核心素養背景下習題變式教學的育人價值

賈紅召 王艷梅

[摘 要]充分挖掘教材中例題和習題蘊含的思想方法，對學生進行核心素養的培養是數學教師的基本功.文章結合北師大版數學必修4的習題探討習題變式教學的育人價值.

[關鍵詞]核心素養;習題;變式;育人

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）26-0005-02

北師大版數學必修4復習題一B組有這樣一道題：

求函數[y=3sinx+1sinx-2的值域].

大部分學生都會以下兩種解法.

解法一：從函數的角度可以看作分式函數[y=3t+1t-2]與正弦函數[y=sinx]的復合函數.由此得到[y=3t+1t-2=3t-2+7t-2=3+7t-2]，由[-1≤t≤1]可得[-3≤t-2≤-1].因此[-7≤7t-2≤-73]，得[-4≤y≤23].即函數值域為[-4，23].

解法二：利用[y=sinx的有界性]進行未知量轉換，原式可等價轉化為[sinx=2y+1y-3]，由[sinx≤1] 得[2y+1y-3≤1]，解得[-4≤y≤23].即函數值域為[-4，23].

其中有個學生用這兩種方法解答后還寫了一句話：老師，這道題還有其他解法嗎？這引起了筆者對這道題目解法的反思.就本題來說其他的解法并不一定更簡單，但是從對數學本質的認識和理解角度說仍具有很高的探討價值.

于是筆者給出了一道變式題目：

求函數[y=3sinx+1cosx-2]的值域.

由于學生還沒有學到三角函數的輔助角公式，也沒有學習三角函數萬能公式，對數學思想理解不深刻，不具備數形結合素養，一時很難找到這道題的解法.筆者讓學生課后探究本題的解法并在下節課上進行交流.學生很快找到此題的若干種解法.其中一種解法是從數形結合的角度出發得到[y=3sin x+1cos x-2]表達的幾何意義是點[（cosx， 3sinx）]與點（2，-1）連線的斜率，而點[（cosx， 3sinx）]的軌跡是焦點在y軸上的橢圓[x2+y24=1].問題轉化為過點（2，-1）的直線與橢圓[x2+y24=1]有公共點時求直線的斜率的取值范圍.但高一學生沒有學過橢圓的方程和性質，紛紛表示看不懂此解法，不由得質疑起筆者隨意變式終于變得超“綱”了.其實這種解法的本質基于數學學科對數學對象的不同角度的認識和理解.我們眼中看到的是數（函數，方程）式（等式，不等式，分式，整式），腦中要意識到數、式背后的圖像、圖形、曲線等幾何特征.那么我們能不能構造出學生能理解的幾何呢？自然要從函數式子本身的變形開始研究.[y=3sinx+1cosx-2]可以化為[y=3sinx+13cosx-2]，該數學式子表達的幾何意義是：點[（cosx，sinx）]與點[2，-13]連線斜率的3倍.設點[A（cosx，sinx）]，[B2，-13]，易知點A在單位圓[x2+y2=1]上運動，問題轉化為過點[B2，-13]的直線與單位圓有公共點時，求直線斜率取值范圍的3倍.

解：設過點[B2，-13]的直線l方程為[y+13=k（x-2）]，l與圓[x2+y2=1]有公共點，圓心（0，0）到直線l的距離[d≤r=1]，即[-2k-131+k2≤1]，解得[-2-279≤k≤-2+279].因此函數值域為[-2-273， -2+273].至此問題得以完美解決，學生也體會到了數形結合的妙處，學會了變換不同角度觀察數學對象.但筆者總覺得意猶未盡，能不能讓學生對數學的理解更加深刻呢？

筆者立刻引導學生回到題目：求函數[y=3sinx+1sinx-2]的值域.請學生從形的角度觀察這個函數式，看看能不能利用數形結合的思想來求函數的值域.

很快就有學生寫出新的解法：

[y=3sinx+1sinx-2]表示點[A（sinx， 3sinx）]與點[B（2，-1）]連線的斜率，而點A的軌跡是線段[y=3x]，[-1≤x≤1].問題轉化為過點B的直線與線段[y=3x]，[-1≤x≤1]有交點時求直線斜率的取值范圍.

數形結合，問題迎刃而解！學生很是興奮.筆者要強化學生的學習成就感和獲得感.提出以下變式練習.

利用數形結合思想求下列函數的值域：

（1）[y=3x+1x-2] ;（2）[y=x2+1x].

幾乎所有學生都發現數式與圖像的聯系，寫出美妙的解法來.

（1）[y=3x+1x-2] 表示點[A（x， 3x）]與點[B（2，-1）]連線的斜率，而點A的軌跡是直線[y=3x] ，因此問題轉化為過點[B（2，-1）]的直線與直線[y=3x]相交時求直線的斜率.顯然斜率[k≠3]即可，因此函數值域為[xx≠3].

（2）[y=x2+1x]表示點[A（x， x2）]與點[B（0，-1）]連線的斜率，而點A的軌跡是拋物線[y=x2] ，因此問題轉化為過點[B（2，-1）]的直線與拋物線[y=x2]有公共點時求直線的斜率.設直線方程[y=kx-1]，聯立方程[y=kx-1，y=x2]有解，得[方程x2-kx+1=0]有解.即[Δ=k2-4≥0]，得[k≥2]或[k≤-2].因此函數的值域為[-∞，-2∪2，+∞].

至此，學生悟出道理：只要是分式都可以嘗試構造出兩點連線的斜率[y1-y2x1-x2]的幾何意義.那么還有哪些數學式子可以構造出幾何背景來呢？

再比如，求函數[y=x2+4x+8+x2-4x+5]的值域.

觀察函數發現，用一般方法不好繼續進行，但發現，根號下的形式比較像兩點間的距離公式，所以可以改造函數，經過改造、整理函數得

[y=（x+2）2+4+（x-2）2+1]，

[y=（x+2）2+（0+2）2+（x-2）2+（0-1）2].

這時我們可以把函數看成坐標系內的三個點間的距離和.[P（x， 0）， A（-2，-2）， B（2， 1）] ，即[y=PA+PB] .

通過觀察圖像，這時所求的目標就很明顯了，

當P處于AB連線上時，[y=PA+PB]取到最小值.

[y=AB=5]，所以[PA+PB≥5]，即函數值域為[y∈5，+∞].

上述研究的是從數形結合的角度求一些函數值域，其實不僅僅是求值域，研究方程的解、不等式的解集、向量的運算等都可以展現數形結合的魅力.從更高的角度說，我們要學會從不同的視角觀察、分析數學對象.表面是數，背后是形;眼中是形，腦中有數.其實也不僅僅是學習數學過程中，我們生活中遇到困惑時也需要變換角度思考問題.換位思考就是一種生活智慧.

抓住典型的數學問題，變式研究凸顯不變本質，認識到數學的變與不變，體會到數學中蘊含的哲學原理，能讓學生對數學的理解上升到新的高度，而學生的數學核心素養自然也就落地生根.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 黃河清.高中數學“問題導學”學習策略[M].南寧：廣西教育出版社，2019：138-153，198-207.

[2]? 嚴士健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書數學4必修[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

（責任編輯 黃桂堅）