以學定教，順學而導

肖慧 虞秀云

[摘? 要] 基于學生學習路徑分析的基本框架，從理解學習目標、確定學習起點、分析學習路徑、設計并實施教學任務這四個步驟對“圓的面積”一課進行教學設計，從學生多元的學習路徑出發(fā)設計適切多樣的教學路徑，旨在培養(yǎng)學生數(shù)學思維的個性化，使不同學習路徑的學生得到最優(yōu)發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 學習路徑分析;圓的面積;以學定教

學習路徑，是指學習者為達到學習目標所進行的一系列學習活動的過程。學生已有的知識經(jīng)驗、學生的思維過程以及學生對知識的表征方式是構(gòu)成對學生學習路徑分析的三個主要方面 [1]。基于學生學習路徑分析的數(shù)學教學則包括以下四個步驟：理解學習目標、確定學習起點、分析學習路徑、設計并實施教學任務 [2]。本文將結(jié)合這四個步驟，基于學習路徑分析設計圓的面積教學，就如何充分理解學生，實施有效教學做進一步探究。

“圓的面積”是人教版小學數(shù)學六年級上冊的內(nèi)容，是學生所接觸的第一種曲線圖形的面積計算。它作為小學“圖形與幾何”內(nèi)容的重要組成部分，是平面圖形測量中由直線圖形向曲線圖形過渡的關(guān)鍵點?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》對該內(nèi)容的要求是“探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題”。根據(jù)課標的要求，學生既要經(jīng)歷圓面積計算公式的推導過程，掌握圓的面積計算公式，又要能夠靈活運用其解決實際問題。

一、理解學習目標

北師大版、人教版、浙教版以及蘇教版教材中關(guān)于“圓的面積”計算都采用了“分割—拼合”法，即將圓等分成若干個小扇形，再將其拼合成近似的長方形，進而根據(jù)長方形的面積計算公式推導出圓的面積計算公式。由于前面學習過平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的面積，積累了大量利用數(shù)方格和“分割—拼合”法研究直線圖形面積的經(jīng)驗，學生較容易想到運用這兩種方法求解。但方格法操作麻煩，誤差較大，利用“分割—拼合”法轉(zhuǎn)化成學習過的平面圖形則是較為精確求解圓面積的主要方法。公式推導的過程中涉及轉(zhuǎn)化和極限的數(shù)學思想，考慮到學生已有的知識經(jīng)驗和思維特點，對極限思想的理解將是本節(jié)課的一大學習難點。

因此，為了幫助學生突破難點，真正理解“圓的面積”這一內(nèi)容，現(xiàn)將學習目標分解為以下幾點：

1. 正確理解圓的面積的概念;

2. 把圓分割、拼合成學過的平面圖形，體會轉(zhuǎn)化后的圖形與圓之間的關(guān)系，積累研究圖形面積的經(jīng)驗;

3. 經(jīng)歷操作、觀察、分析、想象等活動，推理歸納出圓的面積計算公式，體會化歸和極限思想，感受圖形間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化;

4. 理解圓的面積計算公式，能正確計算圓的面積，解決實際問題。

二、確定學習起點

準確了解學生的學習起點是進行教學設計的前提和依據(jù) [2]。確定學生真實的學習起點可以通過學生訪談、進行相應的課前測試、依據(jù)教學經(jīng)驗或者已有研究等途徑來實現(xiàn)。關(guān)于“圓的面積”這一內(nèi)容，通過對已有文獻進行研究，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生研究圓的面積主要采用數(shù)方格、與外切或內(nèi)接正方形進行比較、分割成原來學過的圖形或者均分為小扇形等方法，以及部分學生沒有深刻理解面積的定義，容易將圓的周長與面積的概念混淆;少數(shù)學生在第一次接觸曲線圖形的面積計算時沒有任何思路，存在學習困難;知道圓的面積計算公式的學生中大部分不清楚公式的推導過程，不理解公式的實質(zhì)意義等。

對這些問題進行分析，了解學生存在的學習困難，找準學生在學習圓的面積時的認知起點，確定真實的學習起點，進而幫助學生逐步完成知識的建構(gòu)。

三、分析學習路徑

為了實現(xiàn)圓面積推導方法的多樣化，將提供方格圖以及不同等分的圓形學具，讓學生在動手操作中積累基本活動經(jīng)驗，體會轉(zhuǎn)化和極限的數(shù)學思想。根據(jù)對學習目標的理解以及學習起點的分析，確定了以下的學習路徑：（1）動手操作，自主探索圓的面積;（2）結(jié)合同伴的求解方法，通過對比判斷尋求研究思路;（3）借助直觀演示，分析想象，體會轉(zhuǎn)化和極限的數(shù)學思想，推導圓面積的計算公式;（4）溝通不同角度的面積推導公式之間的聯(lián)系，理解圓的面積公式的本質(zhì)。

四、教學過程設計

1. 問題情境引領(lǐng)學生探究新知

活動1：給出問題情境，提出研究問題。

問題情境：（課件呈現(xiàn)）李大叔打算新建一個半徑為15m的圓形牛欄，想要沿牛欄邊沿打上木樁，里面種植牧草。如果每隔2m打一根木樁，大約要打多少根木樁？每平方牧草10元，植草需要花費多少錢？

