核心素養視角下“一元二次不等式”的教學思考與設計

鄒信武 (廣西南寧市第三中學 530021)

1 問題的提出

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)指出，數學學科核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的． 在舊教材中，“一元二次不等式”安排在必修五第三章“不等式”里，而在《標準》中，該內容屬于高中預備知識，在2019年人教版《普通高中教科書數學必修第一冊》(以下簡稱《必修第一冊》)中安排在“集合”“簡易邏輯”“不等式性質和基本不等式”之后． 隨著編排位置的改變，該教學內容所承載的涵義有何不同？它是如何反映數學核心素養？教師又該如何在教學中發展學生數學核心素養？這都是我們亟待解決的問題．

2 《標準》中的“一元二次不等式”

2.1 承上啟下，初高中知識、方法和情感的過渡

在《標準》中，該節內容標題是“從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式”． 學生在初中經歷了從一次函數角度看一元一次方程和一元一次不等式(以下簡稱“三個一次”)的學習過程，形成了對函數、方程與不等式的初步認識． 因此，“一元二次不等式”是初中一次不等式相關知識的延續和類比遷移，對該部分內容的學習，利于激發學生對數學學科的興趣與信心，完成在知識、方法和情感上的初高中過渡． 另外，解一元二次不等式是高中重要的代數運算之一，它為后續知識的展開與深入提供了運算基礎．

2.2 培養數學核心素養的優良載體

(1)有利于提升學生的數學抽象和直觀想象兩大核心素養.數學抽象是一個對象在另一個對象屬性基礎上的抽象過程，只有知識之間的聯系才能體現抽象過程． 直觀想象主要包括幾何直觀與空間想象兩個方面． 直觀想象是認識抽象對象的另一條途徑，它是符號化語言的直觀解釋． 《標準》把“一元二次不等式”作為高中預備知識，一方面是因為其應用的廣泛性，另一方面是因其可以體現函數、方程與不等式之間的聯系． 在本課時中，通過用二次函數的觀點看待一元二次方程和一元二次不等式(以下簡稱“三個二次”)，使學生不斷地在自然語言、符號語言與圖象間進行轉換，使學生認知中“函數、方程與不等式”的關系得以再次鞏固和深化，進而掌握用函數理解方程和不等式這一數學基本思想方法． 因此，本課的主旨是使學生理解和建立起“函數、方程與不等式”之間幾何與代數的聯系，并在此過程中發展學生的數學抽象與直觀想象兩大核心素養．

如圖1，通過“三個一次”關系的回顧和對“三個二次”之間關系的探討，達成函數、方程與不等式分別在語言、符號和圖象的聯系意義建構．

圖1 函數、方程與不等式的關系

(2)有利于提升學生的邏輯推理和數學運算兩大核心素養. 邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的思維過程． 解一元二次不等式，實質是一種“程序化”運算，是一個特殊的演繹推理過程，本節內容對發展學生的邏輯推理和數學運算素養有著重要作用． 根據以往的教學經驗，學生在解決含參數一元二次不等式的過程中，常常不會對參數進行討論，究其原因，是不理解一元二次不等式解答的“程序”，不清楚“程序”中分步的依據． 為此，教師在開展“一元二次不等式”的教學時，應強調解決過程中的“程序化”，培養學生的邏輯思維，形成嚴謹思考問題的習慣． 因此，本節課的另一個重點和難點是如何通過解一元二次不等式，幫助學生構建解決一元二次不等式的“程序”．

以ax2+bx+c>0(a≠0)為例，如圖2，通過探尋一元二次不等式的解法、例題的講解和練習，引導學生理解運算對象和運算順序，并以流程圖的形式呈現，理解幾個分支節點(二次項系數、判別式及根的大小)分支的原因，以及由此產生必要的分類思想．

圖2 解一元二次不等式流程圖

3 教學實施設想

基于前面對本節內容的分析與理解，本節課應考慮兩條線索：知識發展線索和學生思維活動線索． 以知識的發展脈絡為線索，如圖3，可以分成兩個階段：第一階段，是函數、方程和不等式內在關系回顧及深化階段，即從“三個一次”向“三個二次”的類比遷移，并以此為基礎初步形成解決一元二次不等式的“程序”，這是本節課的重點． 第二階段，“程序”應用及完善階段，即在具體應用中深化對“程序”的理解，并不斷完善它． 以學生思維活動為線索，學生在第一階段經歷了大量的數學思維活動(歸納推理、類比推理和演繹推理)，通過分析、比較、綜合、歸納、抽象、判斷和推理等一系列思維行為逐漸認識和理解函數、方程和不等式的本質和內部聯系，并在第二個階段中以演繹的方式加以應用．

