核心素養視角下數學原理的教學探討*

崔靜靜 廖遠鴻 (西昌學院理學院 615013)

趙思林 (內江師范學院數學與信息科學學院 641110)

數學中的原理主要包括公式、法則、定理、性質[1]． 數學原理的探究、發現(猜想)、證明、應用、拓展(變式)是學生獲得數學核心素養的重要渠道． 從培養學生核心素養的角度來看，數學的公式、法則、定理、性質的教學，有不同的教學過程與規律．

1 數學原理的教學理論

數學原理學習的本質包含兩方面的內容：一是作為客觀的數學原理，即對原理的客觀陳述，具體表現為用言語符號等描述概念間的關系；二是作為主觀的數學原理，它體現了人的心理操作反應系統． 數學原理的教學不僅需要學生習得描述數學原理的言語符號信息，更需要習得學習這些數學原理的心理意義，構成有意義學習．

數學原理的學習可劃分為4種依次遞增的水平：言語連鎖水平、正向產生式水平、逆向產生式水平、變形產生式水平． 其中變形產生式水平是最高的學習水平，它是創新思維的基礎，表現為能綜合運用數學原理解決問題，在數學教學中通常以推廣和引申的形式呈現． 因此，習得數學原理絕不是孤立地掌握某個數學原理，而是要在各數學原理之間建立聯系，形成完備的體系．

2 核心素養視角下數學原理的教學探討

核心素養體現了教育的終極目標就是要落實到人身上，個體在經受學科教育后，習得的氣質、思維方式等將不同于未經這種學科教育的個體．[2]數學核心素養有著其獨特的使命，它不僅承擔著培養學生數學抽象、邏輯推理等六方面的素養，還肩負著培養“四能”的職責． 學生獲得“四能”，形成獨特的學科思維，擁有發現數學的頭腦，實現“再創造”，這才是學生獲得核心素養的最高級表現． 課堂是培養學生數學核心素養的主陣地，數學概念、原理的教學是培養學生核心素養的良好載體． 一般地，數學原理的教學過程和培養的核心素養的關系如圖1所示． 下面將從培養學生核心素養的視角，談談數學公式、法則、定理、性質的教學．

圖1

2.1 數學公式的教學

關于公式的教學，給出以下四條教學策略． 首先，重點把握公式的推導過程，讓它成為發展學生數學運算和邏輯推理核心素養的重要載體． 其次，應注重探究它在數學知識體系中的來龍去脈、產生過程，讓學生加深對數學本質的理解． 再次，引導學生對公式的結構、內涵進行分析，以此加深對公式的深度理解，體會其中蘊含的數學抽象之美． 最后，加強新舊公式的關聯比較，促進對公式的邏輯性理解．

案例1“三角函數誘導公式”的教學．

不少師范生經常這樣導入新課：如何求sin 420°的值． 從揭示數學知識的內在聯系來看，顯然這個孤立問題的啟發性是不夠的． 首先，學生借助計算器等現代技術手段就能快速獲得答案，并沒有體現誘導公式的作用． 其次，這個問題過于僵化和實用，不能給學生提供廣闊的思維空間，從而降低了誘導公式這部分內容的教育價值． 最后，這個問題過于獨立，很難與其他知識進行串聯，從整體上認識這部分知識．

那么，要培養學生的核心素養，不妨按照圖1的技術路線進行教學． 通過上節課的學習，我們知道三角函數可用于刻畫周期現象，那它是通過何種方式來刻畫周期現象的？用這種問題與探究的方式導入新課，給學生提供廣闊的思維空間，讓他們分析與解決問題的能力得到發展． 借助單位圓，引導學生進行發現與猜想，按照“點的周期性運動→角的周期性運動→三角函數的周期性運動”的思路進行探究，建立用三角函數刻畫周期現象的數學模型，得到誘導公式sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)． 對于其他幾組誘導公式，同樣可以用這樣的探究思路，將終邊對稱的圖形轉化為三角函數間的代數關系[3]． 最后將公式總結為“奇變偶不變，符號看象限”．

