基于數學核心素養的教學設計
——以“點到直線的距離”為例*

錢建良 謝 麗 (江蘇省宜興市和橋高級中學 214211)

高中數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大維度，同時把“能力”內涵進行了拓展，強調了“思維品質”在數學核心素養中的作用． 這些數學核心素養既有獨立性，又相互交融，形成了一個有機整體．

我們厘清數學學科核心素養的基本內涵，是為了探索把數學學習內化為能力和品格的有效途徑與方法． 今以“點到直線的距離”為例，談談基于數學核心素養的教學設計．

1 教學目標

(1)掌握點到直線的距離公式推導中的若干數學思想和方法，掌握公式的簡單應用和變式應用，掌握兩平行線的距離公式．

(2)形成嚴謹的思維習慣，體會分類討論及化歸的思想，領會探索新問題的學習策略，提高認知能力和創新能力．

(3)通過創設問題情境，激發創新欲望；通過引導探索，提升創新潛能；通過激活、引申，體驗成功喜悅，堅定創新信念．

2 教學設計

2.1 創設問題情境——問題是思維的起點

問題1過一定點P分別作一個角的兩邊的垂線，所確定的角與已知角有何關系？

啟發引導作圖1和圖2．

圖1 圖2

生答：……

設計意圖創設問題情境，激發學生解決問題的動機，并為解決問題2作鋪墊．

問題2已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，怎樣求點P到直線l的距離呢？

2.2 啟發引導探究——主動探究是解決問題的金鑰匙

師：你見到過類似的問題嗎？

生：……

師：作垂線→列方程→求垂足→算距離． 書上指出，思路自然，運算量大，真是如此嗎？課后你不妨試一試．

師：換個角度考慮，你能解決其中一部分或某些特殊情形嗎？

例如，(1)A=0時，d=？(2)B=0時，d=？更一般的問題呢？(3)設A≠0，B≠0，如何化歸為一些特殊情形或解決了的某些問題呢？

設計意圖用波利亞《怎樣解題》中的思想，指導學生探討，提高學生的認知策略，調動學生認知的主觀能動性． 特例是最好的引路人，特例也是分類討論的出發點，也常常是數學思維活動的切入點．

圖3 A≠0，B≠0,d=?

師：求出PM，如何求PQ呢？

引思促思發現，在Rt△PMQ中引進角參數∠MPQ=α1，對照問題1進行類比可發現α1與傾斜角α有何關系？

說明(1)公式的特征，分母：勾股定理的影子；分子：當P(x0,y0)在直線l上時，d=0，即P在直線l上?d=0(證明點在直線上)；(2)應用，需把直線方程化為一般式求之；(3)當A=0或B=0時可不套用公式，直接求出．

設計意圖(1)充分暴露思維過程，引出傾斜角作參數，利用問題1作臺階，突破難點，使學生認知的“最近發展區”矛盾得到轉化；(2)滲透分類討論思想：①0°<α<90°，②90°<α<180°，強化三角的應用意識和工具作用．

2.3 類比聯想引申——跳一跳，你能有更大的收獲

你能由上述推導過程領悟其數學思想進行創新，創造出比課本更優美的解法嗎？

設計意圖本推導中不需要用到分類討論思想，只需要用到類比思想，由PM的結構式，直接類比出PN的結構式，實在高明，這也是類比思想的一個重要應用．

2.4 應用激活鞏固——小試牛刀，輕松過關

應用1：求點到直線的距離．

設計意圖本例中涉及四種形式求點線距，可一一化解，有的用點到直線的距離公式，有的用特例，而有的只需將方程化為一般式即可．

應用2：求兩條平行直線間的距離．

問題4求平行直線 3x-4y+6=0和3x-4y-4=0的距離．

師：點撥引導，將其化歸為點線距離解決．

2.5 推廣拓展延伸——動動手，你能從中體會到數學的樂趣

問題5如何求兩平行線l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)的距離公式？

說明本問題解決了兩平行線間的距離公式，可直接應用． 但要注意x,y的系數要對應相等． 這也是一個易錯點．

2.6 歸納總結提高——提升新境界

唱好“兩兩兩”之歌，點到直線公式輕松過：兩個思想——等價轉換思想與分類討論思想；兩種應用——直接用，變式用；兩項注意——①當心特例，當A=0或B=0時可直接求，②可求兩平行線間的距離公式，但要注意x,y的系數要對應相等．

