合理引導 有效探究
——“直線與橢圓”復習課教學實錄與反思*

張 琥 (北京外國語大學附屬蘇州灣外國語學校 215200)

1 基本情況

1.1 授課對象

教學對象是省四星級學校高三理科班學生，數學基礎較好，有一定的自學能力、推理能力及運算求解能力．

1.2 教材分析

直線與橢圓的綜合題是解析幾何中的重點問題，江蘇高考卷中必考的大題，學生對這類問題，常常是有解題思路，但是在運算時字母多、式子繁，很難找到合適的方法來處理，而且運算量較大，有的學生甚至一遇到這類問題就有畏懼感． 直線與橢圓所涉及的知識點較多，對解題能力的考查層次要求也較高，所研究的問題是直線與橢圓的位置關系、定點(定值)、最值以及參數取值范圍等． 解決這類問題一定要注重通性通法，不能簡單地尋找一個個的解題套路，要在審題和解題策略上下功夫，通過強化訓練，不斷克服解題中的運算難關，以達到優化解題過程的目的．

1.3 教學目標

(1)感知直線與橢圓的有關問題；明確直線與橢圓的常見問題及解題策略；運用直線與橢圓的定義、方程及性質來解決直線與橢圓中的定點問題；鞏固解析法的基本思想．

(2)在解決問題的過程中，體會直線與橢圓的位置關系的判定方法，領悟函數與方程的思想方法；經歷運用橢圓定義與性質解決問題的探索活動，積累如何選擇恰當的方法解決具體問題的經驗，逐步培養學生的分析問題和解決問題的能力．

(3)感受數學活動是充滿探索性和創造性的，樹立運算的信心和耐心，提高學習數學的興趣與數學學習力．

教學重點 如何將曲線的幾何特征準確地轉化為代數形式，根據圖形研究直線與橢圓中的定點問題．

教學難點 如何選擇合適的方法來解決直線與橢圓中的定點問題．

2 教學過程

2.1 提供資源，入境生趣

課前教師給出5道基礎題(引例)，通過問題引導學生復習直線、橢圓的基本知識和基本思想方法，為本節課的學習做好心理和知識準備．

1．將圓x2+y2=4上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的一半，求所得曲線的方程，并說明它是什么曲線．(蘇教版選修2-1第29頁例2)

說明通過課本題和改編高考題的對比練習，讓學生及時查閱課本，尋找相關信息，從比較中明辨道理，引起學生積極地思考，使學生主動投入到本節課的學習情景中，對高考試題充滿期待，為后續學習作鋪墊．

2.2 自學生疑，了解學情

師：同學們課前做的5道題，都是直線與橢圓有關的基本問題，而要解決這些問題，我們一定要具備直線與橢圓的相關知識，那么你能聯想到哪些基本知識和方法？把你想到的都寫出來． (教師巡視發現寫得比較好的在展臺上展示，并和學生一起補充完善)

生1：(1)直線方程的常見幾種設法：y-y0=k(x-x0),y=kx+b,x=my+n；(2)橢圓的定義、標準方程及簡單的幾何性質．

生3：弦的中點或中點弦的問題，除利用韋達定理外，還可以運用“差分法”(也叫“點差法”)．

……

師：大家回顧、總結得比較全面，復習就是要建構知識網絡，以自己的方式建立起對問題的理解，達到知識間的前后聯系、融會貫通．

2.3 學習釋疑，弄清疑難

師：請同學們回憶課本題的解法，并認真思考，也可討論與交流，你能用幾種不同思路和方法解答如下的高考題？(引導學生思考、分析、解題，教師點撥)

圖1

生7：如圖2，設AF=m,BF=n，AB的傾斜角為α，由橢圓第一定義及余弦定理得

圖2

4c2+n2-4cncos(π-α)=(2a-n)2， ①

4c2+m2-4cmcosα=(2a-m)2． ②

師：請同學們總結、反思，每一種解法各有什么特點？

生8：第一、第三種方法是代數法，這是解決此類問題的通性通法，易想但運算量偏大，且運算過程中易出錯；第二種方法是幾何法，運用平面幾何知識和橢圓的第二定義，解題簡潔、運算量小，是4種方法中較好的解法；第四種方法是用余弦定理和橢圓第一定義來解的，解法也比較好．