案例2分類加法和分步乘法公式的應用．

計數原理包括分類計數原理和分步計數原理，二者分別對應著加法原理和乘法原理． 計數原理的應用常見于組數問題、映射問題、分配問題、與幾何有關的計數問題、涂(染)色問題、約數問題．

問題與探究1集合A={1,2,3,4}，B={5,6,7}，從A到B的映射有多少個？

推廣1 集合A={1,2,3,4}，B={a,b,c,d}，從A到B的映射有多少個？其中一一映射有多少？

引申1 現有4個人去住3個房間． 問：有多少種住法？每個房間都不空著又有多少種住法？

引申2 設集合A={-1,0,1}，B={2,3,4,5,6}，從A到B的映射f:A→B，使對任意的x∈A，都有x+f(x)+xf(x)是奇數，求這樣映射的個數．

問題與探究1是分步計數原理的簡單應用，對該問題進行推廣與引申，實現了從簡單向復雜的逐步轉化． 與映射、一一映射聯系，設置逐級抽象的問題，讓學生的思維受到啟發，加強了對映射、計數原理關系間的理解，對知識進行了橫向和縱向的延伸，培養了他們的抽象思維、邏輯素養．

案例3與幾何有關的計數問題．

問題與探究2如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有多少對？

思路1 由分類計數原理，如圖2所示，與AB成異面直線的有4對，與BC成異面直線的有4對……這樣的情況共六類． 按照分類加法原理，構成異面直線共有4+4+4+4+4+4=24對．

圖2

思路2 由分步計數原理，構成異面直線共有6×4=24對．

通過對該幾何問題的探究，能讓學生明白加法原理和乘法原理可用于解決同一問題，對兩者的關系有了進一步的理解． 通過分析用哪一種計數原理以及如何實現分類或分步，培養了學生分析與解決問題的能力，發展了學生的“四能”．

公式的產生絕不是“孤零零”存在的，也不是靠死記硬背保留在大腦中的． 講清公式的來龍去脈，不僅能促進學生對公式的深刻理解和記憶，它的推廣、引申、應用更是培養學生直觀想象、“四能”、創造性思維的良好途徑．

2.2 數學法則的教學

運算法則指為達到一個問題的解決方案而定義的規則或過程，一般的運算法則指加減乘除四則運算． 更復雜的運算法則也是對簡單的加減乘除四則運算法則的繼承、演變與發展． 法則的教學能夠較好地培養學生的數學運算、邏輯推理、數學抽象核心素養[4]． 高中數學最早提到“法則”是在函數定義中，接著是指數冪的運算、對數、導數等．

案例4對數的運算法則．

問題與探究3如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，證明：loga(MN)=logaM+logaN．

推廣1 當M=N時，上式滿足什么關系？由此可猜想logaMn=？logambn=？

顯然，對數的換底公式由對數定義和推廣1推導得來． 下面以推廣2為抓手，進一步推廣． 以問題的形式呈現，引發學生思考，鍛煉了學生分析與解決問題的能力，培養了學生的“四能”和數學運算、邏輯推理核心素養．

推廣4 猜想loga1a2·loga2a3·loga3a4·… ·logan-1an值為多少，并證明之．

推廣5 猜想loga1a2·loga2a3·…·logan-1an·logana1值為多少，并證明之．

先引導學生對以上問題進行合理猜想，再進行分析與證明，由此使得學生的運算素養、邏輯推理能力得到發展，并潛移默化地促進他們猜想、質疑精神的生長．

在數學概念和法則教學中，當遇到一個新的概念和法則時，總希望它與已有的概念和法則建立聯系． 如學習減法時與加法聯系，學習除法時與乘法聯系，學習對數時與指數聯系等． 若已有的法則沒有學扎實，基礎沒有打牢，勢必會影響與之聯系的后續學習． 因此數學法則的教學要多關注與之有關的法則，在學習新法則之前能夠熟練地對已有的法則進行“正用、逆用、變形使用”，使新舊法則相容，達到知識的融會貫通．

