合理分類(lèi) 理清概念

王見(jiàn)新

[摘? 要] 概念學(xué)習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，其分類(lèi)與層次對(duì)構(gòu)建學(xué)生的概念學(xué)習(xí)系統(tǒng)有著重要的意義。概念分類(lèi)是數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)分支，它既是構(gòu)建學(xué)生數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)，又是加深學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的途徑。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程就是用數(shù)學(xué)概念不斷進(jìn)行分析、比較、概括、綜合、推理和判斷的過(guò)程。文章從概念形成、概念同化、概念形成和概念同化相結(jié)合三個(gè)方面具體闡述概念分類(lèi)的思想。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念;概念分類(lèi);概念同化

數(shù)學(xué)概念泛指一種思維形式，指人腦對(duì)客觀(guān)對(duì)象的空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的反映，一般以公式、法則、或定理的方式呈現(xiàn)。理解并合理使用數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的基礎(chǔ)與前提。概念分類(lèi)是概念學(xué)習(xí)的重要載體，教師不可能將所有的數(shù)學(xué)現(xiàn)象提供給學(xué)生，而是提供一些不同類(lèi)的數(shù)學(xué)材料，組織學(xué)生對(duì)這些材料進(jìn)行分類(lèi)總結(jié)，推理出同類(lèi)數(shù)學(xué)概念 [1]。奧蘇伯爾（D.P.AuSubel）認(rèn)為數(shù)學(xué)概念的形式有概念形成和概念同化兩種形式。教師可根據(jù)概念的形式，引導(dǎo)學(xué)生充分感悟概念分類(lèi)的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)思想。

一、實(shí)操分類(lèi)，感知概念形成

學(xué)生大腦中原有的數(shù)學(xué)概念與新概念之間達(dá)到平衡的狀態(tài)是數(shù)學(xué)概念形成的原始動(dòng)力，概念形成的過(guò)程就是學(xué)生獲得同類(lèi)事物共同屬性的過(guò)程。教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，讓學(xué)生在經(jīng)歷中感知數(shù)學(xué)現(xiàn)象的抽象、概括、分類(lèi)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)空間概念并感知概念形成的具體過(guò)程。概念形成過(guò)程一般經(jīng)歷以下幾個(gè)步驟：辨別，學(xué)習(xí)者根據(jù)實(shí)際情況找出數(shù)學(xué)材料的基本屬性;分類(lèi)，將數(shù)學(xué)材料中同一屬性的歸為一類(lèi);抽象，剔除材料的非本質(zhì)屬性，用語(yǔ)言提煉其本質(zhì)屬性;檢驗(yàn)，對(duì)比其他數(shù)學(xué)材料是否也存在這種屬性;概括，文字表達(dá)這種屬性;形式化，用字母或數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)，概念形成。整個(gè)過(guò)程環(huán)環(huán)相扣，缺一不可。

案例1：“平年與閏年”的教學(xué)。

在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)年、月、日后，讓學(xué)生通過(guò)各種方式統(tǒng)計(jì)近五年期間每個(gè)月的天數(shù)，記錄下來(lái)。

師：同學(xué)們都對(duì)近五年期間每個(gè)月的天數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)在請(qǐng)大家觀(guān)察自己記錄的數(shù)據(jù)，找找每個(gè)月天數(shù)的規(guī)律。

生1：我發(fā)現(xiàn)大部分月份都是30天或31天。

生2：我發(fā)現(xiàn)每年的2月份天數(shù)不固定，其他相同月份是固定的，比如每年的3月份都是31天。

生3：對(duì)的，2020年的2月份是29天，比2019年多1天。

師：同學(xué)們觀(guān)察得都很仔細(xì)，那我們就單獨(dú)觀(guān)察一下2月份的天數(shù)，大家說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。