師：評析得非常好． 請同學們評價一下，以上哪種解法更符合你的思維習慣？更容易想到？哪種解法你覺得思路比較難于發現？

(學生個人解題感受略)

師：此高考題的求解思路是源于課本題的，所以我們在復習過程中一定要重視課本例習題． 我們知道，在圓中有如下結論：已知AB為圓x2+y2=a2的直徑，P為圓上任意一點，若PA,PB的斜率均存在且不為零，則kPAkPB=-1．

由此，我們可以聯想到橢圓，在橢圓中有類似的結論嗎？如有，那結論又是什么？

圖3

師：我們利用變換(*)將圓中的結論遷移到橢圓中，此方法是發現橢圓中結論的一個重要途徑． 其實，這是圓中的結論在橢圓中的推廣，它揭示了橢圓的本質屬性，是一個重要結論，利用此結論還可以解決一些其他問題．請同學們看例2：

圖4

學生思考、解答，教師巡視，然后展示學生的解法．

師：這兩個同學積極思考，靈活運用所學知識，將原有問題進行變式和推廣，提出新問題，這種學習方法值得大家學習． 那么，他們倆得出的結論是否成立？若成立，大家能證明嗎？(學生討論、交流，教師巡視、點撥． )

生12：第一個結論成立，直線AB是經過原點的，對于第二個結論我還沒有解出來．

師：大家討論得很好，計算的結果是正確的．

2.4 引導實踐，遷移創新

師：大家討論、探究的學習熱情非常高漲，老師很高興． 下面我們再看一道高考題：

圖5

(1)設動點P滿足PF2-PB2=4，求點P的軌跡；

(3)設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關)．

圖6

師：以上幾個問題都與定點有關，題與題之間相互關聯，可拓展引申． 這給我們的啟示是學習要學會舉一反三，由表及里，融會貫通，這樣才能抓住問題的本質，善于發現問題和提出新問題，提高自己的數學學習力．

2.5 點難撥疑，練習解難

師：請同學們看課堂練習，并思考、分析、求解．

圖7

師：同學們都做好了，請大家說說自己的解題思路和結果(過程略)．

師(追問)：如果把橢圓改為雙曲線，則在雙曲線中的結論又是怎樣的？

師：同學們分析得太好了，值得表揚． 請大家課后完成證明． 練習1是由特殊到一般的解題過程，我們利用橢圓定義來處理焦點三角形的方法不斷強化，以此推出一般情形的三角形面積表達式，進而由橢圓到雙曲線，由定義類比到算式，由圖形特征到嚴密的求解． 通過計算和類比，達到鞏固本節課的核心內容． 練習2與課前練習第5題的結論，形變神不變，大家課后再好好體會其中的關聯．

2.6 反思學習，反思教學

師：通過本節課的學習，你學到了哪些知識？哪些數學思想和方法？

生17：(讓學生自己談本節課學習收獲與體會，并相互交流，教師點評)解決直線與橢圓中的定點問題，可分成三個步驟：首先聯立直線和橢圓兩個方程，消元后所得一元二次方程的判別式和韋達定理正確列出；其次用兩個交點的同一類坐標的和與積，來表示題目中涉及的位置關系和數量關系；再次把前面兩步得到的結果綜合起來，解轉化而來的純粹代數運算問題，并將結果化歸到原來解析幾何問題．

師：今天我們主要學習的是直線與橢圓中的定點問題． 通過對問題適當挖掘與變式、拓展與引申，加深對直線過定點問題的理解，在解后反思中提煉數學思想方法和解決問題的策略，在變式訓練中發展合理運用數學思想方法的能力，實現解題策略和解題方法的遷移，提高我們的解題能力．

布置作業(略).

