沙堡的最佳3維幾何形狀

唐明陽 于晶晶 張明智

（1湖北大學資源環境學院，湖北 武漢 430062；2 湖北大學資源環境學院，湖北 武漢 430062；3 湖北大學材料科學與工程學院，湖北 武漢 430062）

一、問題分析

眾所周知，沙堡不能長時間保持固定形狀。潮汐和波浪，雨水，空氣濕度以及沙水比對沙丘都有不同程度的侵蝕。顯然，這與力有關，例如海浪撞擊、雨水沖刷，沙與水的比例可以改變沙粒之間的動摩擦系數。因此，我們對砂粒進行了受力分析。

首先，為了研究在波浪和潮汐作用下沙丘基礎的最佳三維幾何形狀，我們分析了直接受到波浪影響的沙粒。在本文中，我們假設物理量θ代表沙丘切線平面與地面之間的角度。我們研究了沒有波浪的自然狀態，和沙粒在波浪作用下脫離沙丘之前的臨界狀態。我們假設海浪是作用在砂粒水平方向上的恒定力，并通過函數關系，可得最佳角度。

根據對第一個問題的分析，我們認為在下雨時，沙子會受到垂直向下的力和沿傾斜平面的向下力。這是因為一些雨水通過滲透進入谷粒之間，并在谷粒上具有垂直向下的力，而其他雨水則以徑流的形式聚集在沙丘表面上，并且沿著斜坡在谷粒上具有向下的力。進行了砂粒的受力分析，得到了波浪力的大小與角度θ之間的關系，并繪制了圖像。同時，由于角度仍然是一個固定值，因此第一個問題確定的最佳三維幾何模型仍然是下雨時的最佳基礎模型。

由于還有其他因素會影響沙堡的穩定性，因此與海的距離，沙堡的體積以及沙堡中的沙子材料都可以提高其穩定

二、問題假設

1.不同沙丘的地基距海水相同。

2.不同的沙丘基礎使用完全相同的沙粒。

3.在第一個問題的建立確定最佳三維沙堡結構的模型的過程中，假定不同的沙堡地基使用相同的水沙混合比。

4.在第一個問題的建立確定最佳三維沙堡結構的模型的過程中，假定在沙子上的波浪力是水平方向的恒定力，并忽略空氣阻力，空氣濕度等的影響。

5.在建立確定最佳三維沙堡結構的模型的過程中，假設波浪僅在第一時間對表層砂產生影響，在表層砂分離后，剩余的表層砂受到波浪作用。

6.在第二個問題中建立求解最佳水沙混合比的模型的過程中，假設沙水混合后沒有體積損失。

三、符號

為方便起見，我們在模型中使用以下符號，請參見表1。

表1：符號及說明

四、模型

（一）最佳三維模型

首先，我們考慮在自然狀態下沙不受波浪和潮汐影響的條件，分析沙粒在沙丘表面上的受力，如下圖所示：

圖4.1.1 在沒有海浪的情況下作用在沙粒上的力

沙子受到自身的重力，垂直于斜面的支撐力和沿斜面向上的靜摩擦力，假設x方向是摩擦力的方向，y方向是支持力的方向。沿X軸和Y軸分解力，寫出力平衡方程：

u是顆粒之間的靜摩擦系數，g=9.8m/s2。為使砂子保持穩定靜止狀態，有：

所以，在波浪和潮汐的作用下，沙堆可以保持穩定的條件是：

下面是波浪作用下的沙堆受力分析，其中，我們將波浪作用在沙丘上的力視為水平方向上的恒定力。在臨界條件下，沙粒正好要脫離，受力如下：

圖2.波浪作用下作用在沙粒上的力

對于沙粒即將離開的狀態，沿x和y方向的力關系如下：

力F1和角θ之間的關系如下：

繪制F1-θ圖像以獲取F1取最大值（即最佳角度值）時角度θ的大小。當取該角度值時，與其他角度相比，剛好脫離時的波浪力值最大，沙粒離開沙丘，也就是說，沙丘開始瓦解。因此，在最佳形狀下，角度θ為一定值，即由沙丘的外表面切線與地面所成的角度為固定值。最佳幾何圖形應該是帶有固定角度圖形，如圓錐形，金字塔形或圓臺形。

（二）最好的沙水混合物比例

從問題1的模型中，我們可以知道沙水比會影響沙丘的穩定性。

我們考慮經典的Mohr-Coulomb分析[2]：

Sa是內聚力，D是破壞深度處的重力，k是內摩擦系數，ρ是沙堆的質量密度，g是重力加速度。

液體會改變沙堆的內聚力，水的作用會增強沙子的結合。

為了獲得良好的組合，我們需要計算出問題中的最佳臨界角1，我們可以得到適當比例的砂與水。

沙堆的質量密度是沙子和水的平均密度，我們有：

其中，k通常為30-35。

我們可以使用臨界角計算最佳沙水比例。

（三）降雨影響

下雨時，水會滲入沙粒間，產生垂直向下的滲透力，其余的水隨沙丘斜面流動，形成地表徑流，對沙粒產生沿斜面向下的力。因此，除上述作用力外，砂子還受到垂直向下的作用力和沿斜面的向下作用力，如下圖所示：

圖4.3 下雨時沙粒受力情況

對沙粒剛剛脫離沙丘進行受力分析（臨界狀態）：

其中F2為地表徑流的侵蝕力，F3為雨水沿斜面流動的沖刷力。可以通過繪制F 1和角度θ之間的關系曲線來獲得最佳角度值。易知，角度仍然是一定值，因此，即使下雨后，該模型仍然是最佳的三維幾何模型。