初中數學最值問題的歸類及求解

楊華

【摘要】? 最值問題是初中數學的熱門問題，是中考的熱點.授課中為使學生掌握最值問題的求解思路，教師應結合授課經驗做好最值問題的歸類，圍繞不同題型講解最值問題的求解過程，給學生留下深刻印象，使其在以后解答類似習題時能夠少走彎路，迅速解題.

【關鍵詞】? 初中數學;最值問題;歸類;求解

初中數學最值問題涉及的情境靈活多變，考查的知識點靈活多樣，其中絕對值、圖形、方程、函數等知識常與最值問題相結合，其相關習題的技巧性較強，難度較大.為使學生掌握相關的解題技巧，增強學生的解題自信，教師應做好最值問題的歸類以及典型例題的講解.本篇文章主要概括五類初中數學中常見的最值問題，即絕對值中的最值問題、圖形中的最值問題、方程中的最值問題、函數中的最值問題和軸對稱中的最值問題，并通過相應的例題幫助學生理解和掌握解答對應問題的技巧和思路.

一、絕對值中的最值問題

學生對絕對值中的最值問題并不陌生.解答絕對值中最值問題的常規思路為：運用絕對值的幾何意義以及數形結合思想進行分析.由此可見，對絕對值幾何意義的深入理解以及對數形結合思想的靈活應用是解答該類問題的關鍵.為使學生更好地突破該類問題，教師應注重在授課中運用多媒體技術，為學生直觀展示絕對值的幾何意義，使學生掌握點的位置與絕對值最小值、最大值的關系.同時，為幫助學生進一步理清解題思路，教師應注重通過例題的講解使學生更好地把握解題細節，積累相關的解題經驗.如在解答絕對值之和的最小值時，如涉及兩個已知點，一般未知數的取值位于兩點之間的絕對值之和最小;當涉及三個已知點時，一般未知數的取值位于中間已知點的位置時，絕對值之和最小.如果已知點的大小關系未知，還應結合已知條件先進行判斷.如下題所示：

二、圖形中的最值問題

初中數學圖形中的最值問題從整體上可分為兩類：一類是運用相關的模型，如“將軍飲馬”模型;一類運用幾何圖形的相關性質，對要求解的問題靈活轉化，化陌生為熟悉.為使學生掌握圖形中最值問題的解題思路：一方面，為使學生更好地運用相關的模型解答圖形中的最值問題，教師應注重和學生一起推導相關模型的結論，使學生不僅準確地記憶結論，更要弄明白結論的推導過程，真正理解相關模型的本質，并能夠根據創設的具體情境，合理添加輔助線，迅速求解.另一方面，為使學生靈活應用圖形性質解答最值問題，教師在授課中應與學生一起做好常見圖形性質的總結.初中階段涉及的圖形主要有平行四邊形、矩形、菱形等，解答這類問題不僅需要學生能夠熟悉上述各個基本模型的性質和特點，還要求學生能夠運用思維導圖將常見圖形的性質串聯起來，搞清楚圖形性質之間的區別與聯系，在頭腦中形成系統的知識網絡，尤其應注重為學生精講典型例題，使學生感受解題的過程，從而在以后的學習中能夠運用圖形性質靈活轉化要求解的問題，實現順利求解的目的.

三、方程中的最值問題

方程是初中數學相當重要的一部分知識，部分習題會以方程為背景，求解某一表達式的最值.解答該類問題時應充分挖掘題目中隱含的條件，而后通過對要求解的表達式整理并加以突破.課堂上為使學生掌握相關的解題技巧，一方面，教師應為學生認真講解方程根的判斷知識（例如根的判別式）以及各種求解方程根的方法，主要有配方法、分解因式法、求根公式法.一部分習題并不需要學生求解方程具體的根，而是靈活運用韋達定理求解相關參數之間的關系.在講解該部分知識時，教師應要求學生牢固記憶韋達定理的內容，并基于韋達定理設計相關的問題，要求學生自己推導，在其頭腦中留下深刻的印象.另一方面，教師應為學生灌輸求解表達式最值的常規思路，一般情況下可通過對表達式的整理、化簡轉化為求解函數的問題.為保證學生解題的正確性，教師應通過例題的講解使學生認識到，運用函數求解最值時需要首先確定自變量的范圍.

四、函數中的最值問題

初中數學函數中的最值問題涉及的類型較多，不僅有給出自變量范圍運用函數性質求解函數最值的問題，還有利用函數的圖像、圖形相結合的最值問題.相關習題的難度存在較大差別，其中與函數圖像、圖形相結合的最值問題綜合性較強，考查的知識點較多，難度也相應較大.為使學生掌握函數中的最值問題的解題思路，教師應注重結合具體例題進行講解，使學生掌握相關的解題技巧，要求學生關注題干中的平行、垂直等關系，其中看到平行應注重聯系直線平行時相關角度的關系、中位線及三角形相似等知識;看到垂直應能迅速想到直角三角形、勾股定理、圓中直徑所對的圓周角等知識點;涉及函數坐標時應敢于大膽設出參數等.當然，為使學生將學習到的知識轉化成解題的能力，教師在授課中還應注重組織學生開展專題訓練活動，提高學生的理解和熟練度，并要求學生做好訓練的總結、反思、交流，尤其要通過充分的交流學習他人之長，及時彌補自身的短板與漏洞.可圍繞如下習題開展訓練活動.

五、軸對稱中的最值問題

初中數學中有關軸對稱的最值問題也是基本的最值問題模型之一，主要是讓學生求解兩條不平行的線段、甚至相交的線段之間的有關距離的最小值.這類型問題的難度不大，但技巧性非常強，解題的關鍵在于正確運用兩點之間線段最短這個知識點，需要學生想辦法將所求問題轉化在一條線段上即可.為使學生掌握軸對稱中最值問題的解題思路，教師需要指導學生抓住轉化的關鍵，利用軸對稱的性質確定兩線段之間的某一定直線，利用該定直線找兩線段中任意一條線段的對稱線段，通過將兩線段平移等轉化到一條線段中，則能順利求解.解題時學生需要根據實際問題的不同特點，通過合理的轉化減少變量，繼而使問題得解.在課堂講授該問題時，教師應關注學生的思維變化，使其正確利用轉化的特點靈活解題.學生在平常也應多加練習，培養對題目的敏感性，看到求兩條不在同一直線上的線段的長度就想到利用軸對稱的性質轉化求解.現以下題為例進行講解：

六、總結

最值問題是初中數學的重點、熱門問題，無論是平時的測試還是中考都能看到最值問題的身影，是初中數學試題的“常客”，并且所占的分值也較多.學生要想得高分，最值問題就是必須突破的一道坎.教師在授課的過程中要讓學生牢固掌握不同最值問題的求解思路，促進其解題能力的進一步提升，既要做好理論知識的教授，又要做好相關例題的講解，使學生把握不同最值問題的特點以及適用解法、解題的注意事項等，還要通過一定題目的練習，增強學生對相關解題方法和技巧等的熟悉程度，提高靈活運用能力，從而能夠在解題中做到以不變應萬變.

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