關于閉區間上非常數連續函數的最值

摘要：閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的圖形特征是一條連貫不斷、不間斷的線段，從而閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）一定有最大值和最小值，通過導數的應用可以很方便地把閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的最值求出來。

關鍵詞：閉區間；非常數連續函數；圖形特征；最大值；最小值

一切初等函數在其定義區間內都是連續函數，連續函數的圖形特征表現為在定義區間內是連貫不斷、不間斷的。那么對于閉區間[a，b]（其中a

一、 閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的圖形特征

閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的圖形是一條連貫不斷、不間斷的線段，它的兩個端點分別是（a，f（a））、（b，f（b））。由以上圖形特征可知，閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的圖形至少有一個最高點和有一個最低點。

【例1】函數y=x2，x∈[-2，2]的圖形如下所示：

觀察圖形可知，函數y=x2，x∈[-2，2]的圖形的最高點有兩個，分別是（-2，4）、（2，4）；最低點是坐標原點（0，0）。

【例2】函數y=x2，x∈[1，2]的圖形如下所示：

觀察圖形可知，y=x2，x∈[1，2]的圖形的最高點為（2，4）；最低點是（1，1）。

【例3】函數f（x）=3x-x3，x∈[-2，2]的圖形如下所示：

觀察圖形可知，函數f（x）=3x-x3，x∈[-2，2]的圖形的最高點有兩個，分別是（-2，2）、（1，2）；最低點也有兩個，分別是（-1，-2）、（2，-2）。

事實上，以上圖形的最高點的縱坐標就是閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的最大值；而以上圖形的最低點的縱坐標就是閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的最小值。

二、 閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的性質

由以上閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的圖形特征可知，閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）一定有最大值和最小值，這就是閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的性質。

那么，如何通過計算求出閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的最值呢？

再一次觀察以上三個例題中的圖形，可以得出閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的最值要么是在閉區間[a，b]的端點處取得的；要么是在閉區間[a，b]的內部取得的，此時的最值事實上也是函數的極值。

函數的極值要么在函數的駐點處（即導數等于0的x值）取得；要么在函數的尖點處（即導數不存在的x值）取得。

綜合以上分析，可得通過計算求出閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的最值的步驟如下所述：

（1）求出函數的導數，并將函數的駐點和尖點求出來，其中不屬于閉區間的駐點和尖點要舍去；

（2）計算閉區間[a，b]的兩個端點處、駐點和尖點處的函數值；

（3）比較以上函數值，其中最大者就是所求的最大值；最小者就是所求的最小值。

【例4】求出函數f（x）=3x-x3，x∈[-2，2]的最大值和最小值。

解：（1）f′（x）=（3x-x3）′=（3x）′-（x3）′=3-3x2=3（1+x）（1-x），

令f′（x）=0，即3（1+x）（1-x）=0，解得x1=-1，x2=1；

（2）計算函數值：f（-2）=2、f（-1）=-2、f（1）=2、f（2）=-2；

（3）比較以上函數值，得函數f（x）=3x-x3，x∈[-2，2]的最大值為f（-2）=f（1）=2，最小值為f（-1）=f（2）=-2。

以上結論與例3中觀察函數的圖形所得最值的結論是一致的。

【例5】求出函數y=x2，x∈[1，2]的最大值和最小值。

解：（1）y′=（x2）′=2x，

當1

（2）所以函數y=x2，x∈[1，2]的最大值為f（2）=4，最小值為f（1）=1。

以上結論與例2中觀察函數的圖形所得最值得結論是一致的。例5表明函數在閉區間上單調遞增時，最大值在區間的右端點處取得，而最小值在區間的左端點處取得；若函數在閉區間上單調遞減時，則最大值在區間的左端點處取得，而最小值在區間的右端點處取得。

【例6】求出函數f（x）=1+3x2，x∈[-1，22]的最大值和最小值。

解：（1）f′（x）=（1+3x2）′=1′+（x23）′=23x-13=233x，

當x=0時，函數不可導，x=0是函數的尖點；

（2）計算函數值：f（-1）=2、f（0）=1、f（22）=3；

（3）比較以上函數值，得函數f（x）=1+3x2，x∈[-1，22]的最大值為f（22）=3，最小值為f（0）=1。

可見，閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的最值一定是存在的，并且通過導數的應用可以很方便地把閉區間[a，b]上的非常數連續函數y=f（x）的最值求出來。

作者簡介：

王越洋，湖北省襄陽市，湖北襄陽四中。