生4：2020年和2016年的2月份都是29天，2017年、2018年、2019年的2月份都是28天。

師：很好，今天我們要學(xué)習(xí)的知識(shí)就是“平年與閏年”的概念，2月份有29天的年份，我們稱(chēng)其為閏年;2月份有28天的年份，我們稱(chēng)其為平年。我們?cè)儆^(guān)察閏年年份的數(shù)字與平年年份的數(shù)字有什么區(qū)別。（學(xué)生交流討論）

生5：2016年和2020年這兩個(gè)數(shù)都是4的倍數(shù)，而2017年、2018年、2019年的數(shù)都不是4的倍數(shù)。

……

教師選擇讓學(xué)生觀(guān)察近五年每月的天數(shù)，目的在于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察與比較迅速找到不同年份中每個(gè)月天數(shù)的異同屬性，學(xué)生尋找到2月份以外每個(gè)月天數(shù)的固定規(guī)律后，再針對(duì)2月份這個(gè)特殊月份進(jìn)一步比較分析，從而獲得閏年和平年的本質(zhì)。這種通過(guò)實(shí)際操作分類(lèi)逐漸形成的概念，不僅培養(yǎng)了學(xué)生觀(guān)察分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的嚴(yán)謹(jǐn)性，還讓學(xué)生充分感知了平年和閏年概念形成的過(guò)程。學(xué)生通過(guò)親自參與分類(lèi)獲得的數(shù)學(xué)概念比直接誦讀獲得的數(shù)學(xué)概念要牢固穩(wěn)定得多。

二、衍生概念，感知概念同化

概念同化一般指利用學(xué)生認(rèn)知中原有的概念，用定義的方式提示新概念的主要特征，讓學(xué)生獲得新概念的方式。概念同化多用于衍生概念教學(xué)中，以衍生概念的原概念作為課堂教學(xué)的起點(diǎn)，通過(guò)激活學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原概念知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)而同化出新概念。新概念是否得到充分的同化，主要取決于學(xué)習(xí)者原有概念與新概念是否能達(dá)到平衡的狀態(tài) [2]。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生獲得概念同化的關(guān)鍵任務(wù)就是從實(shí)際情況出發(fā)，使用觀(guān)察、操作、分類(lèi)與分析等方法，協(xié)助學(xué)生達(dá)成新概念與原概念的平衡。

案例2：“認(rèn)識(shí)方程”的教學(xué)。

教師在白板上展示以下8道式子，要求學(xué)生分組討論這8道式子的分類(lèi)方法。

35+65=100 100+x>100

100+x=200 100+x<300

x-5=30 y+20=180

60<50+30 4x=360

一部分學(xué)生將式子中有“=”號(hào)的分類(lèi)在一起，有“<”或“>”號(hào)的分類(lèi)在一起（見(jiàn)圖1）：

還有一部分學(xué)生將含有字母的式子歸為一類(lèi)，沒(méi)有字母的式子歸為一類(lèi)（見(jiàn)圖2）：

教師鼓勵(lì)學(xué)生從圖1和圖2的分類(lèi)方式尋找異同點(diǎn)，經(jīng)過(guò)分組討論后得出下圖（見(jiàn)圖3）：

教師在三張圖形的基礎(chǔ)上揭示方程的概念。其實(shí)方程是等式衍生出來(lái)的新概念，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有等式的概念，經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)由淺入深地層層遞進(jìn)，衍生出新概念——方程。圖1根據(jù)式子是否含有“=”號(hào)進(jìn)行分類(lèi)，圖2根據(jù)式子是否含有字母進(jìn)行分類(lèi)，再對(duì)這兩種分類(lèi)結(jié)果進(jìn)行觀(guān)察比較，尋找出異同點(diǎn)，學(xué)生能清晰地認(rèn)識(shí)到其中的關(guān)系——有些式子含有字母的同時(shí)又是等式，方程的概念也昭然揭曉。這是概念同化的過(guò)程，是學(xué)生根據(jù)式子的分類(lèi)逐層揭曉新概念的本質(zhì)，明確等式與方程的區(qū)別與聯(lián)系，在大腦中構(gòu)建新的認(rèn)知。

