基于算法視角的解析幾何例題教學
——橢圓中一類非對稱問題的處理策略*

張文海 (江蘇省蘇州實驗中學 215011)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確了“數學運算”的定位:“數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養. 主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果. ”“通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神. ”

解析幾何是高中數學的重點內容，也是考查學生數學運算素養的重要載體之一． 要正確解答圓錐曲線的綜合問題，除了要具有較強的計算能力，還需要多一些思考，通過對條件及圖形的分析，合理設參，確定解題方向，規劃解題路線，往往能起到簡化運算的效果．

圖1

1 明確運算對象，探究運算思路

例題教學首先應帶領學生一起認真閱讀題目，理解題意，把要解決的問題作為研究對象，對它進行深入而全面的分析，找出題目直接表達出來的顯性條件和經過思考分析合理轉化而來的隱性條件，探尋條件與結論的聯結點，確定運算思路． 在此基礎上還需要制定解題計劃，初步預設解題的各個環節：求解這個問題的第一步做什么？第二步做什么？解決問題的關鍵是哪一步？哪一步運算量可能有點大?如此等等，做到心中有數．

策略1 直接求根，代入化簡

策略2 瞄準減元，一減到底

評析 在得到kx1x2+(2k+2)x1+(4k-1)x2+6=0 ①后，抓住x1，x2是方程的兩個根，故可以通過根與系數的關系得到x1+x2，x1x2與k的關系，從結構上去構造x1+x2，x1x2進行整體代換. 由于是非對稱關系，所以不能完全用根與系數的關系式進行徹底的消元，需要再結合求根法進行處理. 這種處理方法先從整體結構上進行把握，對于局部的地方再進行個性化的處理，有助于優化解題過程，提高解題速度.

2 辨析式子結構，選擇運算方法

數學運算常常包括“數”的運算和“式”的運算. 對于“數”的運算，學生從小到大、從數學到生活隨處可見，無形之中鍛煉了運算的能力；而對于“式”的運算，平時接觸不多，加上參數之多，學生普遍感到棘手. 解析幾何的本質是用代數的方法解決幾何問題，因而解析幾何題離不開代數運算，這就使得運算能力不強的學生害怕繁難的運算. 在解題教學中教師如能多加強運算指導，還是能逐步提高學生運算能力的． 其次，要加強“算理”分析，就是分析運算規則，并形成合理的“算法”思維． 如幫助學生分析代數式子的結構特征，展示式子變形中的結構意識，強化觀察運算方向的自覺性，強化關注運算結構的簡潔性，選擇合適的運算方法.

策略3 瞄準減元，一減到底

策略4 設斜求點，抓住共線

評析 遇到斜率問題時，可以先設出點的坐標，再表示斜率；亦可先設出直線的斜率，求出點的坐標，再根據條件處理. 兩種設法的不同之處在于，第一種設法斜率表示簡潔，但參數較多，消參不易；第二種設法參數較少，但運算量大. 在設出直線AM，BN的直線后，先把它們和橢圓聯立求出點M，N坐標，再根據M，N，C三點共線，建立關于k的方程，通過解方程即可得解.

3 理清問題本質，提升數學思維

在課堂教學中，教師應結合具體的數學問題，引導學生如何抓住問題中的“變”與“不變”的規律，以“不變”來應“萬變”，直達數學問題的本質，使學生從數學題海中跳出來，站在更高的角度去看待問題、思考問題，從而達到提升學生分析、解決問題的能力，提升學生的數學思維能力的目的.

策略5 轉化位置，巧用公式

4 教學反思

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確提出要注重培養學生的數據分析和數學運算素養，而解析幾何是落實這兩個素養最好的載體之一. 因此，在解析幾何教學中不僅要重視幾何問題代數化的思路分析，而且要重視解題過程中運算的分析指導，對其中如何運算以及如何優化運算進行重點剖析，突破學生思維中的障礙節點，解決學生在解析幾何中常見的思路易得、運算受阻的主要問題，使學生的運算素養得到真正的提升．

(1)選擇合適的例題，暴露思維的障礙

例題教學的主要任務是使學生通過具體例題的學習鞏固數學基礎知識，掌握數學基本技能，在問題的分析和解決中形成自己的基本活動經驗，從而提升自己的數學能力. 好的例題可以喚起學生對舊知識的回憶，促進對原有知識的溝通聯系，調整學生頭腦中原有知識的邏輯關系，借以開闊學生思路，促使學生思維向多向發散． 因此，例題的選擇要注重基礎性、針對性、思想性和拓展性，應有利于學生在易錯處、困惑處頓悟，在常規與平實中暴露學生的思維障礙，在不斷糾錯和調整中促進學生思維能力的發展．

(2)重算法算理分析，優化運算的路徑

算理是指計算的原理和依據，即為什么這樣算；算法指計算的基本程序和方法，即怎樣算. 算理是算法的基礎，算法則是算理的抽象，因此教學中要做到算理和算法并重，使理解算理和掌握算法相互作用、共同促進. 由于一些教師對解析幾何的認識定位不準，平時的教學重思路分析、輕運算指導，或將其僅僅等同于運算技能，往往只將注意力集中在對運算技巧的訓練上而缺少對算法背后隱藏算理的揭示，導致學生知其然而不知其所以然． 案例研究表明，清晰的算法思想和對運算過程的預判、調整是提高解析幾何解答題運算求解能力的根本． 如果我們能從算法的角度預設幾個解題方案，先預判解法的優劣，再確定解題方案，長此以往，就能在解決一道題的同時發散學生的思維，學生對題目的認識就會更深刻． 堅持從算法的角度思考問題，養成良好的思考習慣和認知習慣，定能厚積薄發．

(3)建構自己的理解，促進素養的內化

解析幾何中不同的解題路徑會產生解決問題的難與易、解題過程繁與簡的差距，而學生受自身思維的制約，往往不能靈活運用已有的知識和解題經驗對新的問題進行巧妙的處理，從而產生復雜的運算操作，最終半途而廢，導致解題失敗，久而久之對解析幾何失去信心. 因此，教師要基于學生的學情選擇恰當的例題，對學生進行代數式觀察、運算方向監控、運算長度預估等多重的思維訓練，探索降低運算復雜度的方法和技巧，讓學生建構自己的理解，并激發出學生思考的熱情. 在這樣的過程中，學生的思維品質和數學運算素養都將得到相應的提升．

總之，我們只有在解析幾何的教學中讓學生多實踐、多反思、多總結，方能以簡馭繁，事半功倍. 數學運算能力的提高不是一蹴而就的，而是一個漸進的、螺旋式上升的過程. 我們的教學站位要高、措施要細、訓練要實，使解題建構在高層次的思維面上，讓教學的每一步都能引導學生逐步提高數學運算素養.