幾何畫板在初三專題復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用
——以“二次函數(shù)圖象”為例*

馮 偉 (江蘇省蘇州市景范中學(xué)校 215000)

張 驊 (江蘇省蘇州市第一初級中學(xué)校 215000)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學(xué)教育的價值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響． 數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實效． 要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去． ”[1]如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用信息技術(shù)?經(jīng)過多年的探索和實踐，我們認(rèn)為幾何畫板是一個很好的平臺．

本文以一節(jié)關(guān)于含參二次函數(shù)的區(qū)級公開課為例，談?wù)勗诮虒W(xué)中如何通過合理運(yùn)用幾何畫板提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．

1 教學(xué)片斷

題目已知二次函數(shù)y=m(x2-6x+8)(m為大于0的常數(shù)).

師：請同學(xué)們仔細(xì)研究二次函數(shù)的解析式，思考這個函數(shù)的圖象有什么特點.

生1：我發(fā)現(xiàn)二次項系數(shù)大于0，所以拋物線的開口向上．

師：很好，還能發(fā)現(xiàn)什么？

生2：我把括號里面的式子進(jìn)行因式分解，得到y(tǒng)=m(x-2)(x-4)，當(dāng)y=0時，x=2或4，所以這條拋物線與x軸的交點為(2,0),(4,0)．

生3：根據(jù)這條拋物線與x軸的交點為(2,0),(4,0)，我們可以知道拋物線的對稱軸是直線x=3．

師：大家回答得非常好，現(xiàn)在我們借助于幾何畫板把這條拋物線畫出來．

操作作直線l∥y軸，點M為直線l上且在x軸上方的任意一點，度量點M的縱坐標(biāo)m，利用m的值作出函數(shù)y=m(x2-6x+8)的圖象，交x軸于點A、點B，交y軸于點C，拖動點M的時候，函數(shù)圖象也隨之變化，可以發(fā)現(xiàn)，拋物線在運(yùn)動的過程中經(jīng)過定點A,B(圖1)．

圖1 圖2

問題1以AC為對稱軸，將原點O反射得到點O′(圖2)，請同學(xué)們仔細(xì)觀察，已知點O和點O′關(guān)于直線AC成軸對稱關(guān)系，當(dāng)拖動點M的時候，點O′能否落在線段BC上？

生4：我發(fā)現(xiàn)拖動點M的時候，點O′在移動，但是一直到不了線段BC上，但不知道為什么．

生5：可以假設(shè)O′能落在線段BC上，根據(jù)現(xiàn)有的條件，AC平分∠OCB，那點A到BC的距離就和AO相等，應(yīng)該等于2，但AB也等于2，那就矛盾了！所以不管點M如何移動，點O′肯定不能落在線段BC上．

師：回答得非常好，下面我們繼續(xù)調(diào)整點M的位置．

問題2繼續(xù)以AC為對稱軸，將原點O反射得到點O′，作出拋物線的對稱軸，交x軸于點D，拖動點M． 請同學(xué)們觀察，如果點O′落在拋物線的對稱軸上(圖3)，那么此時m的值是多少呢？

圖3 圖4

問題3在拋物線對稱軸上任取一點P，連結(jié)PC,PA，拖動點P，度量出∠CPA的度數(shù)． 請同學(xué)們觀察(圖4)，現(xiàn)在∠CPA是一個鈍角，當(dāng)拖動點P向上或向下的時候，∠CPA的度數(shù)會變小，顯然，在∠CPA的度數(shù)變小的過程中，∠CPA在某個時刻會成為直角，而且將P往上移動和往下移動都會使得∠CPA成為直角，也就是說∠CPA有兩次成為直角的機(jī)會． 但是，當(dāng)拖動點M后，∠CPA最大也沒有達(dá)到直角，看來∠CPA的值和m是有密切關(guān)系的，請問：m的值滿足什么條件會使得∠CPA能夠兩次成為直角？

生：……(陷入思考中)

生6：老師，我有一個方法，你可以作以AC為直徑的圓嗎？

教師據(jù)此作出圓，圓心為點Q．

生7：以線段AC為直徑的圓只要和拋物線的對稱軸有交點，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可以知道交點就是直角的頂點，要滿足題目的要求，只要拖動點M，使這個圓和拋物線對稱軸有兩個交點就可以了．

師：你這個方法很奇妙，老師備課的時候也沒有想到，現(xiàn)在我們要求m的范圍，應(yīng)該怎么辦呢？

生(有人插話)：只要圓和對稱軸相切就好了．

教師拖動點M，使得圓Q和拋物線對稱軸相切(圖5)．

圖5

生6：只要求出圓Q和對稱軸相切時m的值，然后大于這個值就是要求的范圍．

師：那怎么求出這個值呢？

2 思考

(1)在專題復(fù)習(xí)課中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用幾何畫板可以提升復(fù)習(xí)的效率

