多視角生成微專題 全面提升核心素養

成震林 (江蘇省灌南高級中學 222500)

在平時教學中，許多數學教師會穿插微專題教學，以重點突破某類問題． 但如果僅僅是將一些難題分類堆積，由教師集中講解，學生不能有效參與，也不能構建完備的知識體系，這樣的微專題教學只能停留在形式上，教學效果并不理想． 微專題的生成不要受內容章節和形式的限制，要打破各種束縛，從多種視角去切入和生成，幫助學生構建完備的知識體系，全面提升學生的數學核心素養． 我校比較重視數學微專題教學，也有多年的實踐經驗，下面介紹我校常用的幾種生成數學微專題的方式．

1 由典型數學結構切入的微專題

此類微專題的定位是高中數學中的基本數學結構． 圍繞典型問題，研究這類問題的解題規律和數學結構，在拓展提升中提煉出一般性的數學結構和對應的解決方法． 最后將包含典型數學結構的試題經過改編和變式，打磨成微專題．

此類微專題的教學過程中，教師要引導學生自己去體驗，提煉出數學結構和對應的解決方法． 教師要引導學生自己去思考，主動去構建，在探索嘗試中尋找解題方法，在抽象概括中提煉數學結構． 這些數學結構和對應的解決方法不要直接告訴學生，因為空洞的說教，沒有學生自己真切的體驗，教學效果甚微．

案例1基本不等式應用——多元問題

例2已知實數a,b,c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是．

變式 已知實數x,y,z，滿足x+y+z=1，x2+y2+z2=3，則z的最大值為．

例3已知實數a,b,c滿足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，則b的取值范圍是．

變式 已知實數a,b,c滿足a+b+c=9，ab+bc+ca=24，則abc的取值范圍是．

鞏固練習：1.已知x,y,z均為正數，xyz(x+y+z)=1，求證：(x+y)(y+z)≥2.

設計意圖章建躍認為，數學思想方法是具有普適意義的、遷移能力強的根本大法[1] 594，所以要讓學生在掌握數學結構和感悟數學思想中提升數學核心素養． 本微專題以變式題組的形式出現，圍繞多元問題處理的主要方向——減元，以一條主線將這些題組聯系起來． 學生需要對這一數學結構有清晰的認識和整體的把握，才能靈活運用，所以要由淺入深，層層推進，讓學生掌握數學結構和對應的處理方法，并感悟其中的數學思想．

小結此微專題是本人高三教學中的一節公開課所用材料． 對于數學中的典型結構，有時學生缺乏深刻的認識，更不能靈活運用到綜合題的解題中去，所以要抓住這些典型的數學結構去切入和生成微專題． 圍繞數學中的典型結構去生成微專題是我校數學微專題教學中經常采用的形式，我校在高三教學和高一、高二的階段性復習教學中，都會穿插此類微專題的教學．

2 由高頻考點切入的微專題

為了全面提升學生的核心素養，可以由高考題中的高頻考點切入，打磨成實用性和個性化的微專題． 高考題中的高頻考點往往折射出高中數學的核心知識，通過此類微專題的針對性訓練，使學生掌握高中數學的基本思想和方法． 在教學中要讓學生自己去體驗和感悟基本數學思想和方法，形成自己的知識經驗結構，并轉化為自己的經驗和習慣，學生才能真正掌握[2]192．

案例2導數應用——不等式恒成立問題

(一)高考真題重現

1.已知函數f(x)=ex+e-x，其中e是自然對數的底數.

(1)證明：f(x)是R上的偶函數；

(2)若關于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立，求實數m的取值范圍；

2.已知函數f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).

(2)若01，函數g(x)=f(x)-2有且只有一個零點，求ab的值．

(二)典型例題

(1)若函數f(x)的圖象在x=0處的切線與直線x+y=0垂直,求a的值；

(1)當a=2時,求出函數f(x)的單調區間；

(2)若不等式f(x)≥a對于x>0的一切值恒成立，求實數a的取值范圍．

3.已知函數f(x)=ex-e-x-2x.