3 回顧與反思

本節課遵循“知識問題化，問題情境化”的教學理念，運用“引導—探究”式進行教學． 教學立足于“四基”，學生在學習了直線和橢圓的基礎知識，掌握了研究問題的基本方法的前提下，以直線與橢圓的重點知識為載體，聚焦解析幾何的核心思想與方法，進一步探究直線與橢圓中的定點(值)問題． 設計一個核心，多個層次，多種選擇． 從引導學生發現問題，抓住核心問題，到經歷動手實踐、討論交流、總結歸納等活動，分析解題思路，完善解題過程，促進學生數學素養的提升．

3.1 問題引領，優化認知結構

從課本例習題出發進行教學，不但有利于引導學生在復習中重視課本的再學習，而且讓學生了解課本題與高考題之間內在的聯系，消除學生對高考題的神秘感，幫助學生學會思考，看清問題的本質． 本設計對例題的處理用“概念+問題+數學思想方法”引領解題方法和技巧，不僅讓學生深刻領悟“幾何問題代數化”的解析幾何核心思想方法，而且還通過探究使學生充分體會函數與方程、數形結合、等價轉化等數學思想．

例1的四種方法，看似是不同的解法，但其實質均是對題目中幾何條件的認識，對幾何構圖的分析． 代數工具的使用，一定是建立在對幾何問題充分認識的基礎上的，只有對幾何問題自身認識清楚，理解到位，才能將其準確地轉化為代數問題，才能選用簡潔合理的代數方法進行求解，并在其基礎上產生新的認知和理解、拓展與延伸，在方法研究中提升學生的轉化能力．

3.2 引導探究，發展數學思維

教師是學生學習的引導者，引導學生激活進一步探究所需要的先前經驗． 教學時要善于引導學生回顧先前經驗，促進學生對先前經驗的重新組織、歸納和深化，最終達成學習結果. 在教學中，教師要著重設計出適合的數學探究活動，引導學生變“聽數學”為“做數學”，變“看示范”為“動手操作”，變“機械接受”為“主動探究”，使學生在探究活動中加深對數學基礎知識和基本技能的理解與掌握，感悟和運用數學思想方法，發展學生的數學思維，提高他們的解題能力．

在研究解析幾何問題時，要用運動變化的眼光審視圖形，關注運動變化中不變的位置關系和數量關系． 也就是說運動變化是解析幾何思維的起點，抓住運動變化中的不變關系是解析幾何思維的落腳點，而這正是以準確分析幾何構圖為基礎． 例如，將直線與圓中的相關結論，通過壓縮變換，進而聯想、類比到直線與橢圓中的結論，再進行變式、拓展. 從這些操作和探究的表象中深刻思考，挖掘和感悟探究活動背后隱含的數學方法和原理，探究活動的核心是思維．

3.3 拓展引申，提升關鍵能力

例2、例3從不同的視角加以分析、引申和拓展，既考查了思維的過程與方法，又考查學生的運算求解能力，凸顯思維的靈活性和深刻性. 復習教學就要對問題的“源”與“流”進行剖析，本課的三個層次的問題(課本題、變式題、拓展引申題)，各題目之間既相對獨立，又有緊密聯系，形成相對完整的知識網絡，不同層次的學生學有所得．

所選例題都是在課本題的基礎上發展而來，環環相扣，層次遞進，知識間聯系緊密，思想上一脈相承，方法上各有不同． 課堂練習是對開始問題情境的呼應，又為接下來研究直線與圓錐曲線的最值和軌跡問題埋下伏筆，起到承上啟下的作用． 教學中，要培養學生對原問題的變式拓展的探究和創新能力，通過變式研究深化對問題的理解，揭示問題的本質． 通過多層次、多角度地提出問題和研究問題，才能不斷地獲得新的發現，積累新的解題經驗，提高解題水平，提升數學關鍵能力．

3.4 不足與改進

本節課還有一些缺憾和需要改進的地方，如合理運用信息技術，以此提高數學教學的有效性，這方面做得不到位，課上僅是PPT的靜態展示，而幾何圖形的動態化、直觀可感，以及解析幾何中蘊含的動中有靜的幾何特征體現不夠． 小結是一節課必不可少的環節，如果能把一節課的知識、技能和方法總結歸納出既有思想又有文化的小結，則是完美收官，本節課由于留給學生交流、探究的時間較多，課堂小結很倉促． 如果前面的時間安排緊湊點，小結就更豐富了．