初三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)通常以專題復(fù)習(xí)為主． 從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，專題復(fù)習(xí)所起的作用在于用專題的方式強(qiáng)化學(xué)生對某一種或某一類題型的認(rèn)識，強(qiáng)化對某一塊數(shù)學(xué)知識或某個數(shù)學(xué)方法運(yùn)用的熟練程度． 本文涉及的課題是二次函數(shù)的圖象，所設(shè)計的問題都和動點有關(guān)，問題的難點體現(xiàn)在和函數(shù)圖象相關(guān)的幾何性質(zhì)上． 而幾何畫板不僅能夠精準(zhǔn)地展現(xiàn)幾何圖形，還能夠動態(tài)地再現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形和問題的整個演變過程，并且在動態(tài)演示中保持其圖形幾何性質(zhì)的穩(wěn)定，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱藏在圖形變化后面不變的幾何規(guī)律，觸及問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)．

本課全部的問題都圍繞同一個二次函數(shù)圖象展開，函數(shù)圖象是一條隨著m值的變化而變化的拋物線． 怎樣在課堂中動態(tài)呈現(xiàn)，并且在拋物線變化中保持一些性質(zhì)不變(比如與x軸的交點、對稱軸等)，這些要求通過運(yùn)用幾何畫板可以得到很好的實現(xiàn)(拖動動點M)． 在繪制二次函數(shù)圖象時，沒有直接建立一個參數(shù)m(直接建立的參數(shù)的變化不是平滑和連續(xù)的，而是離散和跳躍的)，而是通過度量一個點M的縱坐標(biāo)來體現(xiàn)參數(shù)m取值的任意性，而且學(xué)生也很容易理解點M的位置(主要是上下方向)和m的值一一對應(yīng)，通過上下拖動點M從而使得函數(shù)圖象隨之發(fā)生改變．

在問題1中，原本設(shè)計的問題是問線段AC能否平分∠OCB，如果可以，求出m的值；如果不可以，說明理由． 但是在一個班級試上后發(fā)現(xiàn)，提出問題后學(xué)生思考不活躍，再與備課組老師共同研討，決定在這個問題上充分利用幾何畫板的動態(tài)性，將原點O沿AC反射，問反射點O′能否落在BC上． 這樣的處理增加了學(xué)生思考的邏輯容量，而且在課堂上通過直接操作幾何畫板動態(tài)展示問題，能夠激發(fā)學(xué)生研究問題的興趣．

而在難度比較大的問題3中，通過幾何畫板拖動點P和點M，實時度量∠CPA的度數(shù)，可以使學(xué)生直觀地感受到點P運(yùn)動過程中∠CPA能否成為直角是由點M的位置，即m的值決定的，從而化解了學(xué)生審題的難度．

(2)運(yùn)用幾何畫板要跳出常規(guī)多媒體課件制作和播放的窠臼

課件的設(shè)計是教師依據(jù)學(xué)生對這堂課的學(xué)習(xí)需求進(jìn)行分析后提出的解決問題的最佳方案，是使教學(xué)效果達(dá)到優(yōu)化的系統(tǒng)決策過程，是教師主導(dǎo)作用的事前體現(xiàn)． 在傳統(tǒng)的課堂教學(xué)中，很多教師采用預(yù)先做好課件，在課堂進(jìn)行“播放”的模式，這要求教師在課前盡量預(yù)設(shè)好課堂中所有的情況． 但實際上，由于學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)能力存在差異，教師不可能預(yù)見實際學(xué)習(xí)進(jìn)程中的各種情況或變化(相信每一位數(shù)學(xué)教師都會遇到學(xué)生的思考思路和自己的備課不一致而自己制作的課件又無法及時跟進(jìn)這種尷尬的情況)． 比如在問題3中，生6的解答非常精彩，而教師在備課中對這個問題的解答主要是使用代數(shù)方程求根解決，對于生6的解法沒有預(yù)想到，屬于課堂教學(xué)突發(fā)情況． 這時，如果采用其他的多媒體技術(shù)，比如PPT，顯然就無法應(yīng)對了． 但幾何畫板的易操作性使教師在課堂上能夠?qū)崟r修改或完善課件，甚至在課堂教學(xué)中由教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況當(dāng)場制作，動態(tài)生成． 事實上，實時觀看教師的作圖過程，有助于學(xué)生更好地理解教師講授的內(nèi)容或課件制作中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理．

3 結(jié)語

專題復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的主要形式，通過一個個專題的處理，將學(xué)生在第一輪復(fù)習(xí)中的雙基鞏固工作推至高潮，內(nèi)化為他們的能力． 在此過程中，恰當(dāng)?shù)厥褂脦缀萎嫲逵兄谕貙拰W(xué)生分析和解決問題的思路，化解綜合動態(tài)題的難度，進(jìn)而提高復(fù)習(xí)課的效率．