空間向量與立體幾何單元測試（A 卷）

2023-09-23 08:44:38河南省漯河市高級中學秦曉燕

中學生數理化(高中版.高二數學) 2023年9期

■河南省漯河市高級中學秦曉燕

一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。)

1.已知直線a,b與平面α,β,γ,能使α⊥β的充分條件是( )。

A.α⊥γ,β⊥γ

B.a⊥α,a⊥β

C.a⊥β,a?α

D.α∩β=b,a?α,a⊥b

3.《算數書》竹簡于20世紀80年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現存最早的有系統的數學典籍,其中記載有求“囷蓋”的術:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一。該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式V≈。它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π 近似取為3。那么,近似公式V≈相當于將圓錐體積公式中的π近似取為( )。

4.在正四面體A-BCD中,已知E,F分別是AB,CD上的點(不含端點),則( )。

A.不存在E,F,使得EF⊥CD

B.存在E,使得DE⊥CD

C.存在E,使得DE⊥平面ABC

D.存在E,F,使得平面CDE⊥平面ABF

5.已知平面α//平面β,P是α,β外一點,過點P的直線m與α,β分別交于點A,C,過點P的直線n與α,β分別交于點B,D,且|PA|=6,|AC|=9,|PD|=8,則線段BD的長為( )。

6.已知平面α內有一點A(2,-1,2),平面α的一個法向量為,則下列四個點中在平面α內的是( )。

A.P1(1,-1,1)

7.已知底面半徑為r的圓錐SO,其軸截面是正三角形,它的一個內接圓柱的底面半徑為,則此圓柱與圓錐的側面積的比值為( )。

8.小明同學參加綜合實踐活動,設計了一個封閉的包裝盒,包裝盒如圖1 所示。底面ABCD是邊長為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GDC,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直,則該包裝盒的容積是( )。

圖1

二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得5 分,部分選對的得2分,有選錯的得0分。)

9.已知l、m、n為空間中三條不同的直線,α、β、γ為空間中三個不同的平面,則下列說法中正確的有( )。

A.若α∩β=n,α⊥β,β⊥γ,則n⊥γ

B.若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,且l//m,則n//m

C.若α//β,l、m分別與α、β所成的角相等,則l//m

D.若m⊥α,m⊥β,α//γ,則β//γ

10.如圖2,八面體的每一個面都是正三角形,并且A,B,C,D四個頂點在同一平面內,下列結論中,正確的命題為( )。

圖2

A.AE//平面CDF

B.平面ABE//平面CDF

C.AB⊥AD

D.平面ACE⊥平面BDF

圖3

A.在該多面體中,|BD|=

B.該多面體是三棱錐

C.在該多面體中,平面BAD⊥平面BCD

12.勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”,它能在兩個平行平面間自由轉動,并且始終保持與兩平面都接觸。勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心,以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體。若用棱長為4的正四面體A-BCD作勒洛四面體,如圖4,則下列說法正確的是( )。

圖4

A.平面ABC截勒洛四面體所得截面的面積為

B.記勒洛四面體上以C,D為球心的兩球球面交線為弧AB,則其長度為

C.該勒洛四面體表面上任意兩點間距離的最大值為4

三、填空題(本大題共4 小題,每小題5分,共20分。)

13.如圖5,三棱錐ABCD的所有頂點都在球O的表面上,平面ABD⊥平面BCD,|BC|=|CD|=|AD|=1,|BD|=,|AB|=,則球O的表面積為_____。

圖5

14.如圖6,在正四棱錐P-ABCD中,|PA|=|AB|,點M為PA的中點,若MN⊥AD,則實數λ=____。

圖6

15.渾儀(如圖7)是中國古代用于測量天體球面坐標的觀測儀器,它是由一重重的同心圓環構成,整體看起來就像一個圓球。學校天文興趣小組的學生根據渾儀運行原理制作一個簡單模型:同心的小球半徑為1,大球半徑為R。現要在大球內放入一個由六根等長的鐵絲(不計粗細)組成的四面體框架,同時使得小球可以在框架內自由轉動,則R的最小值為____。