在初中數學“圖形與幾何”的教學中培養學生公理化思想

楊國俊 丘文斯

【摘要】? 我國現行義務教育課程標準及初中數學教材對公理化思想方法的教學要求相對較低，初中數學教材也鮮有對公理化方法的直接描述，但處處體現了公理化思想.筆者認為，作為數學中重要的思想方法，公理化思想方法不應該被淡化處理.本文以人教版初中數學“三角形全等的判定”一節為例，嘗試改進“圖形與幾何”部分的教學，探究如何在教學過程中更好地培養學生的公理化思想.

【關鍵詞】? 公理化思想;初中教學;初中數學

一、引言

所謂公理化方法就是從盡可能少的、未定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的命題（基本公理）出發，利用純邏輯推理的原則，把一門數學建立成為演繹系統的一種方法.在近代數學的發展中嚴格的公理化方法對數學的發展起到巨大的推動作用.

在我國現行的初中數學教材中，“圖形與幾何”的內容是公理化思想方法最直接的體現.考慮到學生的年齡特點、接受能力等方面的情況，教材對該部分內容做了改編，所呈現的并非嚴謹的公理系統.筆者認為，公理化思想方法作為數學中重要的思想方法，在初中數學的教學中應該有適當的處理方式，不能直接按照嚴格的公理系統進行教學，但也不應該被簡單地淡化處理.

二、現行初中教材中的幾何公理系統

（一）現階段的課程標準對公理化思想的教學要求相對較低

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對學生推理能力的培養有明確的要求：合情推理用于探索思路、發現結論，演繹推理用于證明結論.相較于《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（2001年）的要求有所降低.

（二）根據學生特點修改幾何公理

從嚴格意義上來說，數學的論證必須是滴水不漏或是無可置疑的.從這個角度來看，數學對論證的要求比思辨性學科要高.但考慮到中學生在心理特點、知識基礎和智力水平上的差異，我國現行初中數學教材幾乎都對涉及公理化思想方法的內容進行了改編，刪繁就簡，縮短學程，局部或有限地使用了公理化方法.這樣的改編為提高教學質量創造了良好的條件.

（三）幾何知識中滲透公理化方法的思想

初中數學教材所呈現的雖然不是嚴格、完整的公理體系，卻處處體現了公理化思想方法.初中教材中的幾何公理體系是對現實空間性質的直接反映，有著實際內容做支撐，現實世界的種種具體現象為幾何概念的引入與命題的論證提供了生動、直觀的形象.

（四）初中幾何公理化系統的不足之處

教材中，有些概念沒有被定義，或者雖然定義了卻不夠精確;沒有明確提出順序公理和運動公理，卻常常借助這些概念來論述問題，或者在論證過程中默認地使用;沒有明確提出連續公理，卻“想當然”地運用了直線和圓周的連續性質.

三、教學實例——人教版初中數學“三角形全等的判定（第一課時）”

根據學生實際情況改編初中教材中的公理系統，降低對公理化思想方法的要求是存在一定合理性的，但這樣的改編會導致學生所學知識不夠嚴謹，也不利于學生邏輯推理能力的培養.因此，筆者以人教版初中數學八年級上冊第十二章“全等三角形”的“三角形全等的判定（第一課時）”為例，嘗試改進傳統的“圖形與幾何”部分的教學方法，探究如何在教學過程中更好地展現公理化思想方法，培養學生的邏輯推理能力.

（一）“三角形全等的判定（第一課時）”的教材呈現

1.教材呈現過程

舊知識引入

根據三角形全等的定義，得出全等三角形三邊、三角分別相等;思考能否在只滿足上述六個條件中的部分條件的情況下，判定兩個三角形全等

探究新知

探究1：用先畫出一個△ABC，再畫出一個與其全等的△A′B′C′，嘗試探究需要滿足哪些條件才能保證兩個三角形全等.

探究2：畫出兩個三邊分別相等的三角形，再用剪裁對比的方法判斷兩個三角形是否全等，得到“三邊分別相等的兩個三角形全等”這一基本事實.

例題鞏固

以一道典型例題將新知識應用到實際生活中

拓展應用

將新知識應用到全等三角形的作圖中

習題鞏固

略

2.教材呈現過程存在的問題

（1）人教版初中數學教材中明確呈現了“正確性是經過推理證實的，這樣得到的真命題叫作定理”“一個命題的正確性需要經過推理才能做出判斷”，而本小節在引導學生發現“三邊分別相等的兩個三角形全等”這一結論后，卻沒有用嚴謹的方法加以證明.

（2）將“三邊分別相等的兩個三角形全等”看作了基本事實，即為了方便學生的理解而將公理看作定理，但教材擴大了公理的范疇，卻沒有加以說明，一定限度上不利于學生公理化思想的培養.

總的來說，本課時的這種編排有利于學生快速接受知識，但不利于學生嚴謹的數學思維的建構.

（二）改進后的教學設計與實踐

1.教學目標

（1）掌握“SSS”判定定理，初步應用“SSS”判定兩個三角形全等.

（2）經歷探索三角形全等的判定過程，通過操作、歸納得出數學結論，培養學生的動手能力及發現、歸納、總結問題的能力.

（3）會根據“SSS”定理用尺規作出全等的三角形.

2.教學重難點

（1）重點：“SSS”判定三角形全等的條件，會用“SSS”判定兩個三角形全等.

（2）難點：探索三角形全等條件的過程.

3.教學方法

講授法，自主探究法、小組討論法.

4.教學準備

擴展材料1：前置學習任務單（由學生課前自主完成）.

擴展材料2：課外閱讀材料，包含定理“三邊分別相等的兩個三角形全等”的證明過程（略）.

5.教學過程設計

?6.教學創新

（1）本節課有大量需要學生自主探究的部分，且邏輯上環環相扣，因此，教師在教學過程中設計了一連串問題，用問題引導學生思考、探究，啟迪學生思維，讓學生在發現問題—分析問題—解決問題的過程中獲取知識，收獲方法，提升推理能力.

（2）引導學生回憶命題、定理、證明部分的內容，構建新知與舊知的聯系，加深學生對公理化思想方法的認識，將學生由直觀的數學思維逐步引向抽象化的數學思維.

（3）本節課的內容相對較多，也比較難以理解，筆者嘗試以課外材料的形式拓展本節課內容.一方面，以“前置學習任務單”的方式使學生提前對所學內容有所了解，減輕課堂上的學習負擔;另一方面，以“課外閱讀材料”的形式對書本內容進行補充，讓學生課后選擇性地閱讀，使教材知識系統更加完整.

四、結語

我國現行初中數學教材中所呈現的公理系統是經過多方面考量的結果，有可取之處，也有不足之處.本文以人教版初中數學教材中“全等三角形的判定”的內容為基礎，嘗試探究更有利于學生發展的教學方法，希望能對讀者有所啟發，也期盼能有更多行之有效的教學方法幫助我們提升教學質量.

【參考文獻】

[1]徐利治.數學方法論十二講[M].大連：大連理工大學出版社，2007：57.

[2]張平，文曉宇.關于幾何公理化方法的產生、發展和中學幾何公理處理的研究[J].齊齊哈爾師范學院學報（哲學社會科學版），1987（S1）：54-58.

[3]王瓊.淺談中學幾何公理系統[J].西藏大學學報（漢文版），1994（02）：22-25.

[4]尹蓮.“問題鏈”在初三幾何教學中的應用研究[D].云南師范大學，2018.