提示學生思考：要求木樁的數(shù)量，需要先知道什么？計算公式是什么？要求植草花費的金額，需要先求什么？

【設計意圖】 創(chuàng)設真實問題情境，幫助學生復習舊知，厘清圓周長和面積的概念，激發(fā)學生的求知欲，并提出接下來所要研究的問題。

2. 經(jīng)驗激活階段思考研究方法

活動2：引導學生思考研究圓的面積的方法。

問題1：前面我們學習過哪些平面圖形的面積，推導面積計算公式的過程中用到了哪些方法？

問題2：你打算用什么方法來研究圓的面積？

【設計意圖】 溝通新舊知識之間的聯(lián)系，激活學生已有的關(guān)于直線圖形面積計算的知識經(jīng)驗，促成遷移，進而幫助學生在自己經(jīng)驗范圍內(nèi)找到研究曲線圖形面積的可能方法。

3. 問題串引領(lǐng)思維縱深發(fā)展

活動3：通過問題串的引導，增進新知。

學生動手實踐，自主探究（教師巡視指導，先挑選幾份選用方格法的學生作品）。

教師展示學生作品（如圖1），并讓學生匯報自己的思路。

問題3：他們是用什么方法來求解的？

問題4：你認為以上哪個會更接近圓的面積？為什么？

問題5：如果想要更準確地計算圓的面積，該怎么辦？

我們發(fā)現(xiàn)利用數(shù)方格的方法，可以把一個個面積單位累加起來計算圓的面積，方格分得越小，估計值就會越接近圓的面積。

【設計意圖】先從學生最容易想到的數(shù)方格法入手，通過對比判斷哪種做法會更接近圓的面積來滲透極限思想，讓學生在動手操作和思考分析中體會該方法的局限性，為之后探索更科學、合理的計算方法打下基礎(chǔ)。

教師繼續(xù)展示學生作品（如圖2），讓學生匯報自己的思路。

問題6：這些方法之間有什么共同之處？這一做法好在哪？

針對第一種拼法，教師選取將圓8等分以及16等分拼成的圖形進行展示，引導學生觀察。

問題7：觀察這兩位同學的作品，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

教師利用課件演示將圓平均分成32等份以及64等份后再拼起來。

問題8：再繼續(xù)等分下去，分成128份后拼成的圖形會有什么變化？分成256份呢？如果一直無限分下去，等分成無數(shù)份，會拼出怎樣的圖形？

問題9：針對第二、三種拼法，如果也一直無限分下去，等分成無數(shù)份，又會拼出怎樣的圖形？

【設計意圖】 通過學生匯報交流、教師問題引領(lǐng)的方式，促進學生思考，鼓勵學生用自己的方式解決問題，理解并欣賞他人的解法。始終以轉(zhuǎn)化和極限思想的滲透為主線，從多元的學習路徑設計符合學生認知規(guī)律的教學，尊重學生思維的個性化和多樣化。

4. 水到渠成推出面積公式

活動4：繼續(xù)追問，突破難點，推導公式。

問題10：拼成的平行四邊形（長方形）與原來的圓之間有什么聯(lián)系？

引導學生找到拼成后的近似長方形的長和寬與圓之間的關(guān)系。

問題11：你能推導出圓的面積計算公式嗎？

問題12：前面還把圓轉(zhuǎn)化成三角形和梯形，你能試著利用不同的轉(zhuǎn)化圖形來推導圓的面積計算公式嗎？

【設計意圖】利用多種轉(zhuǎn)化圖形來推導圓面積的計算公式，從不同角度的探索中體會轉(zhuǎn)化思想。

問題13：回到活動1，你能計算出種植牧草所需花費的金額嗎？

5. 探尋歷史追本溯源

教師利用課件展示數(shù)學家們求解圓的面積的歷程。

【設計意圖】 引入數(shù)學史，介紹相關(guān)的歷史背景，能夠激發(fā)學生的學習興趣和求知欲，使學生了解知識的發(fā)生、發(fā)展過程，從而促進學生更系統(tǒng)全面地理解數(shù)學。

6. 總結(jié)回顧，體會感悟

（1）梳理圓面積計算公式的推導過程;

（2）總結(jié)本節(jié)課所涉及的數(shù)學思想方法;

（3）掌握研究曲線圖形面積的方法。

五、結(jié)語

一堂課就如同一場旅行，事先我們會做好所有的計劃，但在旅行的過程中往往會因為各種情況而做出調(diào)整，或者改變行程，或者改變目的地的順序。課堂教學亦是如此，所有課前的教學安排與假想的教學路徑都不應該是直接照搬。學生學習的過程是思維碰撞、生發(fā)智慧的過程，在這個過程中，他們所選擇的解決問題的方法都是不盡相同的。為了實現(xiàn)教學效果最大化，教師應該盡可能多地照顧到所有學生的思維方法。在設計并調(diào)整教學時就需要教師理解學生，了解學生原有的知識經(jīng)驗進而分解學習目標，找準教學的起點和重難點，確定思維的障礙點，獲取并分析學生的學習路徑，從多元的學習路徑設計適切的教學路徑，以學定教，在培養(yǎng)學生個性化發(fā)展的同時優(yōu)化學習路徑，使不同學習路徑的學生得到最優(yōu)發(fā)展。

參考文獻：

[1]? 張春莉，劉怡. 基于學生學習路徑分析的教學路徑研究[J]. 中小學教師培訓，2015（09）.

[2]? 章勤瓊. 基于學習路徑分析的小學數(shù)學教學：概述與基本框架[J].小學教學，2019（14）.