以《圓的面積》一課為例探索數學轉化思維

鄭建偉

摘 要：圓是一個曲線圖形，探索它的面積公式可以使學生進一步體會“轉化”的思想方法，但反觀課堂教學，卻困難重重。筆者從學情前測、數學本質、教材教法三方面梳理體系，并提出“經歷估測、聯想推理、多元轉化”三條策略，從而落地“轉化”思想，促進學生空間觀念的不斷提升，提高數學素養。

關鍵詞：圓的面積;度量;轉化

《圓的面積》是人教版小學數學六年級上冊內容，屬于圖形與幾何領域。圓是學生研究的第一個曲線圖形，也是學生在小學階段所學習的最后一種平面圖形，探索它的面積推導過程顯然比直線圍成的圖形要難，包括：轉化方式想不到、化曲為直難理解、極限思想無體驗。用直觀的“有限等分”去想象抽象的“無限等分”，思維跨度較大，極限思想對小學生而言看不見、摸不著，又要求學生在短時間內理解和掌握，其中的困難不言而喻。

這些問題無不反映出數學思想的缺失。課堂上如何落實“轉化”思想，筆者從數學本質、教材教法、學情前測三方面進行梳理求本，并從“估測驗證、聯想推理、多元轉化”三個策略入手，讓學生理解掌握圓面積的推導過程，實現空間觀念的提升和轉化思想的落地。

一、梳理體系，溯本求源

（一）基于理論，把握概念本質

什么是圓的面積？筆者通過查閱現行的數學教材與《解析幾何》《幾何原本》等相關著作，發現有關“圓面積”有多種不同的表述方式，在教材中的定義通常有兩種。定義1：圓所占平面的大小叫作圓的面積;定義2：圓的內接或外切正多邊形，當邊數無限遞增時，其面積的極限叫作圓的面積。

定義2在圓面積定義中提到的“圓內接或外切正多邊形”是隨著內接或外切的正方形的邊數無限遞增時，它的面積越來越逼近圓的面積。它體現了“圓出于方”“化曲為直”的極限思想，動態展現圓面積的推導過程。所以，只有把握了形概念，才能更好地探索型的本課教學。

（二）基于教材，厘清認知序列

教材遵循著怎樣的邏輯體系呢？筆者根據“平面圖形面積的度量”，梳理如下：

三年級初識面積，觸摸度量本質：通過在長、正方形里擺大小統一的小正方形，從而推導出長、正方形面積計算公式。

五年級明朗轉化方法，化新為舊：利用割補法、倍拼法等多種轉化方法，將新圖形轉化為舊圖形，經歷等積變形的過程。

六年級深刻轉化思想，化曲為直：圓是一個曲邊圖形，它的公式推導比先前學的直邊圖形面積推導困難得多。首先，在面積推導中的“轉化思想”在圓面積公式推導也有非常重要的價值;其次，圓面積公式推導需要實現化曲為直、極限思想的轉化，體現量變到質變的發展規律。

（三）基于前測，量化現有水平

學習本課之前，學生會怎樣推導圓的面積計算公式呢？筆者對未上過本節課的120名六年級學生展開前測，并根據范希爾的幾何思維水平得出以下數據：

16.7%的學生思維處于直觀化水平，這啟發教師課上要激活舊知，做好知識技能和思想方法的鋪墊，引導學生經歷面積度量從粗略到精準的過程;66.0%的學生無法成功推導圓面積，課上需要直觀展示化曲為直的過程、引導學生想象和理解抽象的“無限等分”，實現思維從描述分析向抽象關聯過渡;17.3%的學生對圓面積的探索有多元方式，教師應創設開放的探究空間，提供豐富的研究素材，讓學生經歷多種操作活動，積累數學活動經驗，內化“轉化”思想。

二、策略改進，有的放矢

經過理論引領、教材梳理、學情分析，如何讓學生經歷度量過程，深化轉化思想呢？筆者提出“經歷估測、聯想推理、多元轉化”教學策略。

（一）經歷估測，迂回驗證，凸顯轉化價值

之前平面圖形面積公式推導中的轉化，都是由直邊圖形轉化為直邊圖形，可圓作為一種曲線圖形，要怎樣才能轉化成直邊圖形呢？筆者認為可以在“圓的面積”公式推導前，先猜一猜圓的面積會與什么有關呢？使學生在猜想中，圓面積和圓各部分大小、長短的關系，感受“化曲為直”的思想。

第一次估測：直接延續，猜測圓面積和半徑的關系

師：（出示半徑為3、4、5厘米的圓）要知道這些圓的面積，有什么方法？

生：先數出[14]圓的面積，那么就可以×4計算整個圓的面積。

第二次估測：遷移比較，否定圓面積和直徑的關系

師：用圓的面積除以相應圓的直徑呢？同桌之間互相說一說。

生討論，并反饋。

第三次估測：觀察轉化，想象圓面積和半徑平方的關系

師：那么圓的面積與什么有關呢？（師引導學生關注圓的面積與小正方形之間的關系）

生猜測：圓的面積與半徑的平方之間的倍數關系是不是不變的呢？

利用圓內接和外切正方形估計面積，既有利于學生對圓面積與半徑關系的理解，得出圓面積的取值范圍，又滲透了用“逼近”思想探究圓面積計算公式的方法，體現了極限的思想。學生三次提出猜想，在迂回中不斷接近問題的本質，具有探索性的設問，每一次都助推著學生思維向更深處延伸，為進一步探究圓的面積公式指明方向。

