中學數學教學思想和方法研究

[摘要]數學思想是分析、處理和解決數學問題的根本想法，是對數學規律的理性認識.筆者認為，目前應予以重視的數學方法有：化歸法、數學模型法、數形結合法、方程法、函數法等.

[關鍵詞]初中數學;數學思想;教學研究

作者簡介：張涵（1981），碩士研究生，中學高級教師，從事中學數學教學工作.

數學思想和方法是數學的靈魂，是數學的本質所在.教學研究是培養“學生終身學習”和“可持續發展”的必由之路.只有把二者有機地結合起來，才能培養出適應未來社會需要的具有高層次文化素養的合格人才.

轉變傳統的課堂教學觀念，重視數學思想和方法的綜合滲透美國心理學家布魯納認為，“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構”所謂基本結構就是指“基本的、統一的觀點，或者是一般的、基本的原理”“學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯的”.數學思想和方法是數學學科一般原理的重要組成部分.當學生掌握了一些數學思想和方法，再去學習相關的數學知識，就屬于下位學習了.下位學習所學知識“具有足夠的穩定性，有利于牢固地固定新學習的意義”，即使新知識能夠較順利地納人學生已有的認知結構中去.學生學習了數學思想和方法就能夠更好地理解和掌握數學內容.現代數學教育強調學習數學不僅僅是獲得知識與技巧，而是在探究知識與技巧的過程中掌握數學思想和方法，用數學思想和方式去思考和認識客觀事物.

中學數學中的主要數學思想和方法

在教學內容的選擇上，筆者一直奉行“精簡實用”的原則，大膽地拋棄一些煩瑣無意義的知識，在一些值得花時間的內容上用足功夫，使得一些策略性和原理性的東西得到充分的理解，進而使學生能夠有充足的時間進行充分的探究去體會其中蘊含的數學思想和方法.所以，針對教學內容的不同特點，選擇恰當的探究方式才能夠充分體現其特有的思想方法和探究能力.下面結合教學內容，談一下筆者的做法和體會.

1.運用“數學化歸思想和方法”，使學生形成良好的認知結構

學生的認知結構是從所接受的知識轉化而來的.在轉化過程中，都是以學生原有的認知結構為基礎的，這其中數學方法起著重要的作用.例如，用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a=0），從學生的認知角度來講，這是一個同化的過程，而這個同化過程是否順利，與學生對配方法的理解和掌握有著極為密切的關系.為此，在課堂教學中，對待這一新的問題，筆者引導學生首先回顧形如x=a（o》0）的解法的根本依據，然后引導學生將ax2+bx+c=0（a=0）這類方程與已經解決的形如x2=a（o》0）的方程進行比較.在比較的過程中，學生發現可以通過配方將方程ar+bx+c=0（a=0）化成x2=a（o》0）這種形式，進而可解.這其中就是運用已有的開平方法和二次三項式的配方的知識點，將未知的問題轉化為已有的知識來解的化歸的數學思想和方法.再比如，p為何值時，不等式0≤x2+px+5≤1恰好有一個解？引導學生分析：本題顯然很抽象，若單純從代數不等式的解法去考慮，則顯得較繁.我們把抽象的代數不等式的解法轉化、歸結為具體的幾何圖形來考慮，可知y=x2+px+5是一條開口向上的拋物線，而1是平行于x軸的直線，綜合考察這條拋物線的頂點與這條直線的位置關系，本題的解法就明朗了.這種方法在許多方面有著廣泛的應用，如二元一次方程組的解法，幾何中的有關計算，等等.通過多次的探索，學生發現化歸的方法有著如圖1所示的內在關聯

通過這樣的思想和方法的滲透，使得學生不但掌握了新的教學內容，同時在探究的過程中對化歸的思想有了充分的理解，對今后進一步學習和提高起到了重要的作用.

2.運用方程思想，倡導學生形成知識遷移的能力

方程思想在中學數學中應用較廣是聯結初中數學與高中數學的一條紅線.由于其特殊性，教師在教學過程中更要加強引導，使學生充分體驗到其中的內涵，使學生在此問題的處理上能達到一個更高的平臺.例如，如圖2，已知有一塊三角形的余料ABC，它的邊BC=54，高AD=36，要把它加工成一個鄰邊之比為2：3的矩形，使矩形較長的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，求加工成的矩形的長和寬.

