：如何基于原始模型將問題簡單求解？

通過問題1，引領(lǐng)學(xué)生“認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律”，明了這一動態(tài)四邊形的特點(diǎn)；通過問題2，引領(lǐng)學(xué)生“分析問題、構(gòu)建問題的直觀模型”，明了可將圖形還原成三角形；通過問題3，引領(lǐng)學(xué)生“建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問題的思路”，明了找出原始三角形模型，則問題容易獲得解決.

圖1

評析：在上述活動中，學(xué)生經(jīng)歷了“認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動規(guī)律”，以及“分析問題、構(gòu)建問題的直觀模型”和“建立形與數(shù)的聯(lián)系，探索解決問題的思路”的完整過程，無疑，直觀想象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

3.設(shè)計“模型構(gòu)建”認(rèn)知活動，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

設(shè)計“模型構(gòu)建”認(rèn)知活動，構(gòu)建出待解問題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而借助構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型將問題輕松予以解決.

分析：本題是三角形求解問題，因?yàn)轭}設(shè)僅告知一邊一角，無法直接運(yùn)用正、余弦定理予以求解，怎么辦？其實(shí)，若能注意到這是最值求解問題，則不難想到引入變量，構(gòu)建出待求最值關(guān)于這個變量的函數(shù)模型，進(jìn)而運(yùn)用通法“知三求三”將問題輕松予以解決.為此，教學(xué)可通過如下問題設(shè)計“模型構(gòu)建”認(rèn)知活動：

問題1：由題設(shè)條件，你能解這三角形嗎？

問題2：你是否注意到問題的模型特征？這模型特征給你的啟示是什么？

問題3：如何基于特征構(gòu)建求解模型？如何基于輔助模型將問題簡單求解？

通過問題1，引領(lǐng)學(xué)生“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系”，即這是解三角形問題，但題設(shè)僅告知一邊及其對角，是無法運(yùn)用通法“知三求三”以求解的；通過問題2，引領(lǐng)學(xué)生“從數(shù)學(xué)的視角分析問題、構(gòu)建模型”，即明了這是最值求解問題，必須構(gòu)建函數(shù)模型予以求解，這是問題獲解的關(guān)鍵；通過問題3，引領(lǐng)學(xué)生“驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題”，即構(gòu)建出待求最值x=θ的函數(shù)模型，且引進(jìn)一個角比引進(jìn)一條邊作為變量更能簡化問題求解.

評析：在這個“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)”的過程中，學(xué)生“從數(shù)學(xué)的視角分析問題、構(gòu)建模型”，進(jìn)而“求解結(jié)論，驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題”，在這個過程中，邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)得到了培養(yǎng)和發(fā)展.

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種內(nèi)在的思維品質(zhì)和能力，它很難直接地被觀察，教師在教學(xué)設(shè)計時，要將數(shù)學(xué)素養(yǎng)同具體的情境與問題相連，通過創(chuàng)設(shè)不同的認(rèn)知活動，讓學(xué)生在日積月累的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不斷地進(jìn)行“數(shù)學(xué)認(rèn)知”，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，才能切實(shí)有效地培養(yǎng)起數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).