2.3 數學定理的教學

數學定理的教學是高中數學教學的重點和難點． 定理的教學通常是培養學生的邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養的良好載體． 定理的教學方式可分為問題解決型、結果呈現型兩種教學交互模式[5]． 問題解決型的教學交互模式建立在發現探究學習、情境認知理論的基礎上． 下例是正弦定理與余弦定理的綜合應用，引導學生觀察、探究、發現三角形邊角設置的巧妙性，找準方法是正確列出式子的前提．

案例5正弦定理與余弦定理的綜合應用．

該問題是對角平分線的性質、正弦定理、余弦定理以及二倍角公式的綜合考查，需要學生有較強的綜合能力,適宜設計在余弦定理一節上完后，作為能力提升題型出現. 教師應給予學生足夠的時間進行思考，學生可能因無法將這些知識綜合運用而出現不適感，這就需要教師引導學生對其進行探究與發現，發現知識間的關聯性，而非單一地對余弦定理題型進行演練． 這樣的題型必定是培養學生數學運算、邏輯推理能力，發展學生學科思維，讓學生具有數學智慧的良好載體．

2.4 數學性質的教學

邏輯推理是得到數學結論的重要方式，是進行數學學習活動的基本思維品質． 數學中大多數定理、性質的教學都離不開邏輯推理，如函數的單調性、奇偶性、周期性的教學．

案例6函數的單調性．

高中數學必修1在編排函數的單調性一節時． 首先呈現的是觀察一次函數f(x)=x和二次函數f(x)=x2圖象的變化趨勢． 不少師范生在試講時“照貓畫虎”，沒認識到函數單調性的內涵，不理解單調性的邏輯關系，就“依葫蘆畫瓢”先分析圖象，看出圖象的單調性后，再理所當然的證明單調性． 究竟是從圖象上發現該函數是單調的，才去證明它是單調的？還是研究該函數有這樣的單調性才導致圖象的單調性？正確的邏輯關系顯然是后者．[6]

案例7函數的奇偶性．

關于函數的奇偶性一節，教材首先讓學生觀察函數f(x)=x2和f(x)=2-|x|圖象的共同特征，再回答它們函數值對應表是如何體現這些特征的． 同樣也有不少教者模仿教材“依葫蘆畫瓢”，這樣的教學是“膚淺”的——沒有理解函數奇偶性內在的邏輯關系． 拿函數f(x)=x2來說，究竟是從其對稱圖象上發現f(x)與f(-x)的關系，還是因為有了f(x)=f(-x)的關系，才導致圖象的對稱． 明顯后者是成立的． 基于以上分析，要培養學生正確的邏輯推理思維，不妨引導學生思考：

問題與探究5為什么函數f(x)=x2和f(x)=2-|x|的圖象均關于y軸對稱？

引導學生分析、發現這兩個函數解析式的特點與函數值間的關系，再將函數值間的關系轉化為點間的關系．[7]教材中諸如此類性質的推理還有很多，這里就不再贅述． 一般地，數學性質通常由概念推導而來，性質的教學應從構成性質的要素出發，厘清其中邏輯關系． 以此加深學生對概念的深刻理解，培養學生的邏輯推理能力．

3 結語

數學核心素養不是教師直接以口耳相傳的方式教出來的，而是在一系列的數學探究性活動中通過問題的發現與提出、問題的分析與解決、結論的猜想與證明，潛移默化培育起來的． 學生能夠領悟原理教學中所蘊含的數學思想方法，形成理解和分析問題的學科思維能力是數學核心素養形成的最高表現．[8]數學核心素養的獲得緊緊地依靠著教師設計的探究活動． 數學核心素養的培養，最終是落實到學生個體，數學原理的教學就應以學生為本，教學的重中之重則應從簡單機械的“教知識”轉向“如何教才能促使學生更好地學”，在教師的引導下開展深度學習和自主學習． 數學的公式、法則、定理、性質的學習，是學生獲得數學知識、領悟數學思想方法、積累數學活動經驗、感受數學之美的重要載體，不僅對學生的升學考試有著決定性的作用，同時也潤物細無聲般地影響著學生的審美、智慧、眼光等．