在此題的解答上學生能掌握的是利用相似三角形的性質，得到等量關系式：AH：AD=QP：BC，但在計算的過程中發現設QP=3x，PN=2x，對此題的解法顯得快捷而方便.所以對此類方法的研究，加深了學生的理解能力，也充分體現了方程思想在幾何題型中運用的優越性.

3.用特殊到一般的方法，設置探究平臺

探究的集中表現是解決問題，然而對于綜合性較強的問題，由于是涉及的知識點多、思想和方法運用多的題目

學生的連續思維的能力的差異，給探究工作帶來了一定的難度.為此，在平時幾何的課堂教學之中，筆者特別強調學生對習題的總結、歸納并使他們盡可能地掌握常見的基本幾何模型及其數量關系，使學生掌握這些簡單的幾何模型之間的變序、一般化、特殊化等數學中發生、發展問題的常用方法，使學生提出問題和自主探究的能力得以不斷加強.

比如，2003年上海市中考數學最后題：如圖3，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧，點E是邊AD上的任意一點（點E與點A，D不重合），過E作弧AC所在圓的切線，交邊DC于點F，G為切點（1）當∠DEF=45時，求證：點G為線段EF的中點;（2）設AE=x，FC=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域;（3）將△DEF沿直線EF翻折后得△DEF，如圖4，當EF=時，討論△ADD6與△EDF是否相似.如果相似，請加以證明;如果不相似，只要求寫出結論，不要求寫出理由這道題目的幾何原型即為四邊形部分的一道幾何題目：如圖5，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上.（1）若∠EAF=45°時，能否得到EF=BE+DF;（2）若EF=BE+DF，能否得到∠EAF=45°，請說明理由

通過對這道題目的變化規律的探索，不難發現滿足這一變化規律的點C即△AEF的邊EF的高的軌跡，即為本題的圓弧，而EF是切線（圖6）.教師運用多媒體課件加以演示，増強學生的直觀認識，在這個核心的基礎上加上了切線長定理應用的基本圖形和翻折的基本圖形，而后兩部分圖形學生是非常熟悉的.通過這一探究過程使學生充分地認識到由特殊到一般的解題思路的重要性.

中學數學思想的教學層次及模式

1.中學數學教學內容的層次中學數學教學內容從總體上可以分為兩個層次：一個稱為表層知識，另一個稱為深層知識，表層知識包括概念、性質、法則、公式、公理、定理等數學的基本知識和基本技能，深層知識主要指數學思想和數學方法.表層知識是深層知識的基礎，是教學大綱中明確規定的，也是教材中明確給出的，以及具有較強操作性的知識.學生只有通過對教材的學習，在掌握和理解了一定的表層知識后，才能進一步地學習和領悟相關的深層知識深層知識蘊含于表層知識之中，是數學的精髓，它支撐和統帥著表層知識教師必須在講授表層知識的過程中不斷地滲透相關的深層知識，讓學生在掌握表層知識的同時，領悟到深層知識，才能使學生的表層知識達到個質的“飛躍”，從而使數學教學超脫“題海”之苦，使其更富有朝氣和創造性.那種只重視講授表層知識，而不注重滲透數學思想和方法的教學，是不完備的教學，它不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，使學生的知識水平永遠停留在一個初級階段，難以提高.

2.數學思想方法的教學模式數學表層知識與深層知識具有相輔相成的關系，這就決定了教師在教學中的辯證統一性.基于上述認識，筆者給出了數學思想和方法教學的一個教學模式：操作一掌握一領悟.對此模式作如下說明：（1）數學思想和方法的教學要求教師較好地掌握有關的深層知識，以保證在教學過程中有明確的教學目的;（2）“操作”是指表層知識教學，即基本知識與技能的教學“操作”是數學思想和方法教學的基礎;（3）“掌握”是指在表層知識教學過程中，學生對表層知識的掌握.學生掌握了一定量的數學表層知識，是學生能夠接受相關深層知識的前提;（4）“領悟”是指在教師引導下，學生對掌握的有關表層知識的認識深化，即對蘊于其中的數學思想和方法有所感悟，有所體會;（5）數學思想和方法教學是循環往復、螺旋上升的過程，往往是幾種數學思想和方法交織在一起，在教學過程中依據具體情況在一段時間內突出滲透與明確一種數學思想或方法，效果可能會更好一些.通過教學研究培養學生的數學方法是筆者的一個大膽設想和在教學上的一個突破，對于這一點筆者有很清楚的認識，這一步跨出去也許不知前面路在何方，但筆者相信這一步邁的是對的路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索