(1)求出函數f(x)的單調區間;

(2)若不等式f(2x)-4bf(x)>0對于x>0的一切值恒成立，求實數b的取值范圍．

4.已知函數f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

(1)討論函數f(x)的單調性;

(1)求證:函數y=f(x)在區間(1,e)上存在最大值;

設計意圖此微專題是我校一位骨干教師的高三公開課材料，課后本人和他就此微專題的生成視角和方法作了深入的交流． 此微專題生成的視角是高頻考點——不等式恒成立問題． 處理不等式恒成立問題的主要方法是構造函數，在構造函數時有直接構造和分離參數兩種主要途徑，圍繞這兩種方法去打磨題組，通過不同背景的問題讓學生體驗解題路徑選擇的重要性，并提高學生陌生環境下對這一基本方法的靈活運用能力和數學素養．

小結高頻考點往往是高中數學的主干，是考查學生數學素養的重要載體． 圍繞高頻考點去切入和生成微專題具有較強的教學實效性，所以受到我校教師的特別青睞． 在階段性復習中，對于相同或相近的高頻考點，可將它們按照一定的主線去生成微專題，突出其中的數學思想和數學方法，培養學生的數學核心素養．

3 由知識體系切入的微專題

數學的嚴謹性、抽象性的學科特點，使得數學教學中強調系統化策略更顯重要． 系統化、結構化的知識遷移能力強，在新的認知活動中能發揮積極、有效的作用[2]180． 此類微專題生成的視角要跨越章節界限，按照一條主線將零散的知識按照內部的邏輯整合起來，讓學生參與知識體系的建構過程． 學生只有經歷了對知識的深加工過程，做到知識的結構化、自動化和策略化，才能有效地用來創造性地解決問題[2]91．

案例3一道課本習題的研究與拓展

問題1已知圓C的方程為x2+y2=r2，求經過圓上一點M(x0,y0)的切線的方程. (蘇教版必修2第105-107頁)

變式1 已知圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，求經過圓上一點M(x0,y0)的切線方程.

變式2 已知圓C方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，求經過圓上一點M(x0,y0)的切線方程.

問題2比較切線方程與原方程，形式上有什么變化規律？

過拋物線y2=2px(p>0)上一點M(x0,y0)的切線方程為.

變式3 已知圓C的方程為x2+y2=r2，若M(x0,y0)為圓外一點，會有怎樣的結論？

變式4 已知圓C的方程為x2+y2=r2，若M(x0,y0)為圓內一點，過點M(x0,y0)作動弦AB,過A，B分別作圓的切線，設兩條切線的交點為P，求證：點P恒在一條定直線上運動.

圖1

鏈接3 已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過點A(1,2)，求過兩點P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直線的方程. (蘇教版必修2第77頁)

鏈接4 已知圓C的方程為x2+y2=r2，直線l:ax+by=r2.

(1)當點P(a,b)在圓C上時，l與C具有怎樣的位置關系？

(2)當點P(a,b)在圓C外時，l與C具有怎樣的位置關系?(蘇教版必修2第106頁)

設計意圖此微專題是我縣名師領航團隊活動中我校一位教師上的公開課材料． 我校數學教師平時注意對知識的拓展和提升，將可以組塊的知識通過一條主線聯系整合起來． 因為數學能力是在獲得數學知識、數學技能的基礎上，通過廣泛遷移，不斷概括化、系統化，即類化而實現的[2]219，此類微專題承載著健全學生知識體系和提升學生數學核心素養的功能．

小結在我校數學探究性學習或者高三一輪復習中，此類微專題很有用武之地． 圍繞知識體系生成的微專題，可以通過相近知識的類比和聯系形成知識體系． 由此視角生成的微專題讓學生站在系統的高度去掌握和運用知識，幫助學生挖掘知識之間的內在聯系，使學生建立清晰、穩定、可辨別的、遷移能力強的“數學知識結構圖”． 使學生不僅理解知識及其蘊含的數學思想方法，而且懂得知識間的邏輯關系、聯系方式[1]733．

4 由易錯點切入的微專題

要全面提升學生的數學素養，針對學生的易錯點進行補救也是行之有效的辦法． 學生的錯誤可能是由概念理解的偏差或者不良的思維習慣所導致的，也可能是對數學的本質缺乏深刻的理解．

通過課堂對話、批改作業、學生板演、個別輔導等多種形式進行師生交流，找出學生知識的漏洞和思維的偏差，從而針對性地設置個性化的微專題． 例如，學生三角函數中的某類題目沒做好，找出學生沒做好的原因，如對誘導公式的連續使用不熟悉，就可以設計一個“誘導公式連續使用”的微專題． 又如，學生對解析幾何計算方法的選擇和優化意識不強，可以針對性地生成一個“解析幾何計算方法的選擇和優化”的微專題．

小結查漏補缺是教學中的常見術語，但在數學教學中如何科學有效地落實，由易錯點切入的微專題是非常有效的辦法． 我校數學教研組非常重視此類微專題的收集、整理和優化，在適當的時機穿插使用，對于優化學生的知識結構發揮了重要作用．

以上幾種微專題生成的視角雖然不同，但它們都是我校數學教學中生成的實用性強且具有個性化的微專題的重要方法． 多視角生成微專題是傳統教學的突破和創新，是對重難點內容的強化和提升，更是我校在全面提升學生數學核心素養方面的積極探索．