有關恒成立問題的“一題多解”

王榕

【摘要】? 新課標下的高考越來越注重對學生綜合素質的考查，而恒成立問題涉及的知識點多，解題方法多樣，綜合能力強，可以從多方面考查學生的邏輯思維能力和解題能力.近幾年的數學高考和各地的模擬考、聯考中頻頻出現有關恒成立的問題，雖然題目形式上逐漸多樣化，但是都與函數、導數的知識密不可分.解決恒成立問題常有以下幾種方法：①構造函數法;②分離參數法;③數形結合法.本篇文章以2020年高考理科數學全國新課標Ⅰ卷的一道高考題為引，來闡述解決恒成立問題的多種奇思妙解.

【關鍵詞】? 恒成立;構造函數法;分離參數法;數形結合法

一、方法總結

1.構造函數法

在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函數，即構造函數法，然后利用相關函數的圖像和性質轉化為函數的最值問題來解決問題.

2.分離參數法

分離參數法就是把變元和參數通過等價變形分別寫在等式或者不等式的兩側，然后只需要研究不含參數的那個函數就可以解決問題.一般來說，已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數.

3.數形結合法

數形結合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數”與“形”結合相互滲透，使得代數問題和幾何問題相互轉化.數形結合法主要是通過對不等式進行變形，轉化為兩個熟悉函數圖像間的關系進行求解.

本文以2020年高考理科數學全國新課標Ⅰ卷第21題為例，淺談解決恒成立問題的方法.

二、典例分析

三、總結

一般來說，對于含參數恒成立求參數范圍的問題，構造函數法是一種比較中規中矩的方法，但有時對于含參的分類討論要求較高，難度較大，需要較強的邏輯思維和嚴謹的數學思維.對于例1而言，方法一和方法二的難度顯而易見.相比于構造新函數，分離參數法對于學生而言難度大大降低.通過觀察，當不等式中的參數能夠與其他變量完全分離出來，并且分離后的不等式一邊的函數性質較容易研究，我們首選分參的方法.對于例1，顯然數形結合的方法不適用，這種方法局限性較強，只適用于不等式中涉及的函數或代數式對應的圖像較易畫出時，比如例2，才可以通過圖像的位置關系建立不等式，進而求參數范圍.其中，解決恒成立問題比較快捷的方法就是找出必要條件，這樣可以縮小參數范圍，大大減少分類討論的情況.對于含有絕對值的函數，要注意考慮去絕對值符號的方法.因此，很多恒成立問題都可以從多個角度去探索，這也是解決數學問題的奧妙所在.

【參考文獻】

[1]林偉民.恒成立問題中參數范圍的求法[J].數學教育研究，2005（03）：52-53.

[2]洪小銀.高中數學恒成立問題方法解析[J].中學數學，2019（17）：55-56.

[3]徐加生.恒成立問題中求參數范圍的解題策略[J].數理化學習（高中版），2002（14）：23-24.