設計意圖抓住知識結構和數學思想方法，作歸納總結，點撥提高． 幫助學生產生新舊知識有意義的同化作用，建構新的數學認知結構，從而進入更高一級的數學認知水平．

3 教學感悟

3.1 關注教學設計，在鉆研中領會意圖

這節課是解析幾何中直線部分的一節經典課． 教學設計中采用問題探究教學模式，關注學生學習的過程，重視數學課堂文化建設(互動探究文化、數學交流的文化、課堂對話的文化)． 教學設計中，圍繞本節課的教學任務有三大項：點到直線的距離公式的推導，點線距公式的應用，兩平行直線的距離． 學生的思維活動也對應三個階段：一是公式推導，充分挖掘教材資源，引導學生用波利亞《怎樣解題》中的思想，指導學生探討，提高學生認知策略，調動學生認知的主觀能動性；二是公式應用，在四種情形下去應用公式；三是推廣拓展延伸，解決了兩平行線間的距離公式． 這樣循序漸進化解難點，既體現出化歸思想的充分應用，又符合學生的認知規律． 營造了課始興趣生、課中興趣濃、課后興猶存的愉悅探究氛圍．

3.2 關注學生發展，在活動中發展思維

本節課突出了學生的主體地位，發展學生的認知力，教學生學會思考，體會教學內容的本質，始終把培養學生的創造性思維能力和解決實際的能力放在首位． 例如，提出問題2：已知點P(x0,y0)和直線l:Ax+By+C=0，怎樣求點P到直線l的距離呢？教師啟發學生思考：換個角度考慮，你能解決其中一部分或某些特殊情形嗎？例如，(1)A=0時，d=？(2)B=0時，d=？更一般的問題呢？(3)設A≠0，B≠0，如何化歸為一些特殊情形或解決了的某些問題呢？特例是最好的引路人，特例也是分類討論的出發點，也常常是數學思維活動的切入點． 充分暴露思維過程，突破難點，使學生認知的“最近發展區”矛盾得到轉化． 問題2解決后，接著又引導學生進行類比聯想引伸，領悟其推導過程中的數學思想，并創造出比課本更優美的解法，也就是點到直線距離公式的第2種推導方法． 本節課通過合作探究、師生互動，展示知識的發生過程，使學生逐步體會和感悟從形到數的發展過程，展現了解析幾何中數形結合的本質，暴露了數學家原始的思維軌跡，激活了學生的思維，實現了教師以啟為導，學生因思而悟來完成教學目標．

3.3 關注核心素養，在探究中享受數學

最近三年有關“數學核心素養”的課題備受矚目，對數學核心素養的研究和討論成為了教育的熱點． 數學教師在課堂教學中不能單純地講數學或讓學生一味做練習，而是應引導學生在“用數學”中實現核心素養的內化提升． 這里說的“用數學”，主要是指“用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界”三個方面． 在課程改革深入推進的今天，數學課堂教學要注意挖掘人文教育內容，重視數學的人文性，使數學的人文精神價值得到進一步擴展，并以此加強對學生數學核心素養的培養，更新學生的世界觀和方法論． 今天，學生獲得數學知識的渠道變了，要在經歷、探究學習過程中，獲得基礎知識和基本技能，并能解決一些實際問題；學生獲得的數學知識的形態變了，要在自己動手實踐“做數學”的過程中，建構數學知識的意義，獲得數學活動的經驗． 因此在當前的新課程改革中，為了使新課程真正適應學生的發展，對于數學教師來說，在教學實踐中關注學生的核心素養的培養，重視數學課堂文化的建設，應用問題探究的教學模式就顯得尤為重要．