三、兩者結(jié)合，形成概念系統(tǒng)

構(gòu)建良好的概念系統(tǒng)，需將概念形成和概念同化的方法結(jié)合在一起使用。學(xué)生在兩種方法結(jié)合的過(guò)程中體會(huì)概念之間的關(guān)系，可用下圖（見(jiàn)圖4）表示：

根據(jù)概念系統(tǒng)形成的圖示可見(jiàn)：概念系統(tǒng)的形成首先是學(xué)生根據(jù)實(shí)際操作或?qū)嵗M(jìn)行觀(guān)察、分析、分類(lèi)，總結(jié)出概念的本質(zhì);然后在概念形成的基礎(chǔ)上，通過(guò)觀(guān)察和分類(lèi)將大腦中原有的概念衍生出新概念;再根據(jù)概念之間的內(nèi)部聯(lián)系，逐漸形成良好的概念系統(tǒng) [3]。

例如，“認(rèn)識(shí)三角形”的教學(xué)，展示一組三角形（見(jiàn)圖5）。

師：觀(guān)察圖5，其中圖①、圖②的三個(gè)角分別是什么角？

生：圖①有一個(gè)直角、兩個(gè)銳角;圖②有三個(gè)銳角。

師：我們來(lái)量一量看（在白板上演示量角器的測(cè)量過(guò)程），可見(jiàn)這位同學(xué)的回答是正確的。大家再觀(guān)察一下其他的三角形，是不是所有的三角形都是由直角或銳角組成的呢？

生：圖③和圖⑤里面有鈍角。

師：這位同學(xué)觀(guān)察得很仔細(xì)，現(xiàn)在大家來(lái)填寫(xiě)這張表格（表1）。

學(xué)生根據(jù)表格的結(jié)果進(jìn)行三角形分類(lèi)如下：

（1）有直角的是圖①和圖⑥，沒(méi)有直角的是圖②、圖③、圖④、圖⑤;

（2）有鈍角的是圖③和圖⑤，其他四幅圖形都沒(méi)有鈍角;

（3）有三個(gè)銳角的是圖②和圖④，有兩個(gè)銳角的是圖①、圖③、圖⑤、圖⑥;

（4）三個(gè)角都是銳角的是圖②和圖④，有一個(gè)直角、兩個(gè)銳角的是圖①和圖⑥，有一個(gè)鈍角、兩個(gè)銳角的是圖③和圖⑤。

學(xué)生在交流過(guò)程中分別闡述了分類(lèi)的理由，各種角度分類(lèi)，顯示出層次感與條理性，并從分類(lèi)中引出銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形的概念。這是概念形成和概念同化相結(jié)合的過(guò)程，學(xué)生也由此對(duì)三角形產(chǎn)生了完整的認(rèn)識(shí)，形成系統(tǒng)概念。

綜上所述，構(gòu)建數(shù)學(xué)概念需學(xué)生經(jīng)歷比較、分類(lèi)、討論、總結(jié)的過(guò)程。學(xué)生經(jīng)歷概念形成和概念同化過(guò)程中的分類(lèi)，逐漸積累經(jīng)驗(yàn)，感悟分類(lèi)是概念系統(tǒng)形成的重要載體。若遇到層次繁多而復(fù)雜的情況，教師可引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)角度確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，化難為易，不漏不重地歸類(lèi)總結(jié)，解決問(wèn)題，幫助學(xué)生構(gòu)建新的概念體系。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 邱呈玲，宋慶福. 中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略研究[J]. 荊楚學(xué)刊， 2003（06）.

[2]? 崔友花，李慶民. 將概念教學(xué)進(jìn)行到底——談數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念教學(xué)[J]. 網(wǎng)絡(luò)科技時(shí)代，2007（16）.

[3]? 徐正洲. 在概念建構(gòu)中感悟分類(lèi)思想——以《三角形按角分類(lèi)》的教學(xué)為例[J]. 小學(xué)教學(xué)研究，2018（25）.