圖3 教學實施框圖

4 教學流程設計

4.1 復習與引入

問題1在初中，我們學習了一次函數和解一元一次不等式，請大家完成下面兩個問題：(1)在直角坐標系中畫出f(x)=4x+3的圖象；(2)寫出4x+3>0的解集．

評析本課的目標之一是使學生建立起函數、方程和不等式之間的關系，而這個關系的獲得，不能通過教師講授，而應該是學生內省構建的過程． 學生在解一次不等式時，不一定與一次函數聯系起來，更多時候會使用不等式性質得到結果． 因此，教學中不宜直接給出一元一次方程，而是在描點法繪制圖象和解一元一次不等式的過程中，使學生非常自然地發現：一元一次不等式解集的端點恰是一次函數與x軸交點的橫坐標，同時，“4x+3>0”中的“>”與一次函數在x軸上方的圖象有關系，進而產生一元一次不等式與對應一次方程和一次函數關系的聯想．

追問根據剛才的發現，你能給出一次不等式ax+b>0和ax+b<0的幾何解釋嗎？

學生回答后，教師與學生共同完成表1并指出：一次方程的根是對應函數與x軸交點橫坐標，不等式ax+b>0(<0)的解集是對應函數圖象在x軸上方部分(下方部分)所對應的x的取值范圍．

表1 一次函數、一次方程與一元一次不等式的關系

評析這一環節進一步固化學生認知中“三個一次”的關系，形成清晰而穩定的聯系，為下面解一元二次不等式提供類比對象和邏輯基礎．

4.2 類比與遷移

問題2學校計劃在綠地上用欄桿圍成一個矩形區域種植花卉，若柵欄的長度是24 m，圍成的矩形區域的面積要大于20 m2，則這個矩形的邊長為多少米？

評析通過設置與生活密切相關的實際問題，引出本課主題——“一元二次不等式”，使學生感受一元二次不等式不是無源之水，它既是數學知識發展的需要，也有解決現實世界客觀問題的需求，進而激發進一步解決問題的興趣．

追問觀察不等式x2-12x+20<0，請通過以前解決不等式問題的經驗，思考如何求出它的解集？

評析這是從“三個一次”到“三個二次”的類比遷移過程． 通過“三個一次”的鋪墊，學生完成這個問題并不困難． 通過觀察特征、比較聯想，分析共性特征，概括共性特征，最后得到解決問題的途徑． 在這個環節，應該引導學生解決以下問題：第一，解決這個一元二次不等式的步驟是什么？為什么先求方程的根？(同時給出函數零點的概念，明確它與函數圖象、方程的聯系)；第二，畫出圖象的目的是什么？第三，寫出解集的依據是什么？通過對解決過程中關鍵步驟的分析，使學生加深數與形的聯系，明晰它們之間的關系，并厘清解決問題的“算法”思路，感受用函數解決不等式問題的思維方法．

4.3 歸納與鞏固

問題3(1)根據剛才解決x2-12x+20<0的方法，我們也可以解決其他一元二次不等式． 請思考：對于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0和ax2+bx+c<0(a>0)，其解決步驟是什么？

(2)請根據你的設想，分析二次函數與一元二次方程、一元二次不等式的解的關系，并把它表示出來．

表2 二次函數、二次方程與一元二次不等式的關系

評析引導學生設計步驟是讓學生在理解運算的基礎上，再次強化運算程序，在認識上形成明晰的解題順序關系． 另外，表2在《必修第一冊》已給出，因此表格的形成過程的意義要大于表格結果本身，這是學生在認知中完善“函數、方程與不等式”(圖1)三者聯系的關鍵活動． 教學中，應關注與幫助學生厘清以下幾個問題：第一，為什么要制表？第二，如果需要制表，那么表格分列、分欄的依據是什么？第三，表格從上至下的順序是怎樣的？為什么是這樣？第四，函數的圖象、方程的根與不等式解集之間的聯系是什么？

4.4 應用與強化

例1求出下列不等式的解集：

(1)x2+5x+6>0；(2)9x2-6x+1>0；(3)-x2+2x-3>0．

評析這三個不等式的作用是強化“解法程序”，包含了判別式的三種不同情形． 其中第(3)題補充了二次項系數為負值時的情況，可以先將二次項系數轉化為正數，再計算，這也體現了化歸的數學思想方法．