（二）聯想推理，化曲為直，突破轉化難點

對于圓能否轉化成標準的直邊圖形來推導其公式，學生非常難理解。當教師給出分割圖后，大部分學生認為不能轉化，也不知道從哪里入手才能把圓拼成學過的圖形，如何在操作中如何“化曲為直”是學生思維最大的“絆腳石”。

【片段一】動手剪拼，逐步呈現圓面均分、遞增現象

在理解圓的面積的意義之后，通過對比復習平面圖形的面積推導方法，感受直線和曲線平面圖形推導方法的不一致，引出化曲為直的方法。

師：請同學們拿出課前準備好的6張圓形紙片，把它分成4等份、8等份、16等份、32等份，剪開后，用這些近似的等腰三角形的小紙片拼一拼、擺一擺，看看你能發現什么？

通過對比幾組的作品，引導學生發現，當把圓平均分的份數越多，這個圖形就越接近于長方形。

【片段二】直觀演示，實現量變到質變的跨越

師：如果把圓分成64等份、128等份、256等份……一直這樣分下去，你們覺得會是怎樣的圖形？請大家發揮想象。（師用課件演示，印證學生的想象）

用課件演示細分的過程，形象直觀，讓學生感受極限的思想，當把圓一直分，到不能再分時，拼成的圖形真的就最接近長方形了。

【片段三】聯想推理，尋找轉化前后的對應關系

師：拼成的近似長方形與圓有何關系？圓的面積到底怎么計算呢？（生觀察自己拼成的圖形，結合課件演示，獨立推導出圓的面積）

必要的操作是推理的基礎。在課件演示后重點引導學生思考勾連圓和長方形之間的聯系，提升聯想推理能力。這樣由扶到放、由表面現象到本質的引導，使學生始終參與到如何把圓轉化為近似的長方形中來，從而真切地經歷知識的形成過程。

把圓轉化成“近似的長方形”，學生對“近似的長方形”充滿了疑惑，所以教學時通過比較直觀的“有限等分”引導學生逐漸去理解“無限等分”。學生經歷了猜想、操作、推理、轉化的過程，把圓轉化成已知圖形，從而推導出圓的面積公式。

（三）多元轉化，打開時空，觸及轉化本質

為聚焦轉化前后圖形之間的關系，教師可以讓學生自主選題，介紹另外的推導方式，還可以適時安排一些能體現出轉化前后圖形之間關系的題目加以練習，數形結合加深對抽象公式的理解，培養發散性思維，體驗轉化的魅力。

【片段一】各異方式，讓轉化思想生根發芽。

前測表明，學生能想出不一樣的轉化方式。課前教師引導學生展示思維的最原始狀態，在課堂適時呈現：

師：動手剪一剪圓紙片，把它平均分成16份，拼一拼：試著轉化成熟悉的圖形，并計算出相應的面積。

教師及時引導學生歸納：圓是曲線圍成的圖形，將圓轉化成三角形、梯形、平行四邊形、長方形等都是線段圍成的圖形，而化曲為直是轉化的運用與體現。另有學生想出更多的轉化方式：

【片段二】及時鞏固，讓轉化思想根深蒂固。

上述方法都把一個未知的、尚未建立面積公式的圓，轉化成為一個已經能求出面積的基本圖形，根據剪拼前后的圖形關系，求出圓的面積。這種轉化思想是基于“化曲為直”、變“有限”為“無限”的思考，不同的推導思路讓學生感受方法的多樣性和一致性，加深對轉化思想的認識和體驗，同時感悟“無限逼近”和“等積變形”的含義。

三、著眼未來，任重道遠

“圓的面積”一課所承載的思想方法延續到圓柱的體積一課：

把一個圓柱沿半徑分成若干等份，然后拼成一個近似的長方體，已知轉化后的長方體的高為6厘米，長方體的表面積比圓柱多48平方厘米。那么，這個圓柱的體積是（? ?）立方厘米。

延伸變式把原命題中圓的面積問題改為圓柱的體積問題，是對原命題設計理念的一種延伸應用，旨在評價解題者對圓柱體積公式推導過程的理解。

轉化思想的習得與運用不是一蹴而就的，而應該是循序漸進，為提升學生思維能力服務的。轉化思想的滲透與運用，要注重完善轉化思想在圖形與幾何教學中的情感構建，要基于學生已有知識經驗和思維方式的個體差異，逐步感悟“轉化”的魅力，收獲數學學習和研究的快樂。