淺析分類討論思想在高中數學解題中的應用

楊龍琴

摘要：伴隨新課改的逐漸深化推進，分類討論在高中數學解題中得到推廣及運用。分類討論思想是一種具有邏輯性解決數學問題的辦法，也是一種數學思維，在簡化研究對象、發展思維層面上起著至關重要作用。在高中數學解題過程中，運用分類討論能夠把數學題目所研究的對象進行分解，把復雜的問題簡單化，降低問題難度，從而幫助高中生發展數學思維。

關鍵詞：分類討論? 高中數學? 解題應用

引言

分類討論思想對學生看待問題的角度起著決定性的影響作用，教師運用分類討論思想時需要在待解決的問題中提取特征點，并聯系同類問題幫助學生建立問題的分類標準，這是教學中的重中之重。學生也可以通過學習提取問題特征點并聯系同類問題，進而更好地理解知識的重難點，從而掌握這一類型問題的解決方法，在遇到不同的數學問題時能做到觸類旁通、舉一反三。

一、對分類討論思想的相關認識

（一）分類討論的原則

一致性原則 問題中給出對象時，分類需要根據統一標準來進行，每劃分一次不能同時使用幾種分類標準

相斥性原則 分類后的每一個小項應是互不相容的，也就是說，每一個小項間需維持互相排斥關系，分類之后數學元素不可專屬于某一個小項

層次性原則 對高中數學對象的分類也是有次數之分的，可多次劃分或一次劃分。然而多次劃分是將分類的子項還可以再進一步分類，直到不能夠再次進行分類，即所有結果符合需求

完善性原則 劃分后各類子項的總和需與母項相等，即解決數學問題運用分類討論時，步驟需要完善，從而得出正確結論

（二）分類討論的思想

分類就是將問題按照各自的屬性進行特征點的提取，再結合數學知識中的概念，將不同的問題歸納成多個類型。而為了方便解出一類問題的答案，對問題進行抽象化和簡化，之后再進行分類，這就是數學中的分類討論思想。分類討論思想常見的幾種類型主要有數式分類、函數分類、三角形分類以及圓的分類等。數式分類主要是指數學課本中出現的公式、特殊數字以及一些公理和定理，函數分類是對一些帶有參數的指數或對數函數等進行的分類，三角形和圓的分類主要是對解決和圖形有關的幾何問題進行的分類。

（三）分類討論的標準

分類討論可將分類換作劃分，按照對象的差異特點與相同特點，將其分為不同類的邏輯辦法，而在高中數學范圍的劃分是依據數學對象的差異特點與相同特點，同時數學對象也分為不同種類。

二、分類討論在高中數學解題中的應用

（一）在概率中的運用

在解答概率題目時，科學地運用分類討論思想可有助于高中生較好地處理問題及解答問題。在具體解答概率問題時，高中生需根據問題實際對其實施分類，掌握問題所屬的概率類型，并在此基礎上再實施分類剖析，而后方可獲得相對答案。在具體解題中，一般采用以下順序加以解答：先要融合問題中給出的條件來確立題目類型，明確其屬于哪種類型題。在明確題目類型后，就可對題中要素加以剖析，在剖析期間便能通過分類討論思想來對題中解答對象變量實施假設剖析，把存有任何可能性列舉出來，然后逐一實施針對性的剖析討論，最終便可算出正確結果。

（二）在空間幾何中的運用

課本知識是固定的，但教師的教學方式是多樣的。最簡單的教學方式就是傳授知識，將課本知識如數講述給學生聽。比如在學習《空間幾何體》這一課時，教師直接給出各種幾何體的相關圖形要求學生進行記憶，就是最傳統的教學方法。還可以將教學內容展開，進行分類討論思想滲透。教師可以向學生展示多個不同形狀的物體，讓學生畫出自己看到的物體形狀。因為角度不同，學生看到的物體截面也會不同。這時候教師就可以讓學生自由討論思考哪些同學看到的截面是一樣的，看到相同截面的同學與物體的距離、角度之間又有什么關系，不同的物體之間又是否會出現相同的截面等問題，幫助學生在實際問題的解決過程中提高分類討論的能力。這種教學方法結合具體的例子啟發學生發散思維，聯系學到的數學知識和利用分類討論思想尋找問題的解決辦法，在教授課堂知識的同時鍛煉了學生的抽象分類能力和交流討論能力，幫助學生形成了一種良好的數學思維。

（三）在數列中的運用

在數列教學中，特別是在核算數列的等比數列求和題及周期性題的層面，用分類討論思想進行處理的效果最好。運用該思想解題可把數列中存在的多種可能進行單獨剖析，從而簡化該題分解過程，降低答題難度。例如：等比數列{an}公比為b，其前n項和Sn>0（n=1，2，3，…），那么b的真實值范圍是什么？在處理這道題時，先要考慮將題中所有條件實施細化分析，在剖析后能發掘一個主要元素：題中b的值不確定，b能取任何值。此種狀況下第一需考慮的是：什么是等比數列求和公式？依據課堂知識得出，等比數列求和公式是：b取值是不是1會對所解答案產生影響，所以在具體解答中，可按照分類討論思想來討論b的，分別在b=1或者b≠1兩種狀態下進行分析，在一一討論后最后獲得b的取值范圍。

（四）在函數與導數中的運用

學習《基本初等函數》這一單元時，在教授學生基礎的函數知識后，教師可以給學生提供多個函數，讓學生尋找這些函數之間的相同點和不同點并自行分類。自行分類后，引導學生進行小組討論，學生在交流過程中加深了對分類思想的理解，也在實際中體會到數學分類討論的樂趣，從而能更好地理解課堂所學內容。這些都需要教師提前對教學內容進行思考，為學生提供更多可供分析討論的分類思想具體案例，幫助學生進行反復訓練。因此在高中課堂教學活動中，教師需要引領學生對教材內容進行課外擴展，不僅要學習課本知識，更要補充更多學習案例，達到在反復訓練中加深學生對分類討論思想理解的效果。

三、分類討論思想在高中數學中的最重要作用

使高中生學會全方位考慮問題并活躍思維，學生在應試學習與考試中遇到煩瑣問題時才不至于束手無策，在處理問題時能清楚方法，思維縝密，將來面對考試時內心也會穩定，得心應手。雖然基礎知識占據大多數，但對數學思維掌握是不可忽略的，它可令高中生從被動學習轉化成自主思考，這也是學習模式的一大改變，讓高中生在考試中占據有利優勢。分類討論思想能促使師生間友好交流學習，而思維培養更需高中生自身不斷的努力，逐漸在實踐中積累符合自身答疑解惑的經驗。

結束語

綜上所述，在高中數學教學中對進行學生分類討論思想的培養是探索當前高中數學課堂教學改革的必經之路。教師只有在高中數學中培養學生的分類討論能力，才能幫助學生在以后的學習過程中更快更好地學習新知識。

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責任編輯：黃大燦