練習當自變量x在什么范圍取值時，下列函數的值等于0？大于0？小于0？

(1)y=3x2-6x+2；(2)y=x2+6x+10；(3)y=-3x2+12x-12．

評析函數與不等式之間是相互對應關系，通過練習強化這兩者的轉換． 學生經歷了使用幾何圖象解決代數問題，再從代數逆向解決幾何問題，會更深刻地體會它們之間的聯系，從中感悟數形結合的思想，提升數學抽象與直觀想象素養．

4.5 變式與提升

例2求出下列不等式的解集：

(1)x2+ax-2>0；(2)x2-(a+1)x+a>0．

評析通過解決含參數的一元二次不等式，使學生認識判斷判別式符號的重要性，以及在有根的前提下根的大小對結果的影響，進而加深學生對“運算程序”的關鍵步驟的認識，完善學生認知中的“運算程序”． 如在第(2)題中，通過Δ得到方程必有解，求出它的根分別是：x1=a和x2=1.在嘗試畫圖象時，就發現根的大小會影響不等式的結果，進而需要進行分類討論，從而在學生原有的認知“運算程序”中再加入一個判斷選項，得到更完善的解決“運算程序”(圖2)．

4.6 總結與升華

問題4本節課我們研究了什么問題？又怎樣解決了這些問題？在其中，同學們有什么發現？

評析通過小結，回顧整個學習過程，從“三個一次”關系到“三個二次”關系的類比遷移，升華至 “函數、方程與不等式”之間的關系，進而理解用函數研究方程和不等式的數學基本思想方法． 同時歸納解一元二次不等式的一般“運算程序”(圖2)，使之在學生認知中獲得再次認同．

5 教學設計反思

素養是諸多方面的綜合，它的形成過程是學生在學習活動中嘗試、摸索、積淀和感悟，是自身認知與元認知構建的過程． 因此，在核心素養的理念下，教學設計應關注以下幾個方面．

5.1 把握數學核心素養的生長點，促使數學核心素養落地

素養是人的內在品質，發展學生數學核心素養是中學教學實踐中較高的要求與目標，而實現它需要更具操作性的過程性、具體性目標，即指向更實際且能觸及數學核心素養的教學活動． “四基”(基礎知識、基本技能、基本方法和基本活動經驗)“四能”(發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力)是數學核心素養的生長點． 《標準》指出：“四基”是培養學生數學學科核心素養的沃土． 而“四能”是基于“問題解決”產生的數學性思考，是學生形成理性思維、提升數學核心素養的途徑． 在教學實踐中，以數學知識為載體，圍繞著課堂中如何落實“四基”和提升“四能”，是觸及學生數學核心素養的關鍵，也只有在課堂上達成了“四基”和“四能”的要求，才能使數學核心素養“落地”．

5.2 把握數學核心素養的發展點，促使數學核心素養生長

核心素養的形成具有階段性和延續性． 在核心素養視角下，學生通過之前各學段的學習，已經具備一定的數學核心素養，因而高中階段數學核心素養的培養是前面學段的延續，是依據高中生的心理特點，進一步地完善和發展數學核心素養． 教學中，除了需要厘清本課知識本質、上下位關系、蘊含的數學思想之外，還應該把握學生數學學科核心素養發展的各階段目標及其關系，分析本節內容承載的主要數學核心素養，通過設計恰當的問題情境，設置有價值的問題，促進學生在此過程中數學性地思考、表達和交流，進而提升數學核心素養．

5.3 把握課堂學生思維活動，維護數學核心素養陣地

核心素養的提出，真正使教學的關注點從學科轉向了人的內在． 數學是思維的體操，在數學課堂上，學生是否進行有價值的數學性思考，是衡量教師的教學活動是否有利于發展學生數學核心素養的重要指標． 因此，數學教師的教學設計中，除了把數學知識的發展作為線索之外，還應該增加一條學生思維活動的線索． 教學中，應根據學生思維的發展規律，恰當地設計教學活動，注重教學活動中學生的思維過程，衡量活動中學生的思維深度和廣度，促進教學中學生理性思維的生成與發展． 這樣的教學活動，往往發生在知識點的理解和運用、知識點間的聯結和應用上面，教師應盡可能給予足夠的時間，讓學生獨立思考、